第一章线性系统的状态空间描述.docx
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第一章线性系统的状态空间描述
第一章线性系统的状态空间描述
1.内容
系统的状态空间描述
化输入—输出描述为状态空间描述
由状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统的坐标转换
组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵
2.基本概念
系统的状态和状态变量
状态:
完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量:
构成系统状态的变量。
状态向量
设系统状态变量为X't),X2(t),…,Xn(t)写成向量形式称为状态向量,记为
"Xi(t)"l
X2(t)
x(t)=:
N(t)一
状态空间
状态空间:
以状态变量为坐标轴构成的n维空间。
状态轨迹:
状态变量随时间推移而变化,在状态空间中形成的一条轨迹。
3.状态空间表达式
设系统r个输入变量:
山⑴,U2(t),,山(t)
m个输出:
yi(t),y2(t)厂,ym(t)
n个状态变量:
Xi(t),X2(t),,Xn(t)
例:
图示RLC电路,建立状态空间描述
L
AAAA
iL
TUc
电容C和电感L两个独立储能元件,有两个状态变量,
如图中所注,
方程为
LdLk^RiL(t)Uc(t)二U(t)
dt
du「t)
dt
L(t)
Xi(t)二L(t),X2(t)二Uc(t)
状态方程
LX1(t)RX1(t)x2(t)=U(t)
Cx2(t)二Xi(t)
u1-
=1
I
+|
U(t)
.X2(t)一
1/C
0
.X2(t)_
A
Xi(t)-R/L-1/LXi(t)1
输出方程
y(t)=Uc(t)=1
]Xi(t)
殳⑴.
状态方程:
状态变量与输入变量之间的关系
dXi(t)dt=Xi(t)=fi&i(t),X2(t),,Xn(t);Ui(t),U2(t),,Ur(t);t丨
dX2(t)dt=X2(t)=f2l-Xi(t),X2(t)「,Xn(t);Ui(t),U2(t),,Ur(t);t1
dXn(t)dt=Xn(t)二fn〔Xi(t),X2(t),九⑴;Ui(t),U?
(t),,U「(t);t1
用向量表示,得到一阶的向量微分方程
x(t)二f!
-X(t),u(t),t1
其中
X2(t)
m
€Rn,
U(t)=
U2(t)
s
ERr,f(・)=
f2(*)
a
.Xn(t)_
Ur(t)一
11
/n(*)_
Xi(t)
Ui(t)
fi(*)
X(t):
二
Rn
输出方程:
系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系,即
yi(t)=gik(t),X2(t),,Xn(t);Ui(t),U2(t),,Ur(t);t1
y2(t)二g2!
Xi(t),X2(t)「,Xn(t);Ui(t),U2(t),,Ur(t);t1
ym(t)二gm-Xi(t),X2(t)「,Xn(t);Ui(t),U2(t),…,U「(t);t1
用向量表示为
y(t)=gX(t),U(t),t1
4系统分类:
1)非线性时变系统
”x"(t)=flx(t),u(t),t]y(t)二gIx(t),u(t),t〕
2)非线性定常系统
x(t)=f〔x(t),u(t)1y(t)二g〔x(t),u(t)l
3)线性时变系统
Xi=ail(t)Xi+…+ain(t)Xn+bii(t)ui+…+bir(t)ur
-
:
X;=ani(t)Xi+…+ann(t)Xn+bni(t)ui+…十5「化川「
写成向量形式即为
「x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
其中:
■
aii(t)
a2i(t)
ai2(t)…
a22(t)…
A(t)=
s
*-
ain(t)1_bii(t)bi2(t)
a2n(t)b2i(t)b22(t)
:
,B(t)=:
:
ann(t)一-bni(t)bn2(t)
bir(t)
b2r(t)
a
bnr(t)一
-
Cii(t)
G2(t)…
Cin(t)
-
dii(t)
di2
(t)…
dir(t)
C(t)=
C2i(t)
9
C22(t)…
99
C2n(t)
9
,D(t)
—
d2i(t)
d22
(t)…
aa
d2r(t)
9
Cmi(t)
Cm2(t)…
Cmn(t)_
-
dmi(t)
dm2
(t)…
dmr(t)_
_ani(t)an2(t)
4)线性定常系统
'X(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)
5状态空间表达式的系统结构图
状态和输出方程可以用结构图表示,形象地表明系统中信号传递关
系。
对线性系统,结构图如下:
u(t)
D(t)
x(t)
x(t)
B(t)
f
C(t)
y(t)
ACQ
线性时变系统结构图
6根据物理机理建立状态空间表达式
对不同控制系统,根据其机理,即相应的物理或化学定律,可建立系统的状态空间表达式,步骤如下:
1)确定系统输入、输出和状态变量;
2)列出方程;
3)消去中间变量;
4)整理成标准的状态和输出方程。
7化输入■输出描述为状态空间描述
设单输入—单数出线性定常连续系统的微分方程有下列一般形式
-nIS"'「n2Sn'…「iS「oNS
Ann-1n—2
sanjSan/Sa1sa0—Ds
当选取不同的状态变量时,可以得到不同的状态空间形式
1)能控规范性(P11)
y=P—z
选状态变量
(1).
二Z,x2二z,,Xn_1
xn
z(7
X2
Xn
(n)
=z
_anXi_an_jX2
—a1Xnu
n丄Xn
:
iX2:
oXi
亠■亠SZ亠’:
:
oz=u
亠-亠,打Z「'oz
写成向量形式
x二AxBu
_Xi1
-
-0
1
0
…0
-
01
X2
0
0
1
…o
0
a
Ac=
a
:
a
:
s
+a
bc二
=
a
X2
0
0
0
…1
0
Xn一
厂ao
-ai
—a2
一anJ_
一1一
输出方程
y=7oXi■-X2.…-'■n_1Xn-
0n_2nlx=CcX
■p01
1
T
「01
1
R
|P1
l01
I0
IP2
co=10
l;
,L
I'
I1J
2)能观规范性(P10)
Xn=y
Xi=+o(iy一PiUi=1,…,n一1
000-a。
10…0-a1
Ao=01…0-a?
*=
aa+aa
卫0…1-an」
能控与能观两种规范型的系数矩阵存在下列关系
Ac=A;
Tbe=Co
T
Cc=bo
这种关系称为对偶原理。
3)对角型
当系统含相异实极点时,可化为A是对角型的状态空间方程
G(s)
=N(s)
-D(s)
n
i=1
Ci二lim(s-i)G(s),i=1,2,,n定义
='iXiu
n
=瓦CiXi
i=1
C2
4)约当型
系统含重极点时
G(s)3
D(s)
c11+c12
k
(s-'1)(S-1)
C1k
Ci
c=lim(s-%i)G(s),i=k1,r2,,n
s—J
S=lim—f(j_1)!
j1
1d
j~1dsj-
s—■j)rG(s)1
「嘉
■0
0
ciiI
C1k
ck*
5n
例:
已知为传递函数
G(s)—(s1)2(s2)_(s1)2
2
c11=lim(s1)G(s)二5s亠
G2=lim」(s1)2G(s)I--5s_^ds
q二lim(s2)G(s)=5
ST』
8从状态空间表达式求传递函数矩阵
已知线性定常系统状态空间模型为
‘X=Ax+Bu
]y=CxDu
sX(s)-X(0)=AX(s)BU(s)
Y(s)二CX(s)DU(s)
令X(0)=0,则
sX(s)二AX(s)BU(s)二X(s)=(si-A厂1BU(s)
二Y(s)-C(si-A)_1BDU(s):
=G(s)U(s)
G(s)二C(sl-A「B•D系统的传递函数矩阵。
9线性系统的线性变换
1)概念介绍
或者称
状态变量的不同选取,其实是状态向量的一种线性变换,为坐标变换。
设有一个n阶控制系统,两组不同状态变量分别是
、Xi,X2厂,xj、~1,~2「,~n;
则两组变量间存在非奇异线性变换关系:
^~^~—1
X二PxX=PX,P二
一PniPnn
于是,有如下线性方程:
Xi二Pii~iPi2~2Pin~n
X2=P21~1+P22~2+…+P2n~n
:
I-
Xn=Pni~1Pn2~2…Pnn~n
即一组状态变量是另一组的线性组合,且这种组合具有唯一的对
应关系,均能完全描述同一系统的行为。
状态向量的这种变换称为状态的线性变换或等价变换。
状态的线性变换或等价变换,实质是状态空间的基底变换,也即
坐标变换。
状态变换后,状态空间表达式发生变化:
x=Ax+Bu原系统:
CxDu
线性变换:
—1
X=Px,X=PX
x=PAPx+PBu:
=Ax+Bu
y二CP~Du:
=C~Du
由此,有
-4丄——
A=PAP,B=PB,C=CP,D=D
变换前后系统矩阵相似,故具有相同的基本特性,如行列式相同、秩相同、迹相同、特征多项式相同和特征值相同等。
对于线性定常系统
x=AxBu
y=Cx
系统的特征多项式为:
k\-A=det(入I一A)=『+a#"—1+a?
九心十…+an_#+a
系统的特征方程为:
det(I-A)=0
特征方程的根,称为系统的特征值。
系统特征值的不变性:
线性变换后
det(sI-A)=det(sI-P_1AP)
=detP」(sl-A)P1
-det(P」)det(sl-A)det(P)
二det(sl-A)
2)化为对角线标准型
对线性定常系统,若系统的特征值两两互异,则必存在非奇异变
换,将状态方程化为对角线标准型。
实际上
P=P2…PnhRn^,APi=\P
二P1
「°
3)化为Jordan标准型
如果系统矩阵A有重根,且
的线性独立的特征向量数等于系
统的阶数n,则可将其化为对角线标准型。
当A有重根时,经线性变换一般可将A化为约当标准型J,矩阵
J是主对角线上均为约当块的准对角型矩阵,即
P」AP二J二diagJ-J?
,Jm,JiR
〉1*2i=n,〉i是’i的代数重数
Ji1
nijXhij
Jj
R,n皿•…"c=:
-i
Ji「
约当块具有形式
1
■i1
Jij
■i
10组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵
设有两个系统:
xi=Aixi+Biui
和<,i=1,2
yi二CixiDiui
它们的传递函数矩阵为
Gj(s)=Cj(sl_Ai)_1BiDi
1并联
yi
12
U2
y2
并联系统
其状态空间模型和传递函数为
*11
An+B1u
_A1
Vx/I
■b/I
—
I
=I
1
+
1
u
儿一
A2x2+B2u
A2一
*一
B一
y=C1x1D1uC2x2D2u-C1C2lx(D1D2)u
」r『si-&0r^Bj
G(s)=C(sl—A)C2」+(D1+D2)
0si-A2一[b2
=0(si-A1)^B1D1C2(sl一A2)」B2D2
9(s)G2(s)
2串联
串联系统
其状态空间模型为
=
=
?
2一
/2X2+B2y「
A2x2+B2C1x^B2D1u
1-
A1x1B1u
xj|A1x1B1u
Ai0xiBi
=||+|u
B2C1A2x2B2D1
y二C2X2D2U2二C2X2D2(CiXiDiu)
=〔D26C2XD2D2u
传递函数矩阵
Y(s)二丫2(s)二G2(s)U2(s)二G2(s)Yi(s)
二G2(s)Gi(s)Ui(s)二G2(s)Gi(s)U(s)
G(s)二G2(s)Gi(s)
3反馈连接
反馈连接
假设D仁D2=0
x〔=AxB1u1
AxB〔u-B1C2x2
x2=A2x2B2u2=A2x2
B2C1x
八CiXi
写成向量形式
"A1x^B1^-B1C2x2'
_A1
-B1C21
■BJ
x=
=
x+
u
A2x2+B2C1x1
A2一
]o一
y=Cj0lx
传递函数矩阵
Y(s)=Yi(s)=Gi(s)Ui(s)=Gi(s)U(s)-Y2(s)1
=Gi(s)U(s)-Gi(s)G2(s)Y(s)
=IIG1(s)G2(s)Y(s^G1(s)U(s)
从而,有
〔IG1(s)G2(s)Y(s)=G1(s)U(s)=G(s)-〔IG1(s)G2(s)iJG1(s)G(s)=G1(s)〔lG2(s)G1(s)1_1
本章小结
现代控制理论的数学工具:
状态空间描述。
(1)状态空间表达式:
(2)状态空间表达式不唯一;
(3)状态变换不改变系统基本特征量;
(4)状态空间描述与微分方程、传递函数和方块图之间可
相互转换;
(5)线性变换化标准型
作业
1.31.51.7
1.10
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