区级联考北京市通州区届高三第一学期期末考试数学理科试题.docx
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区级联考北京市通州区届高三第一学期期末考试数学理科试题
【区级联考】北京市通州区2019届高三第一学期期末考试数学(理科)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.设集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.设向量
,
则与
垂直的向量的坐标可以是()
A.
B.
C.
D.
3.已知
是定义在R上的奇函数,且当
时,
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
4.已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合,则a等于()
A.1B.2C.3D.
5.已知x,y满足不等式组
则
的最大值等于()
A.
B.
C.
D.
6.设
,则“
”是“
”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,面积最小的侧面面积为()
A.1B.
C.2D.
8.设函数
图象上不同两点
,
处的切线的斜率分别是
,
,规定
(
为线段
的长度)叫做曲线
在点
与点
之间的“弯曲度”,给出以下命题:
①函数
图象上两点
与
的横坐标分别为
和
,则
;
②存在这样的函数,其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数;
③设
是抛物线
上不同的两点,则
;
④设
是曲线
(
是自然对数的底数)上不同的两点
,则
.
其中真命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
9.复数
的共轭复数是____.
10.设等比数列{an}的公比
,前n项和为
,则
_____.
11.已知角
的终边与单位圆
的交点为
,则
______.
12.
的展开式中含
的项的系数是______.
13.直线
为参数
与曲线
为参数
的公共点的个数为________.
14.已知函数
若关于
的方程
有且只有一个实数根,则实数k的取值范围是_____.
三、解答题
15.如图,在△ABC中,
,
,
,点D在AC边上,且
.
(Ⅰ)求BD的长;
(Ⅱ)求△BCD的面积.
16.北京地铁八通线西起四惠站,东至土桥站,全长18.964km,共设13座车站.目前八通线执行2021年12月28日制订的计价标准,各站间计程票价(单位:
元)如下:
四惠
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
5
四惠东
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
5
高碑店
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
传媒大学
3
3
3
4
4
4
4
5
5
双桥
3
3
3
4
4
4
4
4
管庄
3
3
3
3
4
4
4
八里桥
3
3
3
3
4
4
通州北苑
3
3
3
3
3
果园
3
3
3
3
九棵树
3
3
3
梨园
3
3
临河里
3
土桥
四惠
四惠东
高碑店
传媒大学
双桥
管庄
八里桥
通州北苑
果园
九棵树
梨园
临河里
土桥
(Ⅰ)在13座车站中任选两个不同的车站,求两站间票价不足5元的概率;
(Ⅱ)甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线,各自任选另一站下车(二人可同站下车),记甲乙二人乘车购票花费之和为X元,求X的分布列;
(Ⅲ)若甲乙二人只乘坐八通线,甲从四惠站上车,任选另一站下车,记票价为
元;乙从土桥站上车,任选另一站下车,记票价为
元.试比较
和
的方差
和
大小.(结论不需要证明)
17.如图,在三棱柱
中,
底面
,△ABC是边长为
的正三角形,
,D,E分别为AB,BC的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)在线段
上是否存在一点M,使
平面
?
说明理由.
18.已知椭圆
:
过点
,且椭圆的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)斜率为
的直线
交椭圆
于
,
两点,且
.若直线
上存在点P,使得
是以
为顶角的等腰直角三角形,求直线
的方程.
19.已知函数
,其中
.
(Ⅰ)求
的单调区间;
(Ⅱ)设
,若曲线
,
有公共点
,且在点
处的切线相同,求
的最大值.
20.一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则称这个数为质数.质数的个数是无穷的.设由所有质数组成的无穷递增数列
的前
项和为
,等差数列1,3,5,7,…中所有不大于
的项的和为
.
(Ⅰ)求
和
;
(Ⅱ)判断
和
的大小,不用证明;
(Ⅲ)设
,求证:
,
,使得
.
参考答案
1.D
【解析】
试题分析:
集合
,集合
,所以
故选D.
考点:
1、一元二次不等式;2、集合的运算.
2.C
【解析】
【分析】
求出
,判断哪个选项的向量与(﹣3,2)的数量积是0即可得出答案.
【详解】
;
可看出(4,6)•(﹣3,2)=0;
∴
.
故选C.
【点睛】
本题考查向量坐标的加法和数量积运算,以及向量垂直的充要条件.
3.B
【解析】
【分析】
根据题意,由函数的解析式计算可得f
(2)的值,又由函数为奇函数,
可得f(﹣2)=﹣f
(2),即可得答案.
【详解】
根据题意,当x>0时,f(x)=2x﹣1,则f
(2)=22﹣1=3,
又由函数f(x)为R上的奇函数,
则f(﹣2)=﹣f
(2)=﹣3;
故选B.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的性质,关键是灵活运用函数的奇偶性的性质.
4.B
【解析】
【分析】
先求出抛物线的焦点坐标,可得出双曲线的半焦距c的值,然后根据a、b、c的关系可求出a的值.
【详解】
抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),所以,双曲线的焦点坐标为(±3,0),所以,a2+5=32=9,
∵a>0,解得a=2,
故选B.
【点睛】
本题考查双曲线的性质,解决本题的关键在于对抛物线性质的理解,属于基础题.
5.D
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域,求出平面区域中各顶点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后求得目标函数z=x+y的最大值.
【详解】
解:
由不等式组
表示的平面区域,如图所示的阴影部分;
三个顶点坐标为A(1,2),B(1,1),C(3,3);
将三个代入得z的值分别为3,2,6;
∴直线z=x+y过点C(3,3)时,z取得最大值为6.
故选D.
【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题,常用“角点法”解答,步骤为:
①由约束条件画出可行域,②求出可行域各个角点的坐标,③将坐标逐一代入目标函数,④验证求得最优解.
6.C
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可.
【详解】
∵a,b∈(1,+∞),
∴a>b⇒logab<1,
logab<1⇒a>b,
∴a>b是logab<1的充分必要条件,
故选C.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键.
7.B
【解析】
【分析】
由三视图画出该四棱锥的直观图,结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积.
【详解】
解:
由三视图画出该四棱锥的直观图,如图所示;
在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中,面积最小的侧面是Rt△PBC,
它的面积为
BC•PB
1
.
故选B.
【点睛】
本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题,是基础题.
8.C
【分析】
由新定义,利用导数求出函数y=sinx、y=x2在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确;举例说明②是正确的;求出曲线y=ex上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“弯曲度”,判断④错误.
【详解】
对于①,由y=sinx,得y′=cosx,
则kA=cos1,kB=cos(﹣1)=cos1,则|kA﹣kB|=0,即φ(A,B)=0,①正确;
对于②,如y=1时,y′=0,则φ(A,B)=0,②正确;
对于③,抛物线y=x2的导数为y′=2x,yA=xA2,yB=xB2,
∴yA﹣yB=xA2﹣xB2=(xA﹣xB)(xA+xB),
则φ(A,B)
2,③正确;
对于④,由y=ex,得y′=ex,φ(A,B)
,
由不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),可得φ(A,B)
1,∴④错误;
综上所述,正确的命题序号是①②③.
故选C.
【点睛】
本题考查了命题真假的判断与应用问题,也考查了新定义的函数应用问题,解题的关键是对题意的理解.
9.
【解析】
【分析】
先由复数代数形式的除法运算化简复数,再由共轭复数的定义可得答案.
【详解】
解:
z
,
∴复数z
的共轭复数是
,
故答案为
.
【点睛】
该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念,属基础题.
10.
【解析】
【分析】
由等比数列的通项公式和求和公式,代入要求的式子化简可得.
【详解】
解:
15.
故答案是:
15.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题.
11.
【分析】
由任意角的三角函数的定义有,sinα
,由平方关系sin2α+cos2α=1,有:
cosα=±
,
由二倍角公式有sin2α=2sinαcosα=±
,得解
【详解】
解:
由三角函数的定义有:
sinα
,由sin2α+cos2α=1,
得:
cosα=±
,
由二倍角公式得:
sin2α=2sinαcosα=±
,
故答案为
.
【点睛】
本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式,属简单题
12.
【解析】
【分析】
在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得展开式中x2的系数.
【详解】
解:
(x
)6的展开式的通项公式为Tr+1
•(﹣1)r•x6﹣2r,
令6﹣2r=2,求得r=2,故展开式中x2的系数为
15,
故答案为15.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.
13.
【解析】
【分析】
化简参数方程为直角坐标方程,然后判断曲线交点个数.
【详解】
解:
直线
(t为参数)的直角坐标方程为:
y
x;
与曲线
(θ为参数)的直角坐标方程:
(x﹣2)2+y2=1.
圆的圆心(2,0)到直线y
x的距离为:
1;
所以直线与圆相切,有1个交点.
故答案为:
1.
【点睛】
本题考查直线的参数方程,圆的参数方程的求法,考查计算能力.
14.
【解析】
【分析】
作出f(x)的函数图象,由直线y=kx﹣2过(0,﹣2),联立
,得x2﹣kx+2=0,由△=0,解得k值,求出过(1,1)与(0,﹣2)
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- 关 键 词:
- 级联 北京市 通州区 届高三第 一学期 期末考试 数学 理科 试题