变量代换求解常微分方程.docx
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变量代换求解常微分方程
(系):
理学院
业:
信息与计算科学
生:
郝腾宇
本问总结了变量代换在常微分方程中的应用,借助恰当的变量代换简化为可
解类型,求出其通解或特解,同时举出实例加以证明。
变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。
常
微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。
其中变量代
换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复
杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。
本文就
变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当
的变量代换求其通解或者特解。
关键词:
常微分方程、变量代换法、通解、特解
变量代换法求解一阶微分方程••…
3
变量代换法求解二阶微分方程
6
变量代换法求解三阶微分方程
7
四、
变量代换法求解n阶微分方程
7
五、
变量代换法求解Euler阶微分方程
9
八、
变量代换法在研究解或轨线性态中的应用
.10
七、
函数变换法求解常微分方程
11
九、
拉普拉斯变换求解常微分方程
14
1变量代换法求解一阶微分方程
1)对于齐次微分方程g,这里色
dxxd
aixbyG
xa2X
b2yc2
是U的连续
函数,做变量代换u上,使方程化为变量分离方程
x
du
dx
,可求解。
x
2)对于准齐次微分方程
dy
dx
qxRyq、.中,
,这里a1,b1,
a2xb2yC2
C1,32,b2,C2均
为常数。
①当电
32
bi
b2
9二k(常数)
C2
时,方程直接化为■d^k,
dx
有通解:
②当鱼
32
bi
b2
乞时,
C2
做变量代换Ua2Xb2y,将方程化为变量分离方
由上式可求解。
③当鱼一时,
32d
做变换
X:
,其中
为直线a,xblyc10
和直线a2xb2yc2
0在xoy平面的交点,将方程转化为齐次方程
由上式可求解。
3)对于更一般的类型
dx
冃XdyC,这里31,b1,C,,32,b2,
C2均为常数
—k
C2
(常数)
pl
时,方程直接转化为」f(k),有通解
dx
yf(k)xc;
②当鱼Ek
a2b2
做变量代换u
a2
b2y,将方程化为变量分离方
由上式可求解。
③当別D时,
a2b2
作变换
,其中(,)为直线a/dyG0
y
和直线a2xb2y
C2
0在xoy平面的交点,将方程化为齐次方程
由上式即可求解。
4)对于方程翌
dx
uaxbyc,将方程化为变量分离方程
f(axbyc),这里a,b,c均为常数,
作变量代换
由上式可求解。
5)对于方程yf(mxy)dxxg(nxy)dy0,这里mn,
均为常数,作变
量变换uxy,将方程化为变量分离方程
由上式即可求解。
6)对于方程x1烹if(xay),这里为常数,作变量变换
化为变量分离方程
uxy,是方程
由上式即可求解。
7)对于方程M(x,y)(xdx
ydy)N(x,y)(xdyydx)0,其中M,N为关于x,
y的其次函数,做变量变换u
f,化为变量分离方程
由上式即可求解。
作变量代换
当R(x)不为零时,若y(x)为Riccati方程的一特解,作变量代换zyy(x),
使方程化为一个关于z的Bernoulli方程
由上式即可求解。
若Q(x)0对原方程作变量变换yc(x)eP(x皿,求得待定函数
P(x)dx
c(x)Q(x)edxc,代会变换,即得方程的通解。
2变量代换法求解二阶微分方程
2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程
d2ydy
p陀q(x)yf(x)
则方程(3)可化为
由于
3变量代换发求解三阶微分方程
将316和a26代入(7)得到常系数齐次微分方程
G(x)O,a,b,c为常数。
作自变量变换tG(x)dx,则方程可化为
G3—3aG3—2bG3巴cG3yf(x)(9)
dxdxdx
方程(9)两边同时除以G3(x)得到三阶常系数线性微分方程
4变量代换发求解n阶微分方程
1)考虑n阶非齐次线性微分方程
通解为
作变量变换,令
(10)的通解。
dy
WZPm(X)
令Xek,则方程可化为
InIn1
dydy
d/LAn
其中A,A2…,厲都是常数。
对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解
F(入)=0的根入的重数。
或更一般地,设方程不含x,xx(n),即方程:
4)对于n阶微分方程F(t,x(k),x(k1),...,x(n))0,当方程不显含自变量t,
即方程
F(x(k),x(k1),...,x(n))0(17)
的n-1阶方程
形如
解。
不难证明:
对于一切自然数k均有关系式
Xk^4铝…沁bny0(20)
再代回原来的变
e'的解,结合角
其中bi,b2...,bn都是常数。
此方程可采用特征根法求得通解量tInX就可得欧拉方程(18)的通解。
角度二:
由于n阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如y度一中的推演过程,从而方程(18)有形如yX的解,因此可直接求欧拉方程
形如yX的解,作变量变换yxk,代入方程(20),并约去因子xk,即可得
到确定k的代数方程,也是方(20)的特征方程
k(k1)...(kn1)a1k(k1)...(kn2)...an0(21)
因此,方程(21)的m重实根kko,对应于方程(18)的m个解
而方程(21)的m重复根ki,对应于方程(18)的2m个实值解:
6变量代换法在研究解或轨线性态中的应用
1)考虑非线性常微分方程组史(t;y),yRn解的性态,我们通常将其与dx
具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。
为研究方程组的特解y=©(t)邻近的
解的性态,作变量变换Xy(t)使方程组化为f(t;x),从而使问题dx
转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。
2)考虑全相平面上的轨线性态时,常用极坐标变换引入周期解与极限环来
刻划全相平面上的轨线性态,如研究平面一阶非线性驻定方程组
的全相平面的轨线状态,做极坐标变换
从而使方程组化为
经分析可知r1是稳定的极限环。
7函数变换法求解常微分方程
1)考虑函数变换法求解伯努利方程设
这里n0,1是常数。
P(x),Q(x)是x的连续函数。
假设方程(23)有形如y(x)u(x)v(x)的解,则有
dy''
—u(x)v(x)u(x)v(x)(24)
dx
将上式代入方程(23),整理可得
u(x)(v(xP(x)v(x))Q(x)un(x)vn(x)u(x)v(x)(25)
若令
v(x)P(x)v(x),则Q(x)un(x)vn(x)u(x)v(x)0(26)
用变量分离法可以求得
若选取c1,则v(x)ePg
心P(x)dx
将v(x)e代入(26),求得
于是,方程(23)的解为
这与常数变易法求得的通解相一致。
2)考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。
设
dy2
兀P(x)yQ(x)yR(x)(27)
其中P(x)、Q(x)、R(x)是其中某个区间内的一阶可微函数,且P(x)0。
设方程(27)有形如
的解,则方程(27)可化为
求得
则上式化为
此方程可通过公式法或者观察法求解u(x),则Riccati方程的特解可表示出来。
8三角变换法求解常微分方程
考虑三角变换法。
1)对于Chebyshev方程:
由上式可解得
所以Chebyshev方程的解为
2)对于三阶变系数微分方程
当原方程满足
可作三角变换
并求得
代入原方程整理得
由(32)可得
从而(31)可简化三阶常系数线性微分方程
9Laplace变换法求解常微分方程
Laplace变换法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程(组)转换成
复变数S的代数方程(组),通过一些代数运算,一般在利用拉普拉斯变换表,
即可找出微分方程(组)的解。
给定微分方程
而f(x)连续且满足原函数的条件。
是原函数,记
利用原函数微分性质,对方程(33)两端施行Laplace变换,从而有
A(s)
其中A(s)B(s)和F(s)都是已知多项式,由此Y(S)F(s)B(s)
这就是方程(33)的满足所给初始条件的解y(x)的像函数,而y(x)可直接查Laplace变换表计算求得
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- 变量 代换 求解 微分方程
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