中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明1.docx
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中考数学总复习专题提升九以特殊四边形为背景的计算与证明1
以特殊四边形为背景的计算与证明
一、以平行四边形为背景的计算与证明
(第1题图)
1.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.
求证:
四边形ABCD为平行四边形.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠DCA=∠BAC.
∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC,
∴∠AEB=∠CFD.
在△AEB和△CFD中,
∵
∴△AEB≌△CFD(ASA),
∴AB=CD.
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
(第2题图)
2.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.求证:
四边形ADCE是平行四边形.
证明:
∵CE∥AB,
∴∠ADE=∠CED.
在△AOD与△COE中,
∵
∴△AOD≌△COE(AAS),
∴OD=OE.
又∵OA=OC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
(第3题图)
3.如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2),▱ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C,D的坐标.
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程.
(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD关于点O中心对称,
∵点A(-4,2),B(-1,-2),
∴点C(4,-2),D(1,2).
(2)线段AB到线段CD的变换过程是:
绕点O旋转180°(或向右平移5个单位).
(3)由
(1)得:
点A到y轴距离为4,点D到y轴距离为1,点A到x轴距离为2,点B到x轴距离为2,
∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积,
∴S▱ABCD=5×4=20.
4.如图,在▱ABCD中,若AB=6,AD=10,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,求DF的长.
(第4题图)
(第4题图解)
解:
如解图,∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=DC=6,AD=BC=10,AB∥DC.
∵AB∥DC,
∴∠1=∠3,
又∵BF平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴BC=CF=10,
∴DF=CF-DC=BF-DC=10-6=4.
二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
(第5题图)
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=
x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.
求证:
四边形ABCD是矩形.
(第5题图解)
解:
如解图,过点E作EF⊥AB于点F.
∵AB∥CD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
在△ABE和△CDE中,
∵
∴△ABE≌△CDE,
∴AE=CE.
又∵BE=DE,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD=4.
∵点A(2,n),B(m,n)(m>2),
∴AB∥x轴,∴CD∥x轴.
∴m=6.
∴n=
×6+1=4.
∴点A(2,4),B(6,4).
∵△AEB的面积是2,∴EF=1,
∵▱ABCD的面积为△ABE的面积的4倍,
∴S▱ABCD=8,
∴▱ABCD的高为2.
∵q ∴DA⊥AB, ∴四边形ABCD是矩形. 6.如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连结CE. 求证: 四边形BECD是矩形. (第6题图) 证明: ∵AB=BC,BD平分∠ABC, ∴BD⊥AC,AD=CD. ∵四边形ABED是平行四边形, ∴BE∥AD,BE=AD, ∴BE綊CD, ∴四边形BECD是平行四边形. ∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°, ∴▱BECD是矩形. 7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN. (1)求证: ∠PNM=2∠CBN. (2)求线段AP的长. (第7题图) (第7题图解) 解: (1)∵四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,CD的中点, ∴MN∥BC, ∴∠CBN=∠MNB, ∵∠PNB=3∠CBN=∠MNB+∠PNM, ∴∠PNM=2∠CBN. (2)如解图,连结AN. 根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN, ∵MN∥AD, ∴∠PAN=∠ANM. 由 (1)知∠PNM=2∠CBN, ∴∠PAN=∠PNA, ∴AP=PN. ∵AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点, ∴DN=2. 设AP=x,则PD=6-x, 在Rt△PDN中,∵PD2+DN2=PN2, ∴(6-x)2+22=x2,解得x= . ∴AP= . 8.如图,在矩形ABCD中,点F是CD的中点,连结AF并延长交BC延长线于点E,连结AC. (1)求证: △ADF≌△ECF. (2)若AB=1,BC=2,求四边形ACED的面积. (第8题图) 解: (1)证明: ∵F是CD中点, ∴DF=CF. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,即AD∥CE. ∴∠ADF=∠ECF, 在△ADF和△ECF中, ∵ ∴△ADF≌△ECF(ASA). (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=2,AB=CD=1,CD⊥AD. 由 (1)知,△ADF≌△ECF. ∴AD=CE. 又∵AD∥CE, ∴四边形ACED是平行四边形, ∴四边形ACED的面积=AD·DC=2. 9.如图①,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于点M,H. (第9题图) (1)求证: CF=CH. (2)如图②,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形? 并证明你的结论. 解: (1)证明: ∵AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°, ∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°. 在△BCF和△ECH中, ∴△BCF≌△ECH(ASA). ∴CF=CH. (2)四边形ACDM是菱形. 证明: ∵∠ACB=∠DCE=90°,∠BCE=45°, ∴∠1=∠2=45°. ∵∠E=45°, ∴∠1=∠E, ∴AC∥DE. ∵∠ACD=90°+45°=135°, ∴∠A+∠ACD=45°+135°=180°, ∴AM∥CD. ∴四边形ACDM是平行四边形. ∵AC=CD, ∴四边形ACDM是菱形. (第10题图) 10.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE∥AC,CE∥BD. (1)求证: 四边形OBEC是矩形. (2)若菱形ABCD的周长是4 ,tanα= ,求四边形OBEC的面积. 解: (1)证明: ∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴AC⊥BD. ∵BE∥AC,CE∥BD, ∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°, ∴四边形OBEC是矩形. (2)∵菱形ABCD的周长是4 , ∴AB=BC=AD=DC= . ∵tanα= , ∴设CO=x,则BO=DO=2x, ∴x2+(2x)2=( )2, 解得x= (负值舍去), ∴四边形OBEC的面积为 ×2 =4. (第11题图) 11.如图,已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连结CE,过点C作CF∥BA交PQ于点F,连结AF. (1)求证: △AED≌△CFD. (2)求证: 四边形AECF是菱形. (3)若AD=3,AE=5,则菱形AECF的面积是多少? 解: (1)∵PQ为线段AC的垂直平分线, ∴AE=CE,AD=CD. ∵CF∥AB, ∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED, 在△AED与△CFD中, ∵ ∴△AED≌△CFD(AAS). (2)∵△AED≌△CFD, ∴AE=CF, ∵EF为线段AC的垂直平分线, ∴EC=EA,FC=FA, ∴EC=EA=FC=FA, ∴四边形AECF为菱形. (3)∵四边形AECF为菱形, ∴AC⊥EF. ∵AD=3,AE=5, ∴根据勾股定理,得ED=4, ∴EF=8,AC=6, ∴S菱形AECF=8×6÷2=24, ∴菱形AECF的面积是24. (第12题图) 12.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线F,且AF=BD,连结BF. (1)求证: BD=CD. (2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论. (3)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD为正方形(写出条件即可,不要求证明)? 解: (1)证明: ∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE. ∵E是AD的中点, ∴DE=AE. 在△AEF与△DEC中, ∵ ∴△AEF≌△DEC(AAS), ∴AF=DC. ∵AF=BD, ∴BD=CD. (2)四边形AFBD为矩形,证明如下: ∵AF=BD,AF∥BD, ∴四边形AFBD为平行四边形. ∵AB=AC,BD=DC, ∴AD⊥BC, ∴∠BDA=90°, ∴四边形AFBD为矩形. (3)AB=AC,且∠BAC=90°. 13.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,连结DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AG∥BC,交DE于点G,连结AF,CG. (第13题图) (1)求证: AF=BF. (2)如果AB=AC,求证: 四边形AFCG是正方形. 证明: (1)∵AD=CD,点E是边AC的中点, ∴DE⊥AC. 即得DE是线段AC的垂直平分线. ∴AF=CF. ∴∠FAC=∠ACB. 在Rt△ABC中,由∠BAC=90°, 得∠B+∠ACB=90°,∠FAC+∠BAF=90°. ∴∠B=∠BAF. ∴AF=BF. (2)∵AG∥CF,∴∠AGE=∠CFE. 又∵点E是边AC的中点,∴AE=CE. 在△AEG和△CEF中, ∵ ∴△AEG≌△CEF(AAS). ∴AG=CF. 又∵AG∥CF, ∴四边形AFCG是平行四边形. ∵AF=CF, ∴四边形AFCG是菱形. 在Rt△ABC中,由AF=CF,AF=BF,得BF=CF. 即得点F是边BC的中点. 又∵AB=AC, ∴AF⊥BC,即得∠AFC=90°. ∴四边形AFCG是正方形. 14.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F. (1)证明: PC=PE. (2)求∠CPE的度数. (3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连结CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由. (第14题图) 解: (1)证明: ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°. 在△ABP和△CBP中, ∵ ∴△ABP≌△CBP(SAS), ∴PA=PC. ∵PA=PE, ∴PC=PE. (2)由 (1)知,△ABP≌△CBP, ∴∠BAP=∠BCP, ∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PC, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E. ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等), ∴180°-∠CFP-∠PCF=180°-∠DFE-∠E, 即∠CPE=∠EDF=90°. (3)AP=CE.理由如下: ∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=BC,∠ABP=∠CBP,∠ADC=∠ABC=120°,∠BAD=∠BCD. 在△ABP和△CBP中, ∵ ∴△ABP≌△CBP(SAS), ∴PA=PC,∠BAP=∠BCP. ∵PA=PE, ∴PC=PE, ∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E. ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等), ∴180°-∠CFP-∠PCF=180°-∠DFE-∠E, 即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°, ∴△EPC是等边三角形, ∴PC=CE, ∴AP=CE. 15.在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于A,B,在△AOB内部作正方形,使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上,求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标. 解: 分两种情况; ①如解图①,令x=0,则y=3,令y=0,则x=3, ∴OA=OB=3, ∴∠BAO=45°. ∵DE⊥OA, ∴DE=AE. ∵四边形COED是正方形, ∴OE=DE, ∴OE=AE, ∴OE= OA= , ∴点E( ,0). (第15题图解) ②如解图②,由①知△OFC,△EFA是等腰直角三角形, ∴CF= OF,AF= EF. ∵四边形CDEF是正方形, ∴EF=CF, ∴AF= × OF=2OF, ∴OA=OF+2OF=3, ∴OF=1, ∴点F(1,0). ∴正方形落在x轴正半轴的顶点坐标为( ,0)或(1,0).
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