东北三省三校高三一模数学理版含答案最新整理.docx
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东北三省三校高三一模数学理版含答案最新整理
2013年哈师大附中第一次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120
分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(CUA)B=
A.{x|0 C.{x|0≤x<2} 2.命题“若x>1,则x>0”的否命题是 A.若x>1,则x≤0 C.若x≤1,则x≤0 3+4i D.{x|0≤x≤2} B.若x≤1,则x>0 D.若x<1,则x<0 3.在复平面内,复数z= 1-i 对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=2,则的值为 A.B.-C.33 D.-33 2 2 5. += 与椭圆C: yx1共焦点且过点(1,3)的双曲线的标准方程为 1612 2y2 22y2x2 y22 A.x-=13 B. y -2x=1 C.-=122 D.-x=13 6.将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习,若每班至少1名教师,则不同的分配方案种数为 A.12B.36C.72D.108 7.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63,则判断框中的整数M的值是 A.5B.6C.7 D.88.若(- 1)n的展开式中第四项为常数项,则n= A.4B.5 C.6D.7 9. 已知y=Asin(x+)+k函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x= 23 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为 A. y=4sin(4x+) 6 B. y=2sin(2x+ )+2 3 C.y=2sin(4x+ )+2 3 D. y=2sin(4x+ )+2 6 10.点A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC=,AC=2,若四面体ABCD体积的 2 最大值为,则这个球的表面积为 3 125 A. 6 B.8C. 25 4 25 D. 16 11.若点P在抛物线上,则点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之差 A.有最小值,但无最大值B.有最大值,但无最小值 C.既无最小值,又无最大值D.既有最小值,又有最大值 12. 已知f(x)= lnx lnx,f(x)在xx 处取得最大值,以下各式正确的序号为 1+x0 ①f(x0) ②f(x0)=x0 ③f(x0)>x0 ④f(x0)<2 ⑤f(x0)>2 A.①④B.②④C.②⑤D.③⑤ 第II卷(非选择题,共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题要求考生必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ⎧3x-y-6≤0 ⎪x-y+2≥0 13. ⎨x≥0 设x,y满足约束条件⎪ ⎪ ⎪⎩y≥0 ,则目标函数z=2x+y的最大值为。 1 14.已知Ω={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},A是曲线y=x2与y=x2围成的区域,若在区域Ω上 随机投一点P,则点P落入区域A的概率为。 15.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为2,则该几何体的体积为 。 16.在ΔABC中,2sin2A= 2 3sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则。 AB AC 三、解答题(本大题共70分。 解答应写出文字说明) 17.(本小题满分12分) nnn 已知数列{a}的前n项和Sn满足S=2a+(-1)n(n∈N*) (1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3; (2)求证: 数列{a+2(-1)n}为等比数列,并求出{a}的通项公式。 n3n 18.(本小题满分12分) PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行国家标准GB3095–2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75毫克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标。 PM2.5日均值 (微克/立方米) [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 频数 3 1 1 1 1 3 从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示: (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽取3天,求恰有1天空气质量达到一级的概率; (2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ 的分布列; (3)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按366天算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。 (精确到整数) 19.(本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1上动点,F是AB中点,AC=1,BC=2,AA1=4。 (1)当E是棱CC1中点时,求证: CF∥平面AEB1; (2)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的 余弦值是,若存在,求CE的长,若不存在,请说明理 17 由。 20.(本小题满分12分) 已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D,且M、N分别是AB、CD的中点 (1)若m=1,k1k2=-1,求三角形 EMN面积的最小值; (2)若k1+k2=1,求证: 直线MN 过定点。 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=axsinx+cosx,且f(x)在x= 处的切线斜率为。 48 (1)求a的值,并讨论f(x)在[-,]上的单调性; (2)设函数g(x)=ln(mx+1)+1-x,x≥0,其中m>0,若对任意的x∈[0,+∞)总存 在xj∈[0,2],使得g(xi)≥ 1+xi f(xj)成立,求m的取值范围 请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做题时请写清题号。 22.(本小题满分10分) 选修4-1: 几何证明选讲 如图,圆O的半径OC垂直于直径AB,弦CD交半径OA于E,过D的切线与BA的延长线交于M。 (1)求证: MD=ME; (2)设圆O的半径为1,MD=,求MA及CE的长。 23.(本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程 ⎧x=2+2cos ⎩ 在直角坐标系xOy中,圆C1和C2的参数方程分别是⎨y=2sin (φ为参数)和 ⎧x=cos ⎩ ⎨y=1+sin (φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求圆C1和C2的极坐标方程; (2)射线OM: θ=α与圆C1的交点为O、P,与圆C2的交点为O、Q,求|OP|·|OQ|的最大值 24.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 设函数f(x)=|x-a|+2x,其中a>0。 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥2x+1的解集; (2)若x∈(-2,+∞)时,恒有f(x)>0,求a的取值范围。 2013年三省三校第一次联合模拟考试数学答案 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) CCBACBBBDCDB 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13 13.1414.15. 12 24- 2 16. 2 三.解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)在Sn=2an+(-1)n,n≥1中分别令n=1,2,3得: ⎧a1=1 错误! 不能通过编辑域代码创建对象。 解得: ⎪a=0…… ⎩3=2 3分 n1 (Ⅱ)由Sn=2an+(-1)n,n≥1得: S- =2an-1 +(-1)n-1,n≥2 nn-1 两式相减得: a=2a-2(-1)n,n≥2 ……6分 a=2a-4(-1)n-2(-1)n=2a+4(-1)n-1-2(-1)n nn-133n-133 a+2(-1)n=2(a n3 n-1 +2(-1)n-1)(n≥2)3 ……9分 故数列⎧a+2(-1)n⎫是以a -=为首项,公比为2的等比数列.所以 ⎨n3⎬ 133 a+2(-1)n=1⨯2n-1a=1⨯2n-1-2⨯(-1)n ……12分 n33n33 18.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)记“从10天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,……1分 C1⋅C2 P(A)=37= 10 21 .……4分 40 (Ⅱ)依据条件,服从超几何分布: 其中N=10,M=3,n=3,的可能值为0,1,2,3, CkC3-k 其分布列为: 3 10 ……6分 ……8分 (Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P= 一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则~B(366,0.7) 7 , 10 ……10分 ∴E=366⨯0.7=256.2≈256, ∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级.…12分 19.(本题满分12分) 解: (1)证明: 取AB1的中点G,联结EG,FG F、G分别是棱AB、AB1中点, ∴FG//BB,FG=1BB 121 1 又FG∥EC,EC=2CC1,FG=EC ∴四边形FGEC是平行四边形, ∴CF//EG CF⊄平面AEB1,EG⊂平面AEB1 ……4分 ∴CF//平面AEB.……6分 (2)解: 以C为坐标原点,射线CA,CB,CC1为x,y,z轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4) 设E(0,0,m)(0≤m≤4),平面AEB1的法向量n1=(x,y,z). 则AB1=(-1,2,4),AE=(-1,0,m) 由AB1⊥n1,AE⊥n1 ⎧-x+2y+4z=0 ⎩ 得⎨-x+mz=0 n1=(2m,m-4,2) ∴CA⊥平面C1CBB1 ∴ ……8分 CA是平面EBB1的法向量,则平面EBB1的法向量n2=CA=(1,0,0) ……10分 二面角A—EB1—B的平面角余弦值为 217 , 17 217 则cosn,n > == 1712 解得m=1(0≤m≤4) ∴在棱CC1上存在点E,符合题意,此时CE=1 ……12分 20.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点, ∵k1k2=-1,∴AB⊥CD 设AB方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2) ⎧y=k1(x-1) ⎩ 由⎨y2=4x ,得k1y 4 4y4k10,y1y2 1 y1y2=-4 AB中点M(x1+x2,y1+y2),∴M(2+2,同理,点N(2k2+1,-2k)……2分 22k2 1,) k11 ∴S∆EMN 11 =1|EM|⋅|EN|=⋅ 2 =2……4分 ≥2=4 当且仅当k2= 2,即k1=±1时,△EMN的面积取最小值4.……6分 1 2 (Ⅱ)证明: 设AB方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2) ⎧y=k1(x-m) ⎩ 由⎨y2=4x ,得k1y 4 4y4k1m0,y1y2 2 1 y1y2=-4m AB中点M(x1+x2,y1+y2),∴M(2+ 22 ,同理,点N( +m,)……8分 22k2 m,) k k2k ∴k=yM-yN= k1k2 11 =kk 22 ……10分 MNx-xk+k12 MN12 22 ∴MN: y- k =k1k2[x-(k2+m)],即y=k1k2(x-m)+2 11 ∴直线MN恒过定点(m,2).……12分 21.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)f'(x)=asinx+axcosx-sinx=(a-1)sinx+axcosx ' ……2分 f()=(a-1)⋅+⋅a⋅= 42428 ∴a=1 ∴f'(x)=xcosx ∴f'(x)>0⇒- 22 ……4分 ∴f'(x)<0 ⇒-< x<0,或 则f(x)在(-,- 22 ),(0,)上单调递增;f(x)在(-22 0),(,)上单调递减;……6分 22 (Ⅱ)当x∈[0,2]时,f(x)单调递增,∴f(x)min= 则依题g(x)≥1在x∈[0,+∞)上恒成立 m(x2+m-2) g'(x)=m,(x≥0,m>0)(mx+1)(x+1)2 f(0)=1 ……8分 ①当m≥2时,m-2≥0,∴g'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即g(x)在[0,+∞)上单调递 m 增,又 g(0)=1,所以 g(x)≥1在 x∈[0,+∞)上恒成立,即 m≥2时成 立……10分 ②当0 x∈(0, 2-m)时, m g'(x)<0,此时 g(x)单调递减, ∴g(x) ……12分 22.(本题满分10分)选修4-1: 几何证明选讲 (Ⅰ)证明: 连接OD,则OD⊥MD ∠CEO+∠ECO=900,∠MDE+∠EDO=900,又∠EDO=∠ECO ∴∠CEO=∠MDE=∠MED,∴MD=ME ……5分 (Ⅱ)解: 由(Ⅰ)MD2=MA⋅MB∴3=MA⋅(MA+2)∴MA=1 在Rt∆MDO中,MO=2,MD= ∴∠MOD=60,∴∠COD=150∴∠ECO=15 CE= OC cos∠ECO =1=- cos150 ……10分 23.(本题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆C1和C2的的普通方程分别是(x-2)+y=4和x+(y-1)=1, 2222 所以圆C1和C2的的极坐标方程分别是=4cos和=2sin.……5分 (Ⅱ)依题意得,点P,Q的极坐标分别为P(4cos,)和Q(2sin,) 所以|OP|=|4cos|,|OQ|=|2sin|.从而|OP|⋅|OQ|=|4sin2|≤4. 当且仅当sin2=±1时,上式取“=”即,|OP|⋅|OQ|的最大值是4.……10分 24.(本题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 解: (Ⅰ)a=2时,x-2+2x≥2x+1∴x-2≥1,∴x≥3或x≤1, ∴解集为(-∞,1][3,+∞) ⎧3x-a,x≥a ……5分 ⎩
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