概率统计简明教程习题答案工程代数 同济版.docx

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概率统计简明教程习题答案工程代数同济版

习题一解答

1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同}；

（2）记录某电话总机一分钟

（1）{（,）,（,）,（,）,（,）}，A{（,）,（,）}.

（2）记X为一分钟A{X（2000,2500）}.

2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A{取得球的号码是偶数}，B{取得球的号码是奇数}，C{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）AB；

（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）；（6）BC；（7）AC.

解

（1）AB是必然事件；

（2）AB是不可能事件；

（3）AC{取得球的号码是2，4}；

（4）AC{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

（5）{取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；

（6）BC{取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；

（7）ACA{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}

3.在区间[0,2]上任取一数，记Ax

（2）B；（3）A；（4）A.

解

（1）ABx11x1，Bxx243求下列事件的表达式：

（1）AB；，21x43;2

1xx23;2

（2）Bx0x

（3）因为AB，所以A；（4）AAx0x11或1x2Bxx24

13或x242113x0x或x1或x24.用事件A,B,C的422

运算关系式表示下列事件：

（1）A出现，B,C都不出现（记为E1）；

（2）A,B都出现，C不出现（记为E2）；

（3）所有三个事件都出现（记为E3）；

（4）三个事件中至少有一个出现（记为E4）；

（5）三个事件都不出现（记为E5）；

（6）不多于一个事件出现（记为E6）；

（7）不多于两个事件出现（记为E7）；

（8）三个事件中至少有两个出现（记为E8）。

解

（1）E1A；

（2）E2AB；

（3）E3ABC；（4）E4ABC；

（5）E5；（6）E6AB；

（7）E7ABC；（8）E8ABACBC.

5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i1,2,3，试用Ai表示下列事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

（2）只有第一次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；

（2）只有两次抽到废品。

解

（1）A1A2；

（2）A1A2A3；（3）A1A2A3；（4）A1A2A3；（5）A1A2A3A1A2A3A1A2A3.

6.接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i1,2,3，B{三次射击恰好命中二次}，C{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。

解BA1A2A3A1A2A3A1A2A3

CA1A2A1A3A2A3

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解这是不放回抽取，样本点总数n记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数k3，21.于是50455

45521k454453!

99P（A）n5049482!

392503

2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。

求

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率；

（3）二次取得的球为红、白各一的概率；

（4）第二次取到红球的概率。

解本题是有放回抽取模式，样本点总数n7.记

（1）

（2）（3）（4）题求概率的事件分别为A,B,C,D.2

255（ⅰ）有利于A的样本点数kA5，故P（A）497

5210（ⅱ）有利于B的样本点数kB52，故P（B）2497

20（ⅲ）有利于C的样本点数kC252，故P（C）49

75355.（ⅳ）有利于D的样本点数kD75，故P（D）4977222

3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：

（1）最小号码是3的概率；

（2）最大号码是3的概率。

解本题是无放回模式，样本点总数n65.

（ⅰ）最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为23，所求概率为231.655

（ⅱ）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22，所求概率为

222.6515

4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都合格；

（2）1只合格，1只不合格；

（3）至少有1只合格。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）涉及的事件为A,B,C，则

424322P（A）665252

42114228P（B）651562

注意到CAB，且A与B互斥，因而由概率的可加性知

P（C）P（A）P（B）281451515

25．掷两颗骰子，求下列事件的概率：

（1）点数之和为7；

（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）的事件为A,B,C,样本点总数n6

（ⅰ）A含样本点（2,5）,（5,2）,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）

P（A）61626

1056218

181362（ⅱ）B含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）P（B）（ⅲ）C含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。

P（C）

6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

3解记求概率的事件为A，样本点总数为5，而有利A的样本点数为543，所以

P（A）54312.3255

7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：

（1）事件A：

“其中恰有一位精通英语”；

（2）事件B：

“其中恰有二位精通英语”；

（3）事件C：

“其中有人精通英语”。

解样本点总数为5

3

2312233!

63

（1）P（A）；54310553

232133!

3；

（2）P（B）5431053

（3）因CAB，且A与B互斥，因而

339.P（C）P（A）P（B）510108．设一质点一定落在xOy平面记求概率的事件为A，则SA

为图中阴影部分，而||1/2，

112155|SA|2232918

最后由几何概型的概率计算公式可得2P（A）|SA|5/185.||1/29图2.39．（见前面问答题2.3）

10．已知AB，P（A）0.4，P（B）0.6，求

（1）P（）,P（）；

（2）P（AB）；（3）P（AB）；（4）P（A）,P（）；（5）P（B）.

解

（1）P（）1P（A）10.40.6，P（）1P（B）10.60.4；

（2）P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）0.6；

（3）P（AB）P（A）0.4；

（4）P（A）P（AB）P（）0,P（）P（AB）1P（AB）10.60.4;

（5）P（B）P（BA）0.60.40.2.

11．设A,B是两个事件，已知P（A）0.5，P（B）0.7，P（AB）0.8，试求P（AB）及P（BA）.

P（AB）P（A）P（B）P（AB），因而P（AB）P（A）P（B）

P（AB）0.50.70.80.4.于是，P（AB）P（AAB）P（A）P（AB）0.50.40.1；P（BA）P（BAB）P（B）P（AB）0.70.40.3.解注意到

习题三解答

1．已知随机事件A的概率P（A）0.5，随机事件B的概率P（B）0.6，条件概率P（B|A）0.8，试求P（AB）及P（）.

解P（AB）P（A）P（B|A）0.50.80.4

P（）P（AB）1P（AB）1P（A）P（B）P（AB）

10.50.60.40.3

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解p10990819.100999899981078

3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？

（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解记A{基金}，B{股票}，则P（A）0.58,P（B）0.28,P（AB）0.19

P（AB）0.190.327.P（A）0.58

P（AB）0.19

（2）P（A|B）0.678.P（B）0.28

4．给定P（A）0.5，P（B）0.3，P（AB）0.15，验证下面四个等式：

（1）P（B|A）

P（A|B）P（A）,P（A|）P（A）,P（B|A）P（B），P（B|）P（B）.

P（AB）0.151P（A）解P（A|B）P（B）0.32

P（A）P（A）P（AB）0.50.150.35P（A|）0.5P（A）P（）1P（B）0.70.7

P（AB）0.15P（B|A）0.3P（B）P（A）0.5

P（B|）P（B）P（B）P（AB）0.30.150.15P（B）P（）1P（A）0.50.5

5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。

求他最后可能迟到的概率。

解B{迟到}，A1{坐火车}，A2{坐船}，A3{坐汽车}，A4{乘飞机}，则B

题意BA，且按ii14

P（B|A1）0.25，P（B|A2）0.3，P（B|A3）0.1，P（B|A4）0.

由全概率公式有：

P（B）P（Ai）P（B|Ai）0.30.250.20.30.10.10.145

i14

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。

求下列事件的概率：

（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；

（2）合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解

（1）记B{该球是红球}，A1{取自甲袋}，A2{取自乙袋}，已知P（B|A1）6/10，P（B|A2）8/14，所以

P（B）P（A1）P（B|A1）P（A2）P（B|A2）

（2）P（B）161841210214701472412

7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解0.250.050.350.040.40.02

0.01250.01400.0080.03453.45%

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出""和""，由于通信受到干扰，当发出""时，分别以概率0.8和0.2收到""和""，同样，当发出信号""时，分别以0.9和0.1的概率收到""和""。

求

（1）收到信号""的概率；

（2）当收到""时，发出""的概率。

解记B{收到信号""}，A{发出信号""}

（1）P（B）P（A）P（B|A）P（）P（B|）

0.60.80.40.10.480.040.52

P（A）P（B|A）0.60.812.P（B）0.5213

9．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C

（2）P（A|B）生产的概率。

解为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D{次品}，因此

P（D）P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）

0.250.050.350.040.40.02

0.0140.0080.03450.0125

P（A）P（D|A）0.250.05P（A|D）0.362P（D）0.0345

P（B）P（D|B）0.350.04P（B|D）0.406P（D）0.0345

P（C）P（D|C）0.40.02P（C|D）0.232P（D）0.0345

10．设A与B独立，且P（A）p,P（B）q，求下列事件的概率：

P（AB），P（A），P（）.解P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）pqpq

P（A）P（A）P（）P（A）P（）p1qp（1q）1qpq

P（）P（AB）1P（A）P（B）1pq

11．已知A,B独立，且P（）1/9,P（A）P（B），求P（A）,P（B）.

解因P（A）P（B），由独立性有

P（A）P（）P（）P（B）

从而P（A）P（A）P（B）P（B）P（A）P（B）导致P（A）P（B）

再由P（）1/9，有1/9P（）P（）（1P（A））（1P（B））（1P（A））

所以1P（A）1/3。

最后得到P（B）P（A）2/3.

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解记B{命中目标}，A1{甲命中}，A2{乙命中}，A3{丙命中}，则B2A，因而i

i13

321118P（B）1PA1P（A）P（A）P（A）11123i32399.i1

13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的

解记A{通达}，

Ai{元件i通达}，i1,2,3,4,5,6

则AA1A2A3A4A5A6，所以P（A）P（A1A2）P（A3A4）P（A5A6）P（A1A2A3A4）P（A3A4A5A6）P1*******563（1p）23（1p）4（1p）6

14．假设一部机器在一天p（0.2）（0.8）0.051.25

3

15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

32解p（0.2）0.8（0.2）0.0080.0960.104.32

16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P（A）.33

解记Ai{A在第i次试验中出现}，i1,2,3.pP（A）

319依假设PAi1P（A1A2A3）1（1p）327i1

83所以，（1p），此即p1/3.27

17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。

记Ai{第i道工序为次品}，i1,2,3.则次品率

3pPAi1P（A1）P（A2）P（A3）10.980.970.9510.903070.097i1

18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码被译出的概率。

解记A{译出密码}，Ai{第i人译出}，i1,2,3.则

3P（A）PAi1P（A1）P（A2）P（A3）i1

10.750.650.610.29250.7075

19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？

有4次至6次出现正面的概率是多少？

10163解

（1）；52256

106101

（2）k2.

k4

20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：

（1）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；

（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；

（3）在此时刻所有电梯都在运行的概率。

解

（1）1（10.75）1（0.25）

2104425525624273122（0.75）（0.25）6

（2）244128

813（3）（0.75）256444

习题四解答

1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

i,i0,1,2,3,4,5；15

5i2

i0,1,2,3；

（2）pi6

（1）pi

1,i2,3,4,5；4

i1,i1,2,3,4,5。

（4）pi25（3）pi

解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：

其一条件为pi0,i1,2,，其二条件为pi1。

i

依据上面的说明可得

（1）中的数列为随机变量的分布律；

（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为5940；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为66

520p1。

i25i1

c2.试确定常数c，使PXii,i0,1,2,3,4成为某个随机变量X的分布律，并求：

PX2；2

51PX。

22

416cc解要使i成为某个随机变量的分布律，必须有i1，由此解得c；3122i0

（2）PX2PX0PX1PX2

1611281312431

51611121（3）PXPX1PX2。

22312431p3

3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。

从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

解X可能取的值为-3，1，2，且PX3

X的分布函数

0x3111,PX1,

PX2，即X的分布律为6FxPXx=

13x1351x26

1x2

4.一袋中有51，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件X3表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即PX311；事件X4表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个5103

34112236。

球可在1、2、3号球中任选，此时PX4；同理可得PX510105533

X的分布律为

X的分布函数为

0x3

1Fx3x410

44x510

1x5

5.5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。

解依题意X服从参数n5,p0.6的二项分布，因此，其分布律

5k5kPXkk0.60.4,k0,1,,5，

具体计算后可得

6.从一批含有10等。

在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。

（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；

（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；

（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解

（1）设事件Ai,i1,2,表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1,,An,相互独立，且

10PAi,i1,2,而13

k1310PXkP1k1AkP1Pk1PAk,k1,2,1313

10即X服从参数p的几何分布。

13

（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

103105PX1,PX2,1313122632105321101PX3,PX4.13121114313121110286

X的分布律为

（3）X可能取到的值为1，21031133PX1,PX2,1313131693212723216PX3,PX4.13131321971313132197

所求X的分布律为

7.设随机变量X~B6,p，已知PX1PX5，求p与PX2的值。

6