高斯小学奥数四年级上册含答案第05讲加法原理与乘法原理.docx

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高斯小学奥数四年级上册含答案第05讲加法原理与乘法原理

第五讲加法原理与乘法原理

“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！

我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：

餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：

红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：

土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．

点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：

红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有426种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是加法原理．

加法原理：

如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，

那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．

如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2种：

（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有2种：

（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜

炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：

（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：

（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有428种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是乘法原理．

乘法原理：

如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．

例题1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？

「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？

是用加法原理还是乘法原理呢？

练习1

书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？

例题2用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？

「分析」要给四个部分染色，我们很容易想到要依次染每个部分，这是分类还是分步呢？

只染一个部分能完成这件事情吗？

练习2用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？

分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．

分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，

少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．

例题3

从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？

「分析」要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一．“甲

→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？

练习3任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？

通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理

类与类之间会满足下列要求：

1.只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；

2.类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．

比如例题1中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．

乘法原理

步与步之间满足下列要求：

1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；

2.步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，⋯⋯，直到

最后．

比如例题2中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系．在这里，衣服和帽子先选哪种都可以．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后会接触到．

加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系．这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”．如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题3．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．

在本讲的最后，我们来介绍标数法．标数法是解决路径条数问题的重要方法．

如下图所示，我们要计算蚂蚁从A点沿箭头的方向爬到B点的不同路线有多少条．

CEGB

ADFH

由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A点处标上1，表示蚂蚁从A点出发到达A点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示．

C1EGB

A1D1F1H1

容易看出，蚂蚁可以从C点或者D点到达E点，而且只有这两类不同的方式，那么我

们可以在E点处标上数字112（把C点与D点的数字相加），表示蚂蚁到达E点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从E点或者F点到达G点，那么蚂蚁到达

G点就有213条路线（把E点与F点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达B

点有4条路线，如下图所示．

C1E2G3B4

A1D1F1H1

例题4

B

在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？

「分析」标数法其实就是要找到前一步可能在的所有点，把它们的方法数加起来．

练习4

在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向

上或向右走一步，共有多少种不同走法？

例题

老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？

「分析」被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式

吗？

写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？

例题6

书架上有三层书，第一层放了并且这些书都各不相同．请问：

15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，

（1）如果从所有的书中任取

（2）如果从每一层中各任取

1本，共有多少种不同的取法？

1本，共有多少种不同的取法？

（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？

「分析」从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？

课堂内外

加减乘除的由来

加减乘除（＋、－、×、÷）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们．别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成．

法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法．这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过，用“─”表示不足．到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法．1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用．

以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的．他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法．据说是由加法符号“＋”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的．后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“?

”表

示乘号，这样，“?

”也得到了承认．

除法符号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：

”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广．除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”．

至此，四则运算符号齐备了．

作业

1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型

的题目中各取一道组成一张试卷．问：

由该题库共可组成多少种不同的试卷？

2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只

能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问报名的情况有多少种？

3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书．

（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？

（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？

4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有

几种选法？

5.在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？

第五讲加法原理与乘法原理

1.例题1答案：

9种详解：

小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4329种出行方式．

2.例题2

答案：

16种

详解：

房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有色，也有2种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有样有2种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有

3.例题3

答案：

17种详解：

分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：

第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339种走法．类似地，对于“甲→丁→丙”这类路线，共有248种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9817种走法．

4.例题4

答案：

35种

详解：

标数法，如下图：

4

10

20

35

3

6

10

15

2

3

4

5

5.例题5

答案：

81000种

详解：

一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两种算法，方法一：

最小的三位数是100，最大的三位数是999，所以一共有9991001900个三位数；方法二：

三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，1~9有9种

选择，再给十位选择一个数字，0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字，0~9有10种选择，一共分了三步即乘法原理，一共有91010900个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样，一种是9910190个两位数，另一种是91090个两位数．要组成一个减法算式，先从三位数中选择1个作为被减数，一共有900种选择，再从两位数中选择1个作为减数，一共有90种选择，分了两步即乘法原理，共有9009081000种不同的写法．

6.例题6

答案：

30种；750种；275种

详解：

（1）从所有的书中任取1本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择1本，加法原理，共有1510530种不同的取法；

（2）从每一层中各任取1本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15105750种不同的取法；（3）从中取出2本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有1510150种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10550种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15575种不同的取法，三类是加法原理，共有1505075275种不同的取法．

7.练习1

答案：

18种

详解：

从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有81018种取法．

8.练习2

答案：

8种

详解：

先给眼睛染，有2种方法；再给嘴巴染，有2种方法；最后给身子染，有2种染法，分三步，乘法原理，所以共有2228中不同的染法．

9.练习3

答案：

11种

简答：

分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：

第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有339种走法．而对于“甲→丙”这类路线，共有2种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9211种走法．

10.练习4

答案：

10种

简答：

标数法：

B

1

3

6

10

1

2

3

4

A1

1

1

1

11.作业1答案：

54000种．

简答：

乘法原理，30404554000种．

12.作业2

答案：

27种

简答：

乘法原理，33327种．

13.作业3答案：

（1）60种；

（2）6000种

简答：

（1）加法原理，30201060种．

（2）乘法原理，3020106000种．

14.作业4

答案：

26种

简答：

分三类：

水墨、

油画，

4

3

12种选法；

油画、

水彩，

3

2

6种选法；

水墨、

水彩，

4

2

8种选法，所以一共有126826种选法

15.作业5答案：

25种简答：

标数法，如下图所示．

1

36

10

2

3

4

1025

B

15

1

1

1

1