几何专题辅助线之梯形含答案.docx
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几何专题辅助线之梯形含答案
几何专题辅助线
平面几何是初中教学的重要组成部分,它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用,又是继续学习数学和其他学科的基础,但许多初中生对几何证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策。
一、辅助线的定义:
为了证明的需要,在原来图形上添画的线叫做辅助线。
二、几种常用的辅助线:
连结、作平行线、作垂线、延长等
注意:
1)添加辅助线是手段,而不是目的,它是沟通已知和未知的桥梁,不能见到题目,就无目的地添加辅助线。
一则没用、二则辅助线越多,图形越乱,反而妨碍思考问题。
2)添加辅助线时,一条辅助线只能提供一个条件
总结常见添加辅助线的方法
梯形中常见添加辅助线的方法:
梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形有那么多性质,所以相关梯形的证明题、计算题,常有一定的难度,假如能巧借辅助线,则能有效地化难为易。
一平移腰
1、平移一腰:
从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
例1:
梯形两底长分别为14cm和24cm,下底与腰的夹角分别是60°和30°,求较短腰长。
解析:
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=14cm,BC=24cm,∠B=60°,∠C=30°。
过点A作AE//DC交BC于E,得到平行四边形AECD和△ABE,故AE=DC,AD=EC,∠C=∠AEB=30°。
这样,梯形的两腰,两底之差,下底与腰的两个夹角都集中于Rt△ABE中,于是得到较短腰。
巩固练习:
如图1,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范围。
图1
析解:
过点B作BM//AD交CD于点M,则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。
在△BCM中,BM=AD=4,CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,所以BC的取值范围是:
5-4 2.平移两腰: 利用梯形中的某个特殊点,过此点作两腰的平行线,把两腰转化到同一个三角形中。 例2: 如图,梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC。 求证: ∠B=∠C。 分析: 过点E作EM//AB,EN//DC,分别交BC于点M、N。 梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中,由E、F分别是AD、BC的中点轻易得到,又由EF⊥BC,得EM=EN,故∠EMN=∠ENM,所以∠B=∠C。 巩固练习: 如图2,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。 图2 析解: 过点E分别作AB、CD的平行线,交BC于点G、H,可得 ∠EGH+∠EHG=∠B+∠C=90° 则△EGH是直角三角形 由于E、F分别是AD、BC的中点,容易证得F是GH的中点 所以 二相关对角线的辅助线 1、平移对角线: 过梯形的一个顶点作对角线的平行线,将已知条件转化到一个三角形中。 例3: 已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC、BD互相垂直,梯形的两底之和为8。 求梯形的高与面积。 解析: 过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,过点D作DM⊥BC于点M,这样得到平行四边形ACED,所以AC=DE,AD=CE。 由AC⊥BD,得BD⊥DE。 这样将两对角线,两底和,两对角线夹角集中于△BDE中。 轻易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高,所以,即梯形的高为4。 巩固练习: 1).如图3,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD=,求证: AC⊥BD。 图3 析解: 过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形,则DE=BC,CE=BD=,所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。 在等腰梯形ABCD中,AC=BD=,所以在△ACE中,,从而AC⊥CE,于是AC⊥BD。 2).如图4,在梯形ABCD中,AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高BH=12cm,求梯形ABCD的面积。 图4 析解: 过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形,即。 所以 由勾股定理得 (cm) (cm) 所以,即梯形ABCD的面积是150cm2。 2、作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形。 如图6,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD于点E,求证: AD=DE。 图6 三相关两底的辅助线 1、移底 例4: 如图,梯形ABCD中,AB//CD,E为腰AD的中点,且AB+CD=BC。 求证: BE⊥CE。 分析: 延长CE交BA的延长线于点F,由于点E为AD的中点,可得△DCE≌△AFE,故CE=FE,CD=AF,由AB+CD=BC,得BC=BF,故BE⊥CE。 四相关高的辅助线 1、作一条高,从底边的一个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为直角三角形或矩形。 [例5]如图7,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证: 四边形ABFE是等腰梯形。 图7 2、作两条高: 从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。 [例6]如图8,在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证: BD>AC。 图8 析证: 作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF。 在Rt△ABE和Rt△DCF中,由于AB>CD,AE=DF。 所以由勾股定理得BE>CF。 即BF>CE。 在Rt△BDF和Rt△CAE中 由勾股定理得BD>AC 巩固练习: 如图,在梯形ABCD中,AB//CD,两条对角线AC=20cm,BD=15cm,梯形高为12cm,求梯形ABCD的面积。 解析: 此题有两种解法。 法一: 如图6,分别过点C、D作CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,得矩形DCEF,在Rt△ACE中,AC=20cm,CE=12cm,可得AE=16cm。 同理BF=9cm,显然BF+AE=AB+CD=25,可求梯形面积为。 法二: 如图7,过点D作DE//CA交BA的延长线于点E,过点D作DF⊥BA于点F,在Rt△DEF中,DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得EF=16cm。 同理,FB=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25,进而求得梯形面积为。 五、延长即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形。 例7如图5,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5,求CD的长。 图5 析解: 延长BA、CD交于点E。 在△BCE中,∠B=50°,∠C=80°。 所以∠E=50°,从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC-ED=5-2=3 六、作中位线 1、已知梯形一腰中点,作梯形的中位线。 [例8]如图9,在梯形ABCD中,AB//DC,O是BC的中点,∠AOD=90°,求证: AB+CD=AD。 图9 析解: 连结BD,由AD//BC,得∠ADB=∠DBE;由BC=CD,得∠DBC=∠BDC。 所以∠ADB=∠BDE。 又∠BAD=∠DEB=90°,BD=BD,所以Rt△BAD≌Rt△BED,得AD=DE。 2、已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,使问题转化为三角形中位线。 [例9]如图10,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证: (1)EF//AD; (2)。 图10 析证: 过点D作DG⊥AB于点G,则易知四边形DGBC是矩形,所以DC=BG。 由于AB=2DC,所以AG=GB。 从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA。 又EF//AB,所以四边形ABFE是等腰梯形。 本节课小结: 一通过添加辅助线,将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题,从而解决问题。 梯形添加辅助线的规律可归纳为以下几点: 1、当两腰具备非凡关系时,移腰,构造等腰三角形或直角三角形。 2、当涉及面积时,作高,构造直角三角形。 3、当涉及腰的中点时,可添加辅助线构造全等三角形。 4、当涉及两底的和或差时,可灵活利用上述三点,将两底移到同一直线上。 二、注重强调添加辅助线的原则: 聚拢集中原则 通过添置适当的辅助线,将图形中分散,远离的元素,通过变换和转化,是他们相对集中,聚拢到相关图形上来,使题设条件与结论建立逻辑关系,从而推导出要求的结论 化繁为简原则 对一类几何命题,其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中,其逻辑关系不明朗,通过添置适当辅助线,把复杂图形分解成简单图形,从而达到化繁为简,化难为易的目的
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