直角三角形勾股理.docx
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直角三角形勾股理
直角三角形和勾股定理
∙
(1)
斜边中线的指针—直角三角形的性质二(20道)
1.直角三角形的性质2:
在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
2.当题目中出现了直角三角形时,要注意斜边上是否有中线或中点出现,如果有斜边的中点,不妨连接中点和直角顶点,构造出斜边上的中线,利用性质2进行中线与斜边之间的转化,从而迅速找到思路
3.由性质二得到的角之间的关系:
∠A=∠1,∠B=∠2,∠3=2∠A,∠4=2∠B
4.两个运用性质二的基本图形
∙
(2)
30°引爆全新体验!
—直角三角形的性质三(20道)
5.直角三角形的性质3:
有一个角是30度的直角三角形,30度角的对边等于斜边的一半。
它的作用是由特殊角30度得到边的关系
6.性质3的逆定理:
在直角三角形中,如果某条直角边是斜边的一半,那么这条直角边所对的角是30度。
它的作用是由边的两倍关系得到特殊角30度
7.一道难度稍大的综合题,要求你对直角三角形的三个特殊性质运用自如
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(3)
等量转化的秘密通道—角平分线的性质定理及逆定理(20道)
8.角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
它可以用来进行边的转化或构造全等来证明边、角相等
9.角平分线性质定理的逆定理:
角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
由此得到角平分线的另一种定义:
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
10.逆定理的作用是由距离相等得到角平分线,进而得到角相等的结论
11.两个定理的题设和结论刚好相反,成为了角度和垂线段—这两组等量关系相互转化的秘密通道
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(4)
从地板飞向宇宙—勾股定理(20道)
12.勾股定理的内容:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
13.如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,用式子表示就是:
a²+b²=c²
14.一种传奇的证明方法:
总统证法,通过构造梯形和面积法完成
15.勾股定理的意义:
它揭示了直角三角形三边的数量关系,当知道一个直角三角形的任意两条边时,可以利用勾股定理求出另外一条边,简称“知二求一”。
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(5)
一个“豆比”的数学传奇(20道)
16.可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称为勾股数
17.第n组勾股数的表示方法是:
2n+1、2n(n+1)、2n(n+1)+1
18.记住的最常用的四组勾股数:
3、4、5;6、8、10;5、12、13;7、24、25
∙
二元一次方程(组)
∙
(1)
多元化方程时代—二元一次方程及方程组(1道)
1.二元一次方程的定义,有以下三个标准:
整式方程,含有两个未知数,未知数的次数都是1
2.二元一次方程的等价变形,用x去表示y,或者用y去表示x。
这个方法用来求二元一次方程的不定根很管用
3.二元一次方程组的定义,它是由两个一次方程组成,并且含有两个未知数的方程组
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(2)
黯然消元法—二元一次方程组解法(1道)
4.代入法和加减法的步骤,具体视频里讲得非常清楚
5.如果有系数是±1的时候,你可以考虑选取代入法,这时把系数为1的未知数放到等式一边就可以直接搞出三式了
6.如果系数都比较复杂,建议你选取加减法
7.无论那一招,求解二元一次方程组的核心思想,就是消元
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(3)
神功进阶第二层—解三元一次方程(20道)
8.解三元方程组常用加减法这招
9.选取一个容易消掉的未知数,经过两次消元,转化为二元一次方程组,最后变成一元一次方程
10.如果三元一次方程组中只有两个方程,那便可以将其中两个未知数用第三个未知数表示出来,寻得三个未知数之间的关系
一次函数
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(1)
蝴蝶效应的片段—函数概念(20道)
1.会改变的量叫变量,数值固定不变的量就是常量
2.函数是两个变量之间的的一种关系,自变量改变,因变量跟着发生改变
3.一般地,在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么把x称作自变量,y称作因变量,y是x的函数
4.唯一”是说一个自变量只能对应一个因变量
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(2)
简洁的函数桥—函数的解析式(20道)
5.解析法表示函数,就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示,这个等式称作函数的解析式
6.解析式中的自变量往往有一个取值范围,在求取值范围时要注意两方面的因素:
解析式要有意义,同时还要符合实际意义
7.初中阶段对于解析式的三种限定:
分母不为零、二次根号下要大于等于零、指数为零则底数不为零。
8.解析式是我们通向函数世界的最简洁的一座桥
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(3)
最直观的函数图谱—列表法、图象法(20道)
9.函数有三种表示法—解析法,列表法和图象法,它们各有千秋,也各有缺憾
10.列表法直观明了,但有很明显的缺陷,这就是表格的有限性
11.所谓图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系
12.函数图象连续与否取决于自变量的取值特征
13.图象法的优点,就是形象直观的表示函数的变化趋势
14.图象法在表示函数变化趋势这方面最给力,但它在读数方面有极大的缺陷,由于误差,准确的值就无法知晓了
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(4)
未知数的销售提成—正比例函数的解析式(20道)
15.正比例函数的解析式:
y=kx,k是常数,且k≠0。
一个函数是正比例函数要满足三点:
1、k是常数且不为零;2、x必须是一次;3、常数项是0
16.正比例函数的定义域:
全体实数。
但很多题目中则要考虑实际情况,x一般是有具体限制的
17.常见重要技巧:
待定系数法求函数解析式
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(5)
米字旗上的函数—正比例函数的图象(20道)
18.函数图象的画法,列表,描点,连线,就这三步
19.正比例函数的图像特点——一条穿过原点的直线
20.研究k对图像的影响。
k的正负决定了倾斜方向,正数时,x和y的变化趋势一致,是增函数,图像向右倾斜,手心向上斜劈的方向。
负数时,x和y的变化趋势相反,是减函数,图像向左倾斜,手背向上斜劈的方向
21.直线的倾斜程度,要看k的绝对值。
绝对值越大,直线越陡峭
∙
(6)
坐标系的螺旋桨—正比例函数图像和解析式的确定(2道)
22.在原点外确定一点,就可以画出正比例函数的图像,这个点一般是(1,k)
23.通过原点外一点的待定系数就可以求出k
24.k对于正比例函数的重要性,它确定了直线的旋转角度,正比例函数的直线就像螺旋桨一样,绕着原点旋转,靠k确定角度
∙
(7)
拼爹更拼人—一次函数解析式(20道)
25.一次函数的解析式:
y=kx+b(k、b是常数,且k≠0),k叫斜率,b叫截距。
它满足的两点:
1,k是常数且k不为零,2,自变量x的指数是1
26.一次函数与正比例函数的关系:
一次函数包含正比例函数,正比例函数其实就是一种特殊的一次函数,常数项b=0的一次函数
27.和正比例函数一样,一次函数的定义域也是全体实数,但实际问题要对定义域进行限定
28.一次函数解析式的求法,还是待定系数法。
为了解出k、b两个未知数,需要知道两组x、y的值,列方程组
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(8)
纵轴上的砍伐—一次函数的图象(30道)
29.一次函数的图像是一条直线,作图时把握两个特殊点就可以:
(-k/b,0)和(0,b),分别是和x轴、y轴的交点
30.一次函数中斜率k、截距b对图像的影响
31.k决定直线的倾斜角度
32.b决定直线与y轴的交点位置
33.据k、b的正负就可以确定一次函数图象的大致位置,反过来也能根据图像推断k,b的正负
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(9)
坐标系的立交桥—一次函数图象的交点(20道)
34.点的坐标满足某个函数的解析式,点就在这个函数的图象上
35.把某点的坐标代入函数解析式,看等式是否成立,就能验证它在不在函数的图象上
36.函数图象上任意一点的坐标一定满足解析式,所以利用解析式,可以设出函数图象上某一点的坐标
37.求直线的交点,y=k1x+b1和y=k2x+b2,本质就是解方程组,解得的x和y分别是交点的横坐标和纵坐标
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(10)
直线交织的三角—一次函数图象的面积问题(20道)
38.一条直线与两条坐标轴围成的三角形:
令x和y分别为0,求出B的纵坐标和A的横坐标,然后取绝对值,乘积除以2就是面积
39.两条直线和一条坐标轴围成的三角形:
先求出两条直线交点的坐标,交点到相应坐标轴的距离就是高。
然后分别求出两条直线与相应坐标轴的交点坐标,差的绝对值就是底长,底乘高除以2就是面积
∙
(11)
函数的平行重生—一次函数平行及平移变换(19道)
40.平行的一次函数图像,他们的解析式特点。
l₁:
y=k₁x+b₁和l₂:
y=k₂x+b₂;k₁=k₂且b₁≠b₂
41.平行的直线斜率相同,截距不同;反过来,斜率相同,截距不同的解析式,图像势必平行
42.函数的平移规律:
左加右减、上加下减。
上加下减把b加上或减去移动的m个单位
43.左加右减是把x整体换成(x+m)或(x–m)
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(12)
坐标系上的医疗保障—一次函数图像相互垂直(20道)
44.垂直直线的解析式特点:
当两直线y=k1x+b1和y=k2x+b2垂直时,斜率互为负倒数k1*k2=-1
45.反过来就是如何判定两直线是否垂直,只要k1*k2=-1,两直线就垂直
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相似三角形
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(1)
三线金—黄金分割上(16道)
1.如果全长线段和较长分线段的比值,恰好等于较长分线段和较短分线段的比值。
那么我们就管这种比例叫做黄金比例,这个节点就是黄金分割点
2.黄金比用列方程的思想来解决
3.黄金比有两种说法,1:
0.618或者1.618:
1,总之都是长的比短的
4.黄金分割其实跟金条,money都没关系,而是在一条线段上完成的一种具有比例关系的分节
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(2)
美丽数学潜规则—黄金分割下(17道)
5.黄金比的美来源于数学,深潜于人类的意识中,是最纯正和理想的
6.用尺规作图法画出一条线段的黄金分割点
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(3)
平行线的华美乐章—平行线等分线段定理(5道)
7.当看到一组平行线,然后有至少两条线穿过它们时,就要想到平行线等分线段定理啦
8.记住两条直线穿过五线谱的模型。
如果这组平行线能等分一条直线,那就也能等分其他直线。
9.定理的两种应用,一是在梯形里,一是在三角形里。
主要用来证明线段相等的关系
10.当条件或者问题中的线段关系集中在某一条边上时,你就要向这条边引一条平行的辅助线
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(4)
魔幻变形记—相似三角形(1道)
11.相似变换,特点就是形状不变,而大小、方向、位置都随便,无要求
12.相似三角形的定义:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形。
全等是相似的一种特殊情况,是相似比为1的相似
13.“对应”的理解和应用,书写时要注意字母顺序问题必须符合对应关系
∙
(5)
相似判定之急先锋—两角定理(30道)
14.两角定理,它是证明三角形相似的急先锋,最简单,最管用,只要找到两个角对应相等就够了
15.是公共角与中介角的利用,找到隐藏的相等角,为两角定理创造条件
16.对于三角形这种简单的图形,相似就是形状的相同。
只要确定内角相等,就可以确定它们的形状相同,这就是两角定理的实质
∙
(6)
风云赛场的中流砥柱—两边夹角定理(20道)
17.三角形相似证明的第三个定理:
两边夹角定理。
需要证明两组对应边的比例相等,而且夹角也要相等。
最需要注意的就是相等的角一定要是夹角才可以
18.熟悉题目中的比例式和乘积式,尤其是乘积式展开化成比例式。
隐藏的更深的是含平方的乘积式,展开A²=B.C化成比例式后,它通常会告诉你含有公共边的边长比例关系
∙
(7)
平方大爆炸—相似三角形的面积比(1道)
19.一正一反两条规律:
相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似比等于面积比的开方
∙
(8)
切割金字塔—相似比和三角形、梯形的面积比的关系(1道)
20.主要就是相似三角形面积关系的延伸,切割金字塔的图形
21.若相似比DE:
BC=1:
n,则△ADE的面积:
梯形DBCE的面积=1:
(n²-1)
22.若△ADE的面积:
梯形DBCE的面积=1:
n,则相似比DE:
BC=AD:
AB=1:
根号下n+1。
23.还有把金字塔切割成面积相等的n份,底边的比例就是一串连续带根号的自然数,侧面小线段的比例就是后一个根号减前一个根号。
∙
平面直角坐标系
∙
(1)
锁定你的位置—平面直角坐标系(20道)
1.为了确定一个平面内点的位置,人们发明了平面直角坐标系。
就是有公共原点而且互相垂直的两条数轴。
平面直角坐标系的三个特征:
两条数轴、互相垂直、原点重合
2.如何确定坐标系内任意一点P的坐标:
过P分别向x、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,点P的坐标就记作(a,b)
∙
(2)
不同房间的规则—点的坐标特征(20道)
3.知道1234象限的位置,还有每个象限内的点的坐标特征:
第一象限:
(+,+)第二象限:
(–,+)第三象限:
(–,–)第四象限:
(+,–)
4.坐标轴上点的坐标特征:
x轴上的点纵坐标为0,记为(a,0)。
y轴上的点横坐标为0,记为(0,a),原点坐标为(0,0)
5.点P(a,b)到x轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|。
由此得到象限角平分线上点的坐标,分别是(a,a)、(–a,a)、(–a,–a)和(a,–a)
∙
(3)
棋盘上的物换星移—坐标平面内的平移变换(20道)
6.坐标系内点的平移规律:
左右平移,横坐标左减右加;上下平移,纵坐标上加下减
7.两个方向同时平移时只需要单独考虑横坐标和纵坐标的变化情况,两种变化互不干扰
8.根据坐标的变化情况也可以得出平移的方向和平移量,作法是把平移规律反过来用
9.图形的平移规律:
在图形的平移中,图形中的每一个点都向相同的方向平移相同的距离。
因此图形的平移问题实质上还是点的平移问题
∙
(4)
镜子里的神秘位置—坐标平面内的对称变换(20道)
10.点的坐标特征:
平行于x轴的直线上,点纵坐标相同;平行于y轴的直线上,点横坐标相同
11.是关于x轴、y轴和原点对称的两点的坐标特征:
关于x轴对称的点,x坐标相同,y坐标互为相反数;关于y轴对称的点,y坐标相同,x坐标互为相反数;关于原点对称的两点横纵坐标都互为相反数
12.对称图形的画法:
根据对称的坐标规律,画出各顶点相应的对称点,再连起来就是对称图形
∙
(5)
坐标系内的直达班机—距离公式(31道)
13.AB两点的距离公式,设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)
14.若平行于x轴,A、B两点纵坐标相等,AB=|x1–x2|
15.若平行于y轴,A、B两点横坐标相等,AB=|y1–y2|
16.然后是任意两点间的距离公式:
根号下的x2+y2。
需要认真体会利用勾股定理得到这个公式的思想
17.最后,坐标为(x,y)的点A,到原点的距离
∙综合练习(15道)
古代诗歌鉴赏
∙
(1)
长城何连连,连连三千里—吹响边塞诗的号角(5道)
1.读懂了边塞诗,可以说就是读懂了中国从乱世到盛世的那一段历史
2.边塞诗在盛唐的时候达到了高峰,但是却是在魏晋南北朝开始的
3.陈琳,建安七子之一,代表作《饮马长城窟行》是魏晋南北朝时代最出名的一首边塞诗。
“长城何连连,连连三千里。
边城多健少,内舍多寡妇”、“君不见长城下,死人骸骨相撑拄”
4.魏晋南北朝时代边塞诗的主流思想,就是对战争的厌恶
∙
(2)
宁为百夫长,胜作一书生—边塞诗的高潮(5道)
5.唐朝是边塞诗发展的黄金时期,主要分为三个阶段:
初唐、盛唐和晚唐
6.唐诗里有“凌烟阁”这个意象,就是表达诗人想建功立业的思想
7.边塞诗主要从意象的选取、作者的思想情感和诗歌描述的意境几个方面来考察
8.盛唐时期的诗歌意象上还是“烽火”、“战马”、“大漠”、“军旗”、“风”、“日月”等,但是表达的感情却比以前要慷慨激昂,主要都是写战争的艰苦,和表达想建功立业,为国杀敌的感情
9.晚唐的边塞诗更多的也就是抱怨政府,同情老百姓,回忆一下曾经的辉煌了
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(3)
秦时明月汉时关,万里长征人未还—边塞诗之余音袅袅(5道)
10.边塞诗记录着我们的历史,记载了我们民族曾经那么自信的风貌,也告诉了我们战争之下我人民的痛苦,读这些诗歌,我们要注意诗人们选用的大西北特有的那些意象,以及他们各具特色的手法的运用,还有诗人们忧国忧民,渴望报效国家,开疆拓土,同时又对战争中百姓的同情等等一系列的复杂情感,要学会从诗中提炼出一幅幅壮烈的战争画面,学会了这些,我们对中考的边塞诗鉴赏也就不用担心了
∙
(4)
无物不可咏,无意不可发—咏物诗的起源(5道)
11.咏物言志诗,就是诗人不直接表露自己的思想感情,而是借助于所咏之物的外形、特点、神韵和品格进行描述,以寄托诗人自己的感情,表达诗人的精神品质和理想
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(5)
不知细叶谁裁出,二月春风似剪刀—咏物言志诗的高峰(5道)
12.咏物诗中所咏之“物”往往是作者的自况,与诗人的自我形象完全融合在一起,作者在描摹事物中寄托了一定的感情。
在诗中作者或流露出作者的人生态度,或寄寓美好的愿望,或包涵生活的哲理,或表现作者的生活情趣
13.赏析咏物言志诗要从意象、修辞手法、表达感情的方式和诗眼、角度等方面出发
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(6)
一切景语皆情语,一切情语皆景语—山水田园诗的兴起原因(5道)
14.山水田园诗,就是“情”和“景”的交流
15.陶渊明、谢灵运是田园诗和山水诗的鼻祖
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(7)
采菊东篱下,悠然见南山—山水田园诗的开端(5道)
16.田园诗和山水诗的不同,这两种类型的诗词都是写自然风光的,并寄情与景,不同之处是,田园诗是乡土文学,专门写农村自然风光和农民,农耕的,表达对田园生活的赞美,对农民生活的同情;山水诗是城市小资和贵族们陶冶身心的游记,大都是表达了士大夫阶层的政治情怀的
17.山水田园诗的三巨头是陶渊明、谢灵运和王维
∙
(8)
明月松间照,清泉石上流—山水田园诗的顶峰(5道)
18.盛唐是中国历史的巅峰时期,这个时期山水田园诗也达到了顶峰
19.山水田园诗主要是诗人寄情山水,通过对田园山水风景的描写来抒发自己闲适淡薄,追求隐逸的人生追求;做山水田园诗的鉴赏时要注意诗中意象和相关动词形容词的选择
∙
(9)
诗者,情动于中而行于言—即物感怀诗的分类(5道)
20.即物感怀诗更关注个人情感
21.即物感怀诗的三大类别:
思乡诗、送别诗、爱情诗
∙
(10)
露从今夜白,月是故乡明—即物感怀思乡篇(5道)
22.思乡诗的情感基调:
“思念家乡亲人以及对自己漂泊在外的一种孤独感”
23.常见的意象主要是月亮、大雁、双鲤
24.每一首思乡诗都是一个故事,前两句都是写景或者叙事,后两句是抒情,一般诗词默写都会考后两句
∙
(11)
送君南浦,伤如之何—即物感怀送别篇(5道)
25.送别诗包含了送别友人、情人和家人,后两者我们放在爱情诗和思乡诗里讲,在这里只讲别朋友
26.诗歌里有“柳”这个意象,用来表达对友人依依不舍的感情
27.一般送别诗都在题目上交代清楚了,典型句式是“某地送(别)某人去(之、使、入、出.......)某地”
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(12)
此情无计可消除,才下眉头,却上心头—即物感怀爱情篇(5道)
28.爱情诗主要是李商隐、李煜、柳永这几个情圣和李清照这个大才女的诗歌
29.爱情是全人类共通的语言,所以要表达的感情都是差不多的,所以很少考到鉴赏,不过我们讲过的这些名家名句大家用心去记住,因为默写肯定是要考的
∙综合
一元二次方程
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(1)
二次元世界的入口—一元二次方程(11道)
1.一元二次方程的特点,1.整式方程,2.只含有一个未知数,3.未知数的最高次数为2
2.一元二次方程的一般形式,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c是常数项。
只有将方程化为一般形式,才有这些概念
3.一元二次方程最重要的特征,只需满足二次项系数a≠0,对b和c不作限制
4.代入法:
检验数值是否为方程的根,将数值代入方程,验证方程左右两边是否相等
∙
(2)
初战二次元—开平方法和因式分解法解方程(20道)
5.最简单的直接开平方法,常见的使用情形有三种,x²=a(a≥0),(x-a)²=b(b≥0),(x-a)²=k(x-b)²(k>0),遇到这三种情况,直接考虑两边同时开方。
但是一定要注意结果正负号的保留
6.因式分解法求解一元二次方程,分为三步,先把原式化为一般形式,再将等号左边的多项式分解因式。
最后,根据乘法原则求出方程的根
∙
(3)
诸葛东风般的常数—配方法解一元二次方程(20道)
7.配方法解方程的步骤总结为一首七言绝句:
二次系数化为一,常数要往右边移,一次系数一半方,有借有还讲道理
8.把二次项系数化为1后,要配的常数就是一次项系数一半的平方
9.加上这个常数后,你还一定要减去这个常数,或者在等式的另一边也加上这个常数,这是为了维持等式的恒等
∙
(4)
隐藏的大法官—一元二次方程根的判别式(20道)
10.一元二次方程根的判别式,△=b²-4ac。
当△>0时,方程有两个不等的根;当△=0时,方程有两个相等的根;当△<0时,方程没有根
11.根据题目告诉你的根的特点,利用判别式可以确定题目中未知参数的取值范围
12.利用判别式证明一元二次方程根是否存在固定的情况,比如绝对有两个不相等的实数根
13.根的判别式通常只是解题的第一步,它只能大致判断出根的性质,至于根与系数之间存在的具体关系,这种小纠纷就不在大法官的管辖内了,这时你就要用韦达定理来分析
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(5)
傻瓜的自豪—公式法解一元二次方程(20道)
14.熟悉万能求根公式2a分之-b加减根号b方减4ac的推导过程
15.将一元二次方程化成一般形式,找出各项系数a、b、c
16.将a、b、c代入万能求根公式,通过计算求出方程的根
∙
(6)
智者偷懒的捷径—韦达定理(20道)
17.韦达定理的基本内容两根之和等于a分之-b,两根之积等于a分之c,以及延伸公式|x₁-x₂|
18.利用韦达定理表达出两根之间的特殊关系两根的平方和,和两根倒数之和
19.已知两根之和与两根之积写出原方程x²+(x₁+x₂)x+x₁x₂=0
∙
反比例函数
∙
(1)
乘积限制令—反比例函数(20道)
1.反比例函数的概念,当两个变量的乘积是一个固定的,不为0的常数时,他们就是反比例的关系
2.反比例函数的解析式是:
(k是常数,且k≠0),k也叫做比例系数
3.反比例函数必须满足的三点:
1、k是常数且k不为零。
2、自变量x的指数是–1。
3、解析式中除了比例系数k外没有其他常数。
同时它的定义域是x≠0。
4.求反比例函数解析式用待定系数法。
注意多个函数在同一个式子中出现时,要用不同的字母来表示系数k
∙
(2)
无法企及的地平线—反比例函数的图象(20道)
5.两支双曲线,无限接近x轴和y轴,但和坐标轴没有交点
6.反比例函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形
7.对称中心是原点,当k>0时对称轴是直线y=x,当k大于0时,图象位于一、三象限;当k小于0时对称轴是直线y=–x
8.k对图像的影响:
当k大于0时,图象位于一、三象限;当k小于0时,图象位于二、四象限。
|k|决定了图象距离坐标轴的远近,|k|越大,图象离坐标轴越远
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(3)
一个逆袭引发的血案—反比例函数的增减性(20道)
9.反比例函数的增减性:
当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大。
凡是不强调“每一支曲线”的说法
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- 直角三角形 勾股理