离散数学 第五版.docx

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离散数学第五版

第1章习题解答

1.1除（3）,（4）,（5）,（11）外全是命题,其中,

（1）,

（2）,（8）,（9）,（10）,（14）,（15）是简单命题,（6）,（7）,（12）,（13）是复合命题。

分析首先应注意到,命题是陈述句,因而不是陈述句的句子都不是命题。

本题中,（3）为疑问句,（5）为感叹句,（11）为祈使句,它们都不是陈述句,所以它们都不是命题。

其次,（4）这个句子是陈述句,但它表示的判断结果是不确定。

又因为

（1）,

（2）,（8）,（9）,（10）,（14）,（15）都是简单的陈述句,因而作为命题,它们都是简单命题。

（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题,（12）是由联结词“或”联结的复合命题,而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。

这里的“且”为“合取”联结词。

在日常生活中,合取联结词有许多表述法,例如,“虽然......,但是......”、“不仅......,而且......”、“一面......,一面......”、“......和......”、“......与......”等。

但要注意,有时“和”或“与”联结的是主语,构成简单命题。

例如,（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语,这两个命题均为简单命题,而不是复合命题,希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时,要根据命题所陈述的含义加以区分。

1.2

（1）p:

2是无理数,p为真命题。

（2）p:

5能被2整除,p为假命题。


（6）p→q。

其中,p:

2是素数,q:

三角形有三条边。

由于p与q都是真

命题,因而p→q为假命题。


（7）p→q,其中,p:

雪是黑色的,q:

太阳从东方升起。

由于p为假命

题,q为真命题,因而p→q为假命题。


（8）p:

2000年10月1日天气晴好,今日（1999年2月13日）我们还不

知道p的真假,但p的真值是确定的（客观存在的）,只是现在不知道而已。

（9）p:

太阳系外的星球上的生物。

它的真值情况而定,是确定的。

1

（10）p:

小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定,是确定的。


（12）p∨q,其中,p:

4是偶数,q:

4是奇数。

由于q是假命题,所以,q

为假命题,p∨q为真命题。


（13）p∨q,其中,p:

4是偶数,q:

4是奇数,由于q是假命题,所以,p∨q

为假命题。


（14）p:

李明与王华是同学,真值由具体情况而定（是确定的）。

（15）p:

蓝色和黄色可以调配成绿色。

这是真命题。


分析命题的真值是唯一确定的,有些命题的真值我们立即可知,有些则不

能马上知道,但它们的真值不会变化,是客观存在的。


1.3令p:

2+2=4,q:

3+3=6,则以下命题分别符号化为

（1）p→q

（2）p→¬q（3）¬p→q（4）¬p→¬q（5）p↔q（6）p↔¬q（7）¬p→q

（8）¬p↔¬q以上命题中,

（1）,（3）,（4）,（5）,（8）为真命题,其余均为假命题。

分析本题要求读者记住p→q及p↔q的真值情况。

p→q为假当且仅当

p为真,q为假,而p↔q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题,在4个蕴含式中,只有

（2）p→r,其中,p同

（1）,r:

明天为3号。

在这里,当p为真时,r一定为假,p→r为假,当p为假时,无论r为真还是为假,p→r为真。

2

1.5

（1）p∧q,其中,p:

2是偶数,q:

2是素数。

此命题为真命题。

（2）p∧q,其中,p:

小王聪明,q:

小王用功
（3）p∧q,其中,p:

天气冷,q:

老王来了
（4）p∧q,其中,p:

他吃饭,q:

他看电视

（5）p∧q,其中,p:

天下大雨,q:

他乘公共汽车上班（6）p→q,其中,p,q的含义同（5）
（7）p→q,其中,p,q的含义同（5）
（8）¬p↔¬q,其中,p:

经一事,q:

长一智

分析1°在前4个复合命题中,都使用了合取联结词,都符号化为合取式,这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。

在符号化时,应该注意,不要将联结词部分放入简单命题中。

例如,在

（2）中,不能这样写简单命题:

p:

小王不但聪明,q:

小王而且用功。

在（4）中不能这样写:

p:

他一边吃饭,q:

他一边看电视。

2°后4个复合命题中,都使用了蕴含联结词,符号化为蕴含式,在这里,关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。

p→q所表达的基本逻辑关系为,p是q的充公条件,或者说q是p的必要条件,这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。

例如,“因为p,所以q”,“只要p,就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q,否则¬p”“没有q,就没有p”等都表

达了q是p的必要条件,因而都符号化为p→q或¬p↔¬q的蕴含式。

在（5）中,q是p的必要条件,因而符号化为p→q,而在（6）（7）中,

p成了q的必要条件,因而符号化为q→p。

在（8）中,虽然没有出现联结词,但因两个命题的因果关系可知,应该符号化为蕴含式。

1.6

（1）,

（2）的真值为0,（3）,（4）的真值为1。


分析1°

（1）中公式含3个命题变项,因而它应该有23=8个赋值:

000,

3

001,...,111题中指派p,q为0,r为1,于是就是考查001是该公式p∧（q∧r）的成真赋值,还是成假赋值,易知001是它的成假赋值。

2°在公式

（2）,（3）,（4）中均含4个命题就项,因而共有24=16个赋值:

0000,0001,...,1111。

现在考查0011是它的成假赋值。


1.7

（1）,

（2）,（4）,（9）均为重言式,（3）,（7）为矛盾式,（5）,（6）,

（8）,（10）为非重言式的可满足式。

一般说来,可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判

断公式的类型。

（1）对

（1）采用两种方法判断它是重言式。


真值表法
表1.2给出了

（1）中公式的真值表,由于真值表的最后一列全为1,所以,

（1）为重言式。

p

p→（p∨q∨r）

q

r

p∨q∨r

00110011

01010101

01111111

0101010111111111

等值演算法

p→（p∨q∨r）

⇔¬p∨（p∨p∨r）（蕴含等值式）

⇔（¬p∨p）∨p∨r（结合律）

⇔1∨q∨r（排中律）⇔1（零律）

4

由最后一步可知,

（1）为重言式。

（2）用等值演算法判

（2）为重言式。

（p→¬p）→¬p

⇔（¬p∨¬）→¬p

⇔¬p∨¬p

⇔p∨¬p⇔1

（蕴含等值式）

（等幂律）

（蕴含等值式）

（排中律）（3）用等值演算法判（3）为矛盾式

¬（p→q）∧q

⇔¬（p¬∨q）∧q

⇔p∨¬q∧q

⇔p∨（¬q∧q）

（蕴含等值式）

（德·摩根律）

（结合律）

⇔p∧0（矛盾律）

⇔0（零律）由最后一步可知,（3）为矛盾式。

（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。

真值表法

p

（¬p→q）→（q→¬p）

q

¬p

¬p→q

q→¬p

0101

1100

0111

1110

01011110

由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。

主析取范式法

（¬p→q）→（q→¬p）⇔（p∨q）→（¬q∨¬p）

5

⇔¬（p∨q）∨（¬q∨¬p）⇔（¬p∨¬q）∨¬q∨¬p

⇔¬p∨¬q
⇔（¬p∧1）∨（1∧¬q）

⇔（¬p∧（¬q∨q）∨（（¬p∨p）∧¬q）

⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∨q）∨（¬p∧¬q）∨（p∨¬q）

⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∨q）∨（¬p∧¬q）

⇔m0∨m1∨m2.

在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项,所以（3）为非重言式的可满足式,请读者在以上演算每一步的后面,填上所用基本的等值式。

其余各式的类型,请读者自己验证。

分析1o真值表法判断公式的类别是万能。

公式A为重言式当且仅当A的

真值表的最后一旬全为1;A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0;A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1,又至少有一个0。

真值表法不易出错,但当命题变项较多时,真值表的行数较多。

2o用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例,A为重言式当且仅当A与

1等值;A为矛盾式当且仅当A与0等值,当A为非重言式的可满足式时,经过等值演算可将A化简,然后用观察法找到一个成真赋值,再找到一个成假赋值,就可判断A为非重言式的可满足式了。

例如,对（6）用等值演算判断它的类型。

（p∧¬p）↔q⇔0↔q
⇔（p→q）∧（q→0）⇔（¬0∨q）∧（¬q∨0）⇔（1∨q）∧¬q⇔1∧¬q

（矛盾律）

（等价等值式）

（蕴含等值式）

（同一律）

（零律）

6

⇔¬q（同一律）到最后一步已将公式化得很简单。

由此可知,无论p取0或1值,只要q取

0值,原公式取值为1,即00或10都为原公式的成真赋值,而01,11为成假赋值,于是公式为非重言式的可满足式。

用主析取范式判断公式的类型也是万能的。

A为重言式当且仅当A的主析取

范式含2n（n为A中所含命题变项的个数）个极小项;A为矛盾式当且仅当A的

主析取范式中不含任何极小项,记它的主析取范式为0;A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项,但不是完全的。

当命题变项较多时,用主析取范式法判公式的类型,运算量是很大的。

用主合取范式判断公式的类型也是万能的。

A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项,此时记A的主合取范式为1;A为矛盾式当且仅当A的

主合取范式含2n个极大项（n为A中含的命题变项的个数）;A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项,但不是全部的。

1.8

（1）从左边开始演算

（p∧q）∨（p∧¬q）

⇔p∧（q∨¬q）

⇔p∧1

⇔p.

（2）从右边开始演算

p→（q∧r）

⇔¬p∨（q∧r）

⇔（¬p∨q）∧（¬p∨r）

⇔（p→q）∧（p→r）.（3）从左边开始演算

¬（p↔q）

（分配律）

（排中律）

（同一律）

（蕴含等值式）

（分配律）

（蕴含等值式）

7

⇔（（p→q）∧（q→p））

⇔¬（（¬p∨q）∨（¬p∨q））

⇔¬（（¬p∧q）∨（¬p∧）∨（q∧¬q）∨（p∧q））

⇔¬（（¬p∧¬q）∨（p∧q））

⇔（p∨q）∧¬（p∧q）.请读者填上每步所用的基本等值式。

本题也可以从右边开始演算

（p∨q）∧¬（p∧q）

⇔¬¬（（p∨q）∧¬（p∧q）

⇔¬（¬（p∨q）∨¬¬（p∧q））

⇔¬（（¬p∨¬q）∨（p∧q））

⇔¬（（¬p∧q）∧（¬p∨q）∧（¬q∨p）∧（¬q∨q））

⇔¬（1∧p∨q）∧（¬q∨p）∧1

⇔¬（（p→q）∧（q→p））

⇔¬（p↔q）.读者填上每步所用的基本的等值式。

1.9

（1）

¬（（p∧q）→p）⇔¬（¬（p∧q）∨p⇔¬（¬（p∧q）∨p）⇔p∧q∧¬p

⇔（p∧¬p）∧q⇔0.

（蕴含等值式）

（德·摩根律）

（结合律、交换律）

（矛盾式）（零律）

8

由最后一步可知该公式为矛盾式。

（2）（（p→q）∧（q→p））→（p↔q）

⇔¬（¬（p∧q）∨p）（蕴含等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同,因而此公式无成假赋值,所以,它为

重言式。


（3）（¬p→q）→（q→¬p）

⇔（p∨q）→（¬q∨¬p）⇔¬（p∨q）∨（¬q∨¬p）⇔（¬p∧q）∨¬q∨¬p⇔¬q∨¬p

（蕴含等值式）

（蕴含等值式）

（德·摩根律）

（吸收律）

⇔¬p∨¬q.（交换律）

由最后一步容易观察到,11为该公式成假赋值,因而它不是重言式,又00,01,10为成真赋值,因而它不是矛盾式,它是非重言式的可满足式。

1.10题中给出的F,G,H,R都是2元真值函数。

给出的5个联结词集都是全功能集,可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。

首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。

（1）设A=¬（p→q）,易知A是{¬,→}中公式且与F等值,即F⇔A.

（2）设B=p∧¬q,易知B是{¬,∧}中公式且与F等值,即F⇔B.（3）设C=¬（¬p∨q）,易知C是{¬,∧}中公式,且F⇔C.（4）设D=（p↑（q↑q））↑（p↑（q↑q））,易知D为{↑}中公式,且F⇔D.

（5）设E=（p↓p）↓q,易知E为{↓}中公式,且F⇔E.

分析1°只要找到一个联结词集中与F等值的公式,经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。

例如,已知A=¬（p→q）是{¬,→}公式,

且F⇔A。

进行以下演算,就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。

对A进行等值演算,消去联结词→,用¬,∧取代,得

9

A=¬（p→q）

⇔¬（¬p∨q）⇔p∧¬q记为B.

则B为{¬,∧}中公式,且F⇔B。

再对A进行等值演算,消去→,用¬,∧取代,得

A=¬（p→q）⇔¬（¬p∨q）记为C.

则C为{¬,∧}中公式,且F⇔C。

再对B进行演算,消去¬,→,用↑取代,在演算中,注意,对于任意的公式A,有

¬A⇔¬（A∧A）⇔A↑A.B=p∧¬q

⇔p∧（q↑q）⇔¬¬（p∧（q↑q））

⇔¬（p↑（q↑q））
⇔（p↑（q↑q））↑（p↑（q↑q）记为D.

则D为{↑}中公式,且F⇔D.再对C进行演算,消去¬,∨,用↓取代,在演算中注意,对于任意的公式A

¬A⇔¬（A∨A）⇔A↓A.C=¬（¬p∨q）

⇔¬p↓q
⇔（p↓p）↓q记为E.

则E为{↓}中公式,且F⇔E.
2°开始找一个与某真值函数等值的公式的方法,除观察法外,就是根据

10

该真值函数的真值表,求它的主析取范式,而后进行等值演算即可。

例如,由G的真值表可知G的主析取范式为m1∨m3,于是

G⇔m1∨m3
⇔（¬p∧q）∨（p∧q）

⇔（¬p∨p）∧q⇔q.

由于公式q不带联结词,所以,它应该为任何联结词集中的合式公式。

3°在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。

例如,取

A=¬q→q.B=q∧q.C=q∨q.

D=（q↑q）↑（q↑q）.

E=（q↓q）↓（q↓q）.
则G⇔A⇔B⇔C⇔D⇔E,对于同一个真值函数G,找到与它等值的形

式各异的公式。


对于H和R,请读者自己去完成。


1.11

（1）对C是否为矛盾式进行讨论。


当C不是矛盾式时,A∨C⇔B∨C,则一定有A⇔B,这是因为,此时,

A∨C⇔A,B∨C⇔B,所以,有
A⇔A∨C⇔B∨⇔B

必有A⇔B
而当C不是矛盾式时,A∨C⇔B∨C,不一定有A⇔B,举反例如下:

设A,B,C均为含命题变项p,q的公式,A,B,C及A∨C,B∨C的真值表如表

1.4所示,从表1.4可看出,A∨C⇔B∨C,但A⇔B。

表1.4

（{¬,→}中公式）（{¬,∧}中公式）（{¬,∨}中公式）

（{↑}中公式）

（{↓}中公式）

11

q

A

B

C

AVC

0101

0010

0011

0011

0011

pBVC00001111

（2）对C是否为重言式进行讨论:

若C为重言式,则A∧C⇔A,C⇔B,于是
A⇔A∧C⇔B∧C⇔B.

因而有
当C不是重言式时,请读者举反例说明,A∧C⇔B∧C时,不一定有

A⇔B.
（3）若¬A⇔¬B,则A⇔B.证明如下:

A⇔¬¬A⇔¬¬B

A⇔（p∨（q∧r））→（p∧q∧r）
A⇔¬（p∨（q∧r））∨（p∧q∧r）
A⇔¬p∧（¬q∧¬r）∨（p∧q∧r）
A⇔（¬p∧¬q）∨（¬q∧¬r）∨（p∧q∧r）
A⇔（¬p∧¬q∧（¬r∧r））∨（¬p∧q∧r）∧¬r）∨（p∧q∧r）

∨（¬p∧q∧¬r）∨（p∧q∧r）A⇔m0∨m1∨m7

所以
1.12

（1）设

（1）中公式为A.

⇔B
A⇔B

A⇔B

（双重否定律）（¬A⇔¬B）

（双重否定律）

12

于是,公式A的主析取范式为

易知,A的主合取范式为

A的成真赋值为

A的成假赋值为

（2）设

（2）中公式为B

m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6

000,001,010,111

011,100,101,110

B⇔（¬p→q）→（¬q∧p）⇔（¬¬p∨q）→（¬q∧p）⇔（p∨q）→（¬q∧p）
⇔¬（p∨q）∨（¬q∧p）

⇔（¬p∨¬q）∨¬q∧p
⇔¬q∧p（吸收律）
⇔（（¬p∨q）∧¬）∨p∧（¬q∧p）⇔（¬p∨¬q）∨p∧（p∧¬q）∨（p∧q）⇔m0∨m2∨m3

所以,B的主析取范式为m0∨m2∨m3.B的主合取范式为M1

B的成真赋值为00,10,11.B的成假赋值为01.（3）设（3）中公式为C.

C⇔¬（p→q）∧q∧r⇔（p∧¬q）∧q∧r]13

⇔p∧（¬q∧q）∧r⇔p∧0∧r

⇔0.C的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3

C的成假赋值为00,01,10,11C无成真赋值,C为矛盾式.

分析1°设公式A中含n（n≥1）个命题变项,且A的主析取范式中含

l（0≤l≤2n）个极小项,则A的主合邓范式中含2n−l个极大项,而且极大项的角标

分别为0到2n−1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.

在

（1）中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含23−4=4个极大项,它们的角标为0到7中未在主析取范式的极小项角标中出现

过的3,4,5,6.这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在

（2）,（3）中情况类似.

2°A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在

（1）中,由于主析取范式中的极小项角标分别为0,1,2,7,它们的二进制表示分别为000,001,010,111,所以,A的成真赋值为以上各值.类似地,A的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.

1.13

（1）首先求p→（q→r）的主析取范式.p→（q→r）

⇔¬p∨（¬q∨r）⇔¬p∨¬q∨r）.

由于演算过程较长,可以分别先求出由¬p,¬q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小项长度为3.

所以,C的主析取范式为0.

14

¬p⇔¬p∧（¬q∨q）∧（¬r∨r）⇔（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧q∧¬r）∨（¬p∧¬q∧r）⇔m0∨m1∨m2∨m3

¬p⇔（¬p∨p）∧¬q∧（¬r∨r）
⇔（¬p∧¬q∧¬r）∨（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧¬q∧¬r）∨（p∧¬q∧r）⇔m0∨m1∨m4∨m5
r⇔（¬p∨p）∧（¬q∨q）∧r
⇔（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧¬q∧r）⇔（p∧¬q∧r）∨（p∧q∧r）⇔m1∨m31∨m5∨m7

p→（q→r）⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
类似地,可求出q→（p→r）主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式

的唯一性,可知,

（2）1

p↑q
⇔¬（p∧q）

（p→（q→r））⇔（q→（p→r））.

⇔¬p∨¬q⇔（¬p∧（¬q∨q））∨（（¬p∨p）∧¬q）

⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∧q））∨（（¬p∨¬p）∨（p∧¬q）⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∧q）∨（p∨¬p）

15

⇔m0∨m1∨m2.2p↓q

⇔¬（p∧q）⇔¬p∨¬q

⇔m0.
由于p↑q与p↓q的主析取范式不同.因而它们不等值,即p↑q⇔p↓q.

1.14设p:

A输入;设q:

B输入;
设r:

C输入;

由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出

它们的主析范邓