振动力学课后答案docx.docx
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1.8图示为一周期性方波。
(1)将它展成傅里叶级数;
(2)比较
(1)的级数与例1.1中的级数,
察到方波相位前移1/4周期时有什么效应?
解:
一个周期内函数P(t)可以表示为
P(t)=
P0
c713兀
0 269269 71371 由于区间[0,T]内P(f)关于f堆成,一周内面积为0,故%=0。 -71 "cosncotdt— cosncotdt+J3-cosncotdt 2a>2a> sinneo 71 3兀 2〃 节 Ico sinneo 2it> sinneo neo 0 neo 71 1 neo 3冗 ICD ICD_ So 7U 4尸 T17V O n为奇数 n为偶数 +T. x(t)sinna)tdt 1 —cosnaftn •••图示方波的傅里叶级数展开式为: pu>=2^ansin(w^+—)=—2^ 花=1Z兀〃=1,3,... 4Rz1-1仁、 =——-(cos仞+—cos3cot+—cos5cotH—)7T35 比较例1.1,可以得到: 相位前移1/4周期后,傅里叶级数的每一项函数由奇函数变为偶函数,但各分量的幅值不变。 2.8求图所示的系统的固有频率,其中钢丝绳的刚度为稣滑轮质量忽略不计。 解: 对于系统,钢绳等效为弹性系数为M的弹簧。 则每个弹簧的变形分别为: .mg.4mg.^mg &=E 总变形人次+人,+々=性+虹+理灯k2k3 系统等效刚度为: k_mg_krk2k3 A+4k]k: 3+4k1k2 系统的固有频率为: 切=I*#2*3 "VmVk^k3+4**3+4k*2 2.27一个有阻尼的弹簧质量系统,质量是lOKg,弹簧静伸长时lcm,自由振动20个循环后,振幅从0.64cm减至0.16cm,求阻尼系数c。 解: 由幅值A=0.64cm,A21=0.16cm, 两边求对数,In4=20(郭)4)=— ©J1-广 由于振动衰减的很慢,。 一定很小,所以ln4形40%,而^=—= 3.14对于图示系统,证明: (1)a)=42(on时,摆杆的中点是节点N,在单摆振动时N点始 终不动; (2)一般情况下,摆锤至节点N的距离为b=lS。 证明: (1)由于微幅振动中偏角。 的变化规律为: °=匚—sin仞,其中2=—,con=1^-I1-/1CDnVI 当69=时'人=~~~=V2, VIcon 节点N的位移In可表示为: I万.IaA. Xxj=x„H—0=qsincotH—•一sincot Ns22I1-22 =asin)=0 21 即,当a)=皿咯时,摆杆中点N在摆动中始终不动。 (2)一般情况下,节点N的位移X"为: 口人2 xN=xs+brO=asina)t+brsincot I1—/I =asin仞(1+旦 I1—A 则不动点N的位移xN=0 Bn,b'22nb'ar,成、 即: 1+=0,=-1,b'=1(1——) /1-名I就—1冰, 3.33求零初始条件下的无阻尼系统对图所示激振力的响应。 解: 图示函数可以表示为: Pl牛 n 0 ①当0时, %=-^―£P(r)sinmn(t—z)dc 〔R (1)sina)n(t—T^dx mcon 0 —sincon(/—T)dr] co—t)|q——-sincon(/— n©n‘1 mcon巧 ma)t =旦(1—cos叫)一旦fzsina)n(t—z)血 kkt】 利用分步积分法^udv=uv—^vdu,求解后一项: 令t=u,sin £sincon(t-r)=t—coseyn(r-r)|o-—cosa>n(t-T)dt 111.1z1.、sinco"——\tsinco") rtsinG)n(t—t)dr=(tsin刃”) kt】由kt】a)n .po,tsina>/、n/L •,X(t)—(1—COSCD"1)(J<''f] 'kt.CDntx ②当时,由于激振力已经消除,系统将以时刻t=孔时的位移X(f)和速度布,)作为 初始条件做自由振动。 Pn,smmt.. x(r)=管(—cos以+) ka)ntx .po/.coscot. 玉「)=-T-3sm叫i+—) K-11 由公式(2.14)%(r)=x(rl)coS(Hi)+sin Pn__sincot—sin —A) .X«)=-rl-coscont+丑八——]t>t{ ka>ntx 4.10如图所示,刚性杆AB质量不计,按图示坐标建立系统运动微分方程,并求出固有 频率和相应的王振型。 解: 当m下降单位长度时,根据系统受力平衡和m所受力矩为零得: -2k+k]]+*21+k=0解得灯]=5k 2kl+*2】+k,21—0*2i=—4k 系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为M= 由Mx+Kx=Q得微分方程m°: 02mx2 系统的特征矩阵为3—'%―联 -4k5k—2pm 由频率方程 5Sp%-4k得2〃4一15仁“2+9仁)2=o -4k5k-2p-mmm 解得P12=6.85—,pl=0.65— mm 将固有频率值代入,得主振型 特征矩阵的伴随矩阵adjB='女-g-4k, —4k5k-p2m 4.29试确定题4.17的系统对作用于质量ml和质量m4上的阶跃力P{=P4=P的响应。 解: 作用力方程为 '彻0 0m 00 -k 2k -k 0 '0、 0 0 9 令主振动为 X2 X3 X4 = 或\-饱203 04 sin伽+9 ,代入得: am 令a=一cda 方程可写成 1—(Z-1 -10 2-a-1 k 0 0 -12-a 0-1 "00 求得特征方程为—4。 +10。 2—6。 3+=0, -met)2 -k 0 0 0 -k 2k-mco2 -k 0 如2 0 0 -k 2k-mo)2 -k 4e3 0 0 0 -k k-mar 04_ 0 0 a ~0~ 0 0 (2) -1 如 0 \—OL 04_ _0 解出? =0,cr2=2,%=2+V2,a4=2-41, 于是四个固有频率为口1=0,口2=\~~^3 Vm Sei-0e2=。 -如+2包2-0e3=° We2+2。 °3-0e4=。 一如3+巧4=° 为求主振型,先将tz=%=0代入 (2),得到下列方程组: 显然,令如=1,解得02=103=104=1。 同样将«2=2,%=2+V2,«4=2-V2分另U代入 (2)得到四个主振型为: T -1 '1' 1 0= 1-V2 ,A= -1 1 -(顷 -1 1 1 -1 1+V2 -(1+V2) 1 振型矩阵中=1 1 1 -11-1 1-V2-11+V2 V2-1-1-1-V2 111 (j_y1 ■4.000 0 0 2.3431 0 0 0_ 0 则小成中=O 求得Mn=m p7 pp k7 0 0 4.000 0 0 0 0 13.657 5.12根据由位移方程得到的瑞利商R「(X)=*,推导里兹法的矩阵特征值问题的另外 一种形式为(M-^2L)a=0o 解: 里兹法中,系统的主振型假设为X=%商车0202+…+吼饱, 其中。 是以S个线性独立的假设振型作为列组成的"XS阶矩阵: D=成换,…心,a是s维常数列向量。 =[a"? ,主振型可写为X=Da 将上式代入由位移方程求得的瑞利商中,得到: n/、八aTDTMDaaTMa (1) Rf(X)=—=——=co', aDT{MFM^DaaLa 式中M=DtMDL=Dt(MFM)D 由于R“X)在系统的真实主振型处取驻值,所以a的各元素应当从下列方程中确定: *=。 ,=1,2,••槌 dat 188 于是有: —_[(a,La)—(arMa)-(arMa)—(arLa)]=O (aLa)datdai 由式 (1)上式可写为: —{aTMa)-cd-La)=G1=1,2,…,s (2) dajdaj 算出—(arM«)=(—ayMa+aTM(—a)=2— datdatdai6% 其中与是s阶单位阵的第i列,上面s个方程可合写为: —(aTMa)=2Ma(3) da 其中e表示将函数分别对的各个元素依次求偏导,然后排成列向量,同样可得到 da —(aTLa)=2La(4) da A_乃 相应的,式 (2)可表示为—(aTMa)-cd~—{aTLa)=0-将(3)和(4)代入得: dada (Af—cd1U)a—0 6.18一根简支梁在t=0时刻梁上所有的点除去两端点以外都得到横向速度v,求梁的响应。 解: 两端简支的等截面梁边界条件为 r(o)=0,尸'(0)=0,r(/)=o,典)=o。 代入K(x)=Ctcos/3x+C2sin/? x+C3ch/3x+C4sh/3x 得至UG=C3=0,C4=0,sin/3l=0―>”=—— 所以梁的固有频率: 刃,=饥=(零网7=1,2,… I\pA 主振型: Yi(%)=Cisin(3x=Ctsinz=1,2,••- 将主振型代入归一化条件: f"A(Gsin早)*=半。 ;=1,得系数G=J、梁的初始条件: y"=0,yL-v 正则坐标的初始条件为: 〃/(0)=^pA-O-Yj^dx 孔(。 )=fQ—*•七(x)dx=壬』2pAlz=1,3,5,••• 7,(0) 因没有激振力,正则广义力为0,7/0=-—sinatjt 于是梁的自由振动为 、《V/、/、白I2.I兀x12vrz~—. yUO=2^*3)? 。 )=X.—7Sin——yjlpAlsin i=ii=ivpAlIin 4x7291.i兀x -L石sin—cos"冗a1=1,3,••-1/ 7.2图示四边简支的矩形板受到均匀分布力Po(Po为常数)的作用而产生静变形,若t=0时分布力Po突然移去,试求薄板的自由振动。 解: 四边简支矩阵板的边界条件为: OXOX 叫〉=。 =并卜。 =。 ;叫皿=并房=。 。 代入(7.37)所假设的主振型,可以得到 IJIXy 四边简支的矩形板主振型为: 吮=4.sin;sin丁 将主振型归一化: ^phW^dxdy=[fph(Ajjsin? sin咛V =ph*[sin2^^-dx£sin 系数 ,Vphab 初始条件: 以x,y,O)=£);—|z=0=0o正则坐标的初始条件: 叽(0)=牛JJp/z^Wri(x,y)dxdy 12phPr.l.i? ix.炊.jjiy =]sinaxsinay 就,$y[phab*a■b ——y—厂yjphab,,/=1,3,5,… ncors r],..s(0)=JJp/? •0.Wrs(x,y)dxdy=0 Q 薄板的自由振动为: 其中: y/phabcoscoiJ 刃(x,y,t)=ZZW,,Q,力S(0)cos%J
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