五年级奥数 数论质数与合数B级学生版.docx
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五年级奥数数论质数与合数B级学生版
一、质数与合数
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
要特别记住:
0和1不是质数,也不是合数。
常用的100以内的质数:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个;除了2其余的质数都是奇数;除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9.
考点:
⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路,需要大家注意.
二、判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数),使得q能够整除p,那么p就不是质数,所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这样的计算量很大,对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数
,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么p就为质数.例如:
149很接近
,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除,所以149是质数.
三、质因数与分解质因数
(1).质因数:
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数.
(2).互质数:
公约数只有1的两个自然数,叫做互质数.
(3).分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.
例如:
.其中2、3、5叫做30的质因数.又如
,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
(4).分解质因数的方法:
短除法
例如:
,(┖是短除法的符号)所以
;
四、唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即:
其中为质数,
为自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.
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