导数与函数的单调性练习题.docx
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导数与函数的单调性练习题
导数与函数的单调性练习题
导数练习(三)导数与函数的单调性
基础巩固题:
1.函数f(x)=在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a的取值范围为()
A.0C.a>D.a>-2
2.已知函数f(x)=x2+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是( )
A.a≥0B.a<-4C.a≥0或a≤-4D.a>0或a<-4
3.函数f(x)=x+的单调区间为________.
4函数的单调增区间为,单调减区间为___________________
5.确定下列函数的单调区间:
(1)y=x3-9x2+24x
(2)y=3x-x3
6.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.
7.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.
8.已知x∈R,求证:
ex≥x+1.
9.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.
11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.
(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围;
12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a的取值范围.
13.已知函数在区间上是
24.若函数在区间内为减函数,在区间上为增函数,试求实数的取值范围.
25.设函数f(x)=x+(a>0).
(1)求函数在(0,+∞)上的单调区间,并证明之;
(2)若函数f(x)在[a-2,+∞]上递增,求a的取值范围.
26.已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
27设是R上的偶函数,
(1)求的值;
(2)证明在(0,+)上是增函数。
28.求证:
方程x-sinx=0只有一个根x=0.
29已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1)
(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;
(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:
是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在
(-1,0)内是增函数.
课外延伸题:
30.方程x3-3x+c=0在[0,1]上至多有_______个实数根
31.若函数f(x)=x3-3x+a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
32.(2010湖北黄冈中学模拟,19)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f
(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的最大值.
33.已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为[m,n)且1≤m (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明: 对任意x1、x2∈[m,n],不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立. 高考链接题: 34.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞) 35.(2010·新课标全国文)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2. (1)若a=,求f(x)的单调区间; (2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. 36.(2009江西)设函数 (1)求函数的单调区间; (2)若,求不等式的解集. ;'2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)=在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a的取值范围为() A.0C.a>D.a>-2 答案: C解析: ∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>. 2.已知函数f(x)=x2+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是( ) A.a≥0B.a<-4C.a≥0或a≤-4D.a>0或a<-4 答案: C解析: ∵f′(x)=2x+2+,f(x)在(0,1)上单调,∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立,即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0,1)上恒成立,所以a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.记g(x)=-(2x2+2x),0 3.函数f(x)=x+的单调区间为________. 答案: (-3,0),(0,3)解析: f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得-3 4函数的单调增区间为,单调减区间为___________________ 答案: ;解析: 5.确定下列函数的单调区间: (1)y=x3-9x2+24x (2)y=3x-x3 (1)解: y′=(x3-9x2+24x)′=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4) 令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2. ∴y=x3-9x2+24x的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令3(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4 .∴y=x3-9x2+24x的单调减区间是(2,4) (2)解: y′=(3x-x3)′=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1) 令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1. ∴y=3x-x3的单调增区间是(-1,1). 令-3(x+1)(x-1)<0,解得x>1或x<-1. ∴y=3x-x3的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞) 6.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案] (-∞,-1)[解析] 函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1),令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<, ∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1) 7.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________. [答案] b<-1或b>2[解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意b<-1或b>2. 8.已知x∈R,求证: ex≥x+1. 证明: 设f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1. ∴当x=0时,f′(x)=0,f(x)=0. 当x>0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x)>f(0)=0. 当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)>f(0)=0. 9.已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间. 解: y′=(x+)′=1-1·x-2=令>0.解得x>1或x<-1.∴y=x+的单调增区间;是(-∞,-1)和(1,+∞).令<0,解得-1<x<0或0<x<1.∴y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1) 10.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 解: (Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2, 所以 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是,知 故所求的解析式是 (Ⅱ) 解得 当 当 故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数. 点拨: 本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c. (1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围; 解 (1)=3x2-x+b,因f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则≥0.即3x2-x+b≥0, ∴b≥x-3x2在(-∞,+∞)恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时,g(x)max=,∴b≥. 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a的取值范围. 解f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax∴=3x2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,只需=3x2-2(a+1)x+a在(2,+∞)上满足≥0即可.∵=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=, ∴a的取值应满足: 或解得: a≤.∴a的取值范围是a≤. 13.已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围. 解: ,因为在区间上是增函数,所以对恒成立,即对恒成立,解之得: 所以实数的取值范围为. 点拨: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系: 即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 14.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,)处的切线方程, (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调区间。 解: (1)由的图象经过P(0,2),知,所以, 由在点M()处的切线方程为 ∴即∴解得 故所求的解析式是 (2)令,解得 当或时, 当时, 故在内是增函数,在内是减函数 在内是增函数 点拨: 本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 15.已知函数f(x)=,求导函数f′(x),并确定f(x)的单调区间. 解析: f′(x)== =- 令f′(x)=0,得x=b-1且x≠1. 当b-1<1,即b<2时,f′(x)的变化情况如下表: x (-∞,b-1) b-1 (b-1,1) (1,+∞) f′(x) - 0 + - 当b-1>1,即b>2时,f′(x)的变化情况如下表: x (-∞,1) (1,b-1) b-1 (b-1,+∞) f′(x) - + 0 - 所以,当b<2时,函数f(x)在(-∞,b-1)上单调递减,在(b-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 当b>2时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,b-1)上单调递增,在(b-1,+∞)上单调递减. 当b-1=1,即b=2时,f(x)=,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减. 强化提高题: 16.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a A.f(x)g(b)>f(b)g(x)B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(b)g(a) 答案: C解析: 令y=f(x)·g(x),则y′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x),由于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,所以y在R上单调递减,又xf(b)g(b). 17.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________. [答案] [3,+∞)[解析] y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax<0在区间(0,2)内恒成立, 即a>x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 18.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1
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