八年级暑假同步讲义第13讲函数的概念及正比例函数的概念.docx
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八年级暑假同步讲义第13讲函数的概念及正比例函数的概念
函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容,主要对函数和正比例函数的概念进行讲解,重点是函数的概念理解,难点是函数表达式的归纳总结.通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据.
1、函数的概念
a)在问题研究过程中,可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量;
b)在某个变化过程中有两个变量,设为
和
,如果在变量
允许的取值范围内,变量
随着
变化而变化,他们之间存在确定的依赖关系,那么变量
叫做变量
的函数,
叫做自变量.函数用记号
表示,
表示
时的函数值;表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.
【例1】
(1)瓜子每千克12元,买
千克瓜子需付款
元,用
的代数式表示
并指出这个问题中的变量和常量;
(2)写出圆周长公式,并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量.
【难度】★
【例2】下列变量之间的变化关系不是函数关系的是()
A、三角形的面积与底边的长B、
与
C、圆的面积和它的半径D、矩形的宽一定时,周长与长
【难度】★
【例3】下列各式中,
是否是
的函数?
为什么?
(1)
;
(2)
.
【难度】★
【例4】已知汽车驶出
站3千米后,以40千米∕小时的速度行驶了40分,请将这段时间内汽车与
站的距离
(km)表示成
(时)的函数.
【难度】★
【例5】扇形的面积公式是
,其中
表示面积,
表示圆心角,
表示半径,
表示圆周率,则其中常量是————.
【难度】★★
【例6】物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系:
,其中
表示质量,
表示重力,
牛/千克,物体所受重力
是不是它的质量
的函数?
【难度】★★
【例7】已知变量
随着变量
的变化而变化,且满足下列关系,试把它们改写成
的形式
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
.
【难度】★★★
【例8】某厂有一水池,可贮水900吨,池内原有水100吨,现在以每小时15吨的速度注水,
时后,池内贮水量是吨,注满为止,求与之间的函数关系式.
【难度】★★★
1.函数的定义域和函数值
a)函数自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域.
b)函数自变量取遍定义中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域.
【例9】求下列函数的定义域.
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
.
【难度】★
【例10】填空:
(1)如果函数
,那么
——————;
(2)如果函数
,那么
——————;
(3)如果函数
,那么
=——————.
【难度】★
【例11】求函数
的定义域.
【难度】★★
【例12】求函数
的定义域.
【难度】★★
【例13】若函数
,
,求函数
中自变量
的取值范围.
【难度】★★
【例14】已知长方形面积为60
,长为
厘米,求宽
与
的关系式,并写出自变量
的取值范围.
【难度】★★
【例15】已知
.
(1)求
,
,
,
;
(2)当
为何值时,
没有意义?
(3)当
为何值时,
?
【难度】★★
【例16】等腰三角形的周长是10厘米,腰长是
厘米,底边长是
厘米,求
关于
的函数关系式,并求自变量
的取值范围.
【难度】★★★
【例17】已知:
求:
(1)
;
(2)
;(3)
.
【难度】★★★
【例18】已知函数
的定义域是
且
,求的
、
值.
【难度】★★★
【例19】收割机的油箱里盛油65
,使用时,平均每小时耗油6
(1)如果收割机工作了4小时,那么油箱还剩多少千克的油?
(2)如果油箱里用掉36
油,那么使用收割机工作的时间为多少小时?
(3)写出油箱里剩下的油
与使用收割机时间
之间的函数关系式?
(4)在此函数关系式中,求函数定义域?
【难度】★★★
1.正比例函数的概念
a)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零),那么就说这两个变量成正比例,用数学式子表示两个变量
、
成正比例,就是
,或表示为
(
不等于0),
是不等于零的常数.
b)解析式形如
(
是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,其中常数
叫做比例系数.正比例函数
的定义域是一切实数.确定了比例系数,就可以确定一个正比例函数的解析式.
【例20】下列那些函数是正比例函数?
哪些不是?
如果是,请指出比例系数.
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
.
【难度】★
【例21】
(1)已知
是正比例函数,求m的取值范围.
(2)若函数
是正比例函数,那么m的值是多少?
【难度】★★
【例22】已知
是
的正比例函数,且当
时,
,求
与
之间的比例系数,并写出函数解析式和函数定义域.
【难度】★★
【例23】如果
是正比例函数,求出函数解析式,当
取何值时,
?
【难度】★★
【例24】已知函数
(m是常数),当m是什么数时
是正比例函数?
并求出解析式.
【难度】★★
【例25】已知
,
与
成正比例,
与
成正比例,且
时,
,
时
,求
与
的函数解析式.
【难度】★★
【例26】点燃的蜡烛,长度按照与时间成正比例缩短,一支长21cm的蜡烛,点燃6分钟后,缩短3.6cm.设蜡烛点燃
分钟后,缩短
cm,求
的函数解析式和x的取值范围.
【难度】★★
【例27】已知
是正比例函数,求k的值,写出这个正比例函数的解析式,并求出当变量x分别取-3,0,
时的函数值.
【难度】★★
【例28】已知
与
成正比例,并且
时,
.
(1)写出
与
之间的函数关系式;
(2)当
时,求
的值;
(3)当
时,求
的值.
【难度】★★
【习题1】在圆的面积公式
中,变量是_______,常量是_______.
【难度】★
【习题2】东方超市鲜鸡蛋每个0.4元,那么所付款
元与买鲜鸡蛋个数
(个)之间的函数关系式是______________.
【难度】★
【习题3】平行四边形相邻的两边长为
、
,周长是30,则
与
的函数关系式是___________.
【难度】★
【习题4】函数
中,自变量
的取值范围是_________________.
【难度】★
【习题5】写出下列各题中
与
的关系式,并判断
是否是
的正比例函数?
(1)圆面积
(cm2)与半径
(cm)的关系;
(2)地面气温是28℃,如果每升高1km,气温下降5℃,则气温
(℃)与高度
(km)的关系;
(3)电报收费标准是每个字0.1元,电报费
(元)与字数
(个)之间的函数关系.
【难度】★
【习题6】函数
的自变量
的取值范围是__________________.
【难度】★★
【习题7】在函数
中,自变量
的取值范围是__________.
【难度】★★
【习题8】函数
中,自变量
的取值范围是___________________.
【难度】★★
【习题9】已知函数
,
=__________时,
的值时0,
=______时,
的值是1;
=_______时,函数没有意义.
【难度】★★
【习题10】出租车收费按路程计算,3
内(包括3
)收费8元;超过3
每增加1
加收1元,则路程
≥3
时,车费
(元)与
(
)之间的函数关系式是_____________.
【难度】★★
【习题11】求下列各式的定义域:
(1)
;
(2)
.
【难度】★★
【习题12】若
、
是变量,且函数
是正比例函数,则
=_________.
【难度】★★
【习题13】已知函数
是正比例函数,求
的值.
【难度】★★
【习题14】已知
与
成正比例,且
=2时
=-6;则
=9时,
=________.
【难度】★★★
【习题15】如果
是关于
的正比例函数,又函数
,当
取何值时
?
【难度】★★★
【作业1】设
,写出
关于
的函数关系式______________,自变量
的取值范围是______________.
【难度】★★
【作业2】在函数
中,自变量
的取值范围是______________.
【难度】★★
【作业3】已知
的定义域为______________,当函数值为0时,自变量
的取值为______________.
【难度】★★
【作业4】矩形的周长为20,矩形面积
与其一边长
之间的函数关系式______________,自变量
的取值范围是______________.
【难度】★★
【作业5】等腰三角形中,底角的度数用
表示,顶角的度数用
表示,写出
关于
的函数解析式及函数的定义域.
【难度】★★
【作业6】已知
与
成正比例,且当
=1时,
=15,求
与
的函数关系式.
【难度】★★
【作业7】函数
是正比例函数,求
的值.
【难度】★★
【作业8】已知
为正比例函数.
(1)求
的值及函数解析式;
(2)当
取什么值时,函数的值为
.
【难度】★★
【作业9】甲、乙两同学从
地出发,骑自行车在同一条路上行驶到
地,他们离出发地的距离为
(
)和行驶时间
(h)之间的函数关系的图象如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)
的路程是多少?
(2)甲比乙先出发多长时间?
(3)整个过程中甲的平均速度是多少?
(4)大约在乙出发多长时间时两人相遇,相遇时距离
地多远?
【难度】★★★
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