沪教版八年级数学四边形综合题复习教师版.docx
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沪教版八年级数学四边形综合题复习教师版
平行四边形综合题复习
1.如图,四边形ABCD是菱形,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F,连接CE.
(1)求证:
∠DAE=∠DCE;
(2)当AE=2EF时,判断FG与EF有何等量关系?
并证明你的结论?
2.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE//AC,CE//BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
解:
(1)四边形OCED是菱形.(2分)∙∙∙DE//AC,CE//BD,
•••四边形OCED是平行四边形,(3分)又在矩形ABCD中,OC=OD,
•••四边形OCED是菱形.(4分)
(2)连结OE.由菱形OCED得:
CD丄OE,(5分)
•OE//BC又CE//BD•四边形BCEO是平行四边形
11
•OE=BC=8∙•S四边形OCED=-OECD—8624(8分)
22
3.如图,在□ABCD中,
BE丄AD于点E,BF丄CD于点F,AC与BE、BF分别交于点G,H。
(1)求证:
△BAEBCF
(2)若BG=BH,求证四边形ABCD是菱形
证明
(1)τBE丄AD,BF丄CD
∙∠BEA=∠BFC=90°
又ABCD是平行四边形,
∙∠BAE=∠BCFBAEBCF
(2)•••△BAEs∖BCF∙∙∙∠1=∠2又BG=BH∕∙∠3=∠4∕∙∠BGA=∠BHC
•••△BGA◎△BHC(ASA)∙AB=BC∙□ABCD为菱形
4.如图
(1),在厶ABC和厶EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.
(1)求证:
CF=CH;
ACDM是什么
(2)如图
(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45时,试判断四边形
四边形?
并证明你的结论.
D
(图1)
(24题图)
D
解:
⑴证明:
在△ACB和厶ECD中
D
τ∠ACB=∠ECD=90
∙∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,
∙∠1=∠2
又∙∙∙AC=CE=CB=CD,
∙∠A=∠D=45
•△ACB◎△ECD,
•CF=CH
⑵(5分)答:
四边形ACDM是菱形
τ∠ACB=∠ECD=90,∠BCE=45
∙∠1=45,∠2=45
又τ∠E=∠B=45,
∙∠1=∠E,∠2=∠B
•AC//MD,CD//AM,∙ACDM是平行四边形
又∙∙∙AC=CD,∙ACDM是菱形
如图,在直角坐标系Xoy中IRtOAB和RtOCD的直角顶点A,C始终在X轴的正半轴上,
B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的中点,AB与OD相交
1
于E,当点B位置变化时,RtOAB的面积恒为
2
试解决下列问题:
(1)填空:
点D坐标为;
(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;
(3)等式BO=BD能否成立?
为什么?
(4)设CM与AB相交于卩,当厶BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论•
解:
(1)(2,.,2);(1分)
11
(2)由RtOAB的面积为得B(t,t),
BD2AC2(ABCD)2,
BD2(t.2)2(1.2)2t2Jr2.2(t1)4①(2分)
tt2t
1211—2
(t-)222(t-)2(t-2)2.(3分)
ttt
BD111.2|t1.2.②(4分)(注:
不去绝对值符号不扣分)
tt
(3)[法一]若OB=BD,则OB2BD2.在RtOAB中,OB2OA2AB2t2音,由①得t2gt2p22(t1)4,(5分)
t2t2t
得t1.2,t22t10,
t
(∙∙.2)2420,此方程无解.
OBBD.(6分)
[法二]若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.
C(∙∙2,0),在等腰RtOCM中,可求得M(=Z,=Z),
22
•••直线CM的函数关系式为yX.2,③(5分)
11
由RtOAB的面积为-,得B点坐标满足函数关系式y1,④
2X
联立③,④得:
x22x10,C2)2420,此方程无解.
OBBD.(6分)
[法三]若OB=BD,贝UB点在OD的中垂线CM上,如图27T
过点B作BGy轴于G,CM交y轴于H,
OBG
SOAB
OMH
MOC
IS
DOC
2
显然与SHNOSOBG矛盾.
QBBD.(6分)
(4)如果BDE为直角三角形,因为BED
45,
①当EBD90时,此时F,E,M三点重合,如图27-2
BFX轴,DCX轴,BF//DC.A此时四边形BDCF为直角梯形.(7分)
②当EBD
90时,如图27-3
CF又AB
OD,BD//CF.
X轴,DCX轴,BF//DC.
a此时四边形
BDCF为平行四边形
.(8分)下证平行四边形
BDCF为菱形:
222
[法一]在BDQ中,OBQDBD,
212
t24t2
t2
1t7
A
22(tI)
4,tI
22,
[方法①]t22、_2t
1
0,BD在OD上方
解得t21,1
、2
;或t■2
1,—2
1(舍去).
t
t
得B(..21,,2
1),[方法②]由②得:
BDt
1、22222t
此时BDCD、.2,A此时四边形BDCF为菱形(9分)
OAAEt,OE.、2t,则EDBD2.2T.
[法二]在等腰RtOAE与等腰RtEDB中
ABAEBEt.2(2.2t)2.2t,2.2t1,即t12-2以下同[法一].
tt
此时BDCD.2,
此时四边形BDCF为菱形.(9分)
F.
6.如图,△ABC中,点P是边AC上的一个动点,过P作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点
(1)求证:
PE=PF;
(2)
BCFE可能是菱形吗?
说明理由;
当点P在边AC上运动时,四边形
(3)若在AC边上存在点P,使四边形
AECF是正方形,且
ECF
2
900
6.⑴,证明:
tCE平分∠BCA,∙∙∙∠BCE=∠PCE又MN//BC,∙∙∙∠BCE=∠PEC∙∙∙∠PCE=∠PEC∙PE=PC——2'同理PF=PC∙PE=PF——3'
⑵不能4',理由是:
t由⑴可知,PE=PF=PC,
又PC+PF>CF,∙PE+PF>CF即EF>CF——5'
又菱形的四条边都相等,所以四边形BCFE不可能是菱形.一一6'
⑶若四边形AECF是正方形.则AP=CP,∠ACE=
450t∠BCE=∠PCE∙∠BCA=90°
又tAP3∙AC3即tan∠B=3
BC2BC
8'∙∠B=60°∙∠A=90°—/B=30°——9'
7.在厶ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°将厶ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°,#△A1BC1,交AC于点E,AC分别交A1C1、BC于D、F两点.
(1)如图①,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
(2)如图②,当=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在
(2)的情况下,求ED的长.
解:
(1)EAFC;提示证明ABEC1BF
(2)①菱形(证明略)••…
(3)过点E作EG⊥AB,
贝UAG=BG=I
在RtAEG中,AE
AG
CoSA
co⅛3川
由
(2)知AD=AB=2
ADAE2-√3
3
8.已知:
在菱形ABCD中,O是对角线BD上的一动点.
•∙ED
12分
(1)
如图甲,
P为线段BC上一点,连接Po并延长交AD于点Q,当0是BD的中点时,求证:
OP
OQ;
(2)如图乙,连结AO并延长,与DC交于点R,与BC的延长线交于点S•若
AD
4,∠
DCB60o,BS10,求AS和OR的长.
Q
A
∙∙∠OBP=∠ODQ
C
BCoR
•AZ•AD//
'VO是是BD的中点,
在厶BOP和厶DOQ中,
•△BOP◎△DOQ(ASA)•OP=OQ。
如图,过A作AT丄BC,与CB的延长线交于T.
是菱形,∠DCB=60
•AB=AD=4,
•OB=OD
τ∠OBP=∠ODQ,OB=OD,∠BOP=∠DOQ
(2)解:
∙∙∙ABCD
∠ABT=60
•AT=ABSin60
°=2.3
TB=ABCos60
∙∙∙BS=10,
=2
•TS=TB+BS=12,
•AS=/AT2TS22,39O
∙∙∙AD//BS,•△AODSOBo
AOAD
OSSB
彳2,则ASOS
105
2AS7
∙∙∙AS=239,
•OS7AS
5
ARAD
RSSC
•OR=OS-RS=
10<39
OS
5OS
ARDSRCO
SR2
AS
RS
RS
•RS3AS涯o
55
639
A
C,ABCD,BABCFADCCABECDF••…图••
AB丄ON
判断并
9.如图5,在平行四边形ABCD中,BE平分ABC交AD于点E,DF平分ADC交BC于点F.
求证:
(1)△ABE也CDF;
(2)若BD丄EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论•
证明:
(1)•••四边形ABCD是平行四边形,∙∙∙A
∙∙∙BE平分ABC,DF平分ADC,∙
•••△ABECDFASA
(2)由△ABECDF,得AECF5
在平行四边形ABCD中,AD//BC,ADBC
•DE//BF,DEBF
•四边形EBFD是平行四边形6
若BDEF,则四边形EBFD是菱形8
10.如图,一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动,移动过程中始终保持
于点B,AC丄OM于点A.∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.
(1)点A在移动的过程中,线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由•
(2)点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称,说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形?
(3)若∠MON=45°,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系,并证明你的猜想
...2分
3分
M
])
F
解:
(1)AE=AD
(2)菱形
(法一):
连接DF、EF
•••点F与点A关于直线OP对称,
E、D在OP上,
•AE=FE,AD=FD.
由
(1)得AE=AD
•AE=FE=AD=FD
•四边形ADFE是菱形
(法二):
连接AF交DE于点G连接DF,EF.
点F与点A关于直线OP对称可知:
AF丄DE,AE=FE,
∙∙∙AG=FG,又IAE=AD∕∙DG=EG
•••四边形ADFE是平行四边形6分
∙∙∙AF丄DE•平行四边形ADFE是菱形
(3)OC=AC+AD
(法一):
证明:
连接EF.
•••点F与点A关于直线OP对称,
•AO=OFIAC丄OM,∠MON=45°
∙∠OAC=90°∙∠ACO=∠MON=45°
•OF=AO=AC
由
(2)知四边形ADFE是菱形
•EF//ABAD=EF
∙∙∙AB丄ON∙∠ABC=90°∙∠EFC=∠ABC=90
τ∠ACO=45°∙∠ACO=∠CEF
BCN
12分
•FC=EF=AD
又∙∙∙OC=OF+FC
•OC=AC+AD
(法2)证明:
连接EF.
∙∙∙AC丄OM,∠MON=45°
•/OAC=90°
•/ACO=∠MON=45°
•AO=AC
由
(2)知四边形ADFE是菱形
•EF//ABAD=EF
∙∙∙AB丄ON
•/ABC=90°
•/EFC=∠ABC=90°
τ∠ACO=45°
•/FEC=∠ACO=45°
•FC=FE=AD
∙∙∙∠AOE=∠FOE
∙∙∙OE=OE,∠OAC=∠OFE=90
OAE◎△OFE
•OA=OF
11分
•OF=AC
又∙∙∙OF+FC=OC
•AC+AD=OC
(法3)证明:
延长EA到G点,使AG=AE
12分
•∠OAE=90
•OA丄GE
•OG=OE
•∠AOG=∠EOA
∠AOC=45°,OP平分∠AOC
•∠AOE=22.5°
•∠AOG=22.5°∠G=67.5°
G
M
P
E
D
∙∙∙∠CoG=∠G=67.5
∙∙∙CG=OC
由
(1)得AD=AE
∙∙∙AD=AE=AG
∙AC+AD=OC
11.如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠BAD=60°,E为CD边中点,点P从点A开始沿AC方向
以每秒2.3Cm的速度运动,同时,点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动,当点P到达
10分
点C时,P,Q同时停止运动,设运动的时间为X秒
(1)当点P在线段AO上运动时.
①请用含X的代数式表示OP的长度;
②若记四边形PBEQ的面积为y,求y关于X的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)显然,当x=0时,四边形PBEQ即梯
形ABED,请问,当P在线段AC的其他位置
时,以P,B,E,Q为顶点的四边形能否成为
梯形?
若能,求出所有满足条件的X的值;若
不能,请说明理由•
解:
(1)①由题意得∠BAO=30°,AC丄BD
∙∙∙AB=2••OB=OD=I,OA=OC=.3
C
•OP=.32、、3x
②过点
E作EH丄BD,
则EHCOD
的中位线
■/DQ=X
•∙BQ=2-x
SBPQSBEQ
-(2x)C∙3
2
2∖3x)-(2x)
2
(2)能成为梯形,分三种情况:
OQtan3°o
C
当PQ//BE时,∠PQO=∠DBE=30
2
•X=
5
此时PB不平行QE,∙∙∙X=2时,四边形PBEQ为梯形.
5
当PE//BQ时,P为OC中点
∙AP=^,即23X
此时,BQ=2-x=5≠PE,
4
3
•••X=上时,四边形
4
当EQ//BP时,△QEHs∖BPO
HEQH
OPBO
∙∙∙x=1(x=0舍去
∙∙∙x=1时,四边形
此时,BQ不平行于
PEQB为梯形.
23
综上所述,当X=—或一或1时,以
54
12.如图乙在菱形ABCD中,∠A=60为E.
(1)求∠ABD的度数;
(2)求线段
BE的长.
解:
⑴在菱形
ABCD中,ABAD,
ABD为等边三角形
⑵由
(1)
可知BDAB4
又∙∙∙OEAB,及ABD
2分
D
C
C
2分
P,B,E,Q为顶点的四边形是梯形
A60
O点作0E⊥AB,垂足
AB=4,0为对角线BD的中点,过
图7
ABD60
又•••0为BD的中点
60
BOE30
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