冀教版数学八年级上册17章专项训练试题及答案.docx
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冀教版数学八年级上册17章专项训练试题及答案
专训1分类思想在等腰三角形中的应用
名师点金:
分类讨论思想是解题的一种常用方法,在等腰三角形中,往往会遇到条件或
结论不唯一的情况,此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论,可以使复杂的问题得到清
晰、完整、严密的解答.其解题策略为:
先分类,再画图,后计算.
当顶角或底角不确定时,分类讨论
1.若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形的顶角度数为()
A.40°B.100°
C.40°或70°D.40°或100°
1
2.在等腰三角形ABC中,AD⊥BC于D,且AD=
2BC,则等腰三角形ABC的底角
的度数为()
A.45°B.75°
C.45°或75°D.65°
3.若等腰三角形的一个外角的度数为64°,则底角的度数为________.
当底和腰不确定时,分类讨论
4.【中考·荆门】已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长
为()
A.8或10B.8
C.10D.6或12
5.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为________.
6.若实数x,y满足|x-5|+y-10=0,则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为
________.
当高的位置关系不确定时,分类讨论
7.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数.
1
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
8.在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的
锐角为40°,求∠B的度数.
由腰上的中线引起的分类讨论
9.等腰三角形ABC的底边BC长为5cm,一腰上的中线BD把该等腰三角形分为周长
差为3cm的两部分.求腰长.
点的位置不确定引起的分类讨论
10.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一
点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()
(第10题)
A.7个
B.6个
C.5个
D.4个
2
11.如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的
两点,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.
(第11题)
3
答案
1.D2.C3.32°
4.C5.23或256.25
7.解:
设AB=AC,BD⊥AC;
(1)当高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部,如图①,
∵∠DBC=25°,∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°,∴∠ABC=∠C=65°,∠A=
180°-2×65°=50°.
(第7题)
(2)当高与另一腰的夹角为25°时,
如图②,高在△ABC的内部,
当∠ABD=25°时,∠A=90°-∠ABD=65°,∴∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°;
如图③,高在△ABC的外部,
∵∠ABD=25°,
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°,∴∠BAC=180°-65°=115°,
∴∠ABC=∠C=(180°-115°)÷2=32.5°,
故三角形各个内角的度数为:
65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.
点拨:
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”,因此必须进行分类讨
论,另外,还要结合图形,判断高在三角形内还是在三角形外.
8.解:
此题分两种情况:
(1)如图①,AB边的垂直平分线与AC边交于点D,∠ADE=40°,则∠A=50°,
∵AB=AC,∴∠B=(180°-50°)÷2=65°.
(2)如图②,AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D,∠ADE=40°,则∠DAE=
50°,∠BAC=130°.∵AB=AC,
∴∠B=(180°-130°)÷2=25°.
综上所述,∠B的度数为65°或25°.
4
(第8题)
9.解:
∵BD为AC边上的中线,
∴AD=CD.
(1)当(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)=3cm时,AB-BC=3cm,
∵BC=5cm,∴AB=BC+3=8cm.
(2)当(BC+CD+BD)-(AB+AD+BD)=3cm时,BC-AB=3cm,
∵BC=5cm,∴AB=BC-3=2cm.
但是当AB=2cm时,三边长为2cm,2cm,5cm,而2+2<5,不合题意,舍去.故
腰长为8cm.
点拨:
由于题目中没有指明是“(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)”为3cm,还是“(BC
+CD+BD)-(AB+AD+BD)”为3cm,因此必须分两种情况讨论.
10.B
11.解:
本题分四种情况:
(1)当点D,E在点A的同侧,且都在BA的延长线上时,
如图①,
∵BE=BC,
∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2.
∵AD=AC,
∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2.
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC,
∴∠DCE=(180°-∠ABC)÷2-∠BAC÷2=(180°-∠ABC-∠BAC)÷2=∠ACB÷2=
40°÷2=20°.
(第11题)
(2)当点D,E在点A的同侧,且点D在D′的位置,点E在E′的位置时,如图②,
与
(1)类似,也可以求得∠D′CE′=∠ACB÷2=20°.
(3)当点D,E在点A的两侧,且E点在E′的位置时,如图③,
∵BE′=BC,∴∠BE′C=(180°-∠CBE′)÷2=∠ABC÷2.
5
∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2.
又∵∠DCE′=180°-(∠BE′C+∠ADC),
∴∠DCE′=180°-(∠ABC+∠BAC)÷2=180°-(180°-∠ACB)÷2=90°+∠ACB÷2=
90°+40°÷2=110°.
(4)当点D,E在点A的两侧,且点D在D′的位置时,如图④,
∵AD′=AC,
∴∠AD′C=(180°-∠BAC)÷2.
∵BE=BC,
∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2.
∴∠D′CE=180°-(∠D′EC+∠ED′C)=180°-(∠BEC+∠AD′C)=
180°-[(180-°∠ABC)÷2+(180°-∠BAC)÷2]=
(∠BAC+∠ABC)÷2=(180°-∠ACB)÷2=
(180°-40°)÷2=70°.
综上所述,∠DCE的度数为20°或110°或70°.
专训2活用“三线合一”巧解题
名师点金:
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一
线”,就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段
相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程.
利用“三线合一”求角的度数
1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB与AC相等.求
顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数.
(第1题)
利用“三线合一”求线段的长
6
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=10,且△BDC
的周长为24,求AE的长.
(第2题)
利用“三线合一”证线段(角)相等
3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,试判断△DEF的形状,并说明
理由.
(2)如图②,若E,F分别为AB,CA的延长线上的点,仍有BE=AF.请判断△DEF是
否仍有
(1)中的形状,不用说明理由.
(第3题)
7
利用“三线合一”证垂直
4.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且EA=EC.
求证:
EB⊥AB.
(第4题)
利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)
5.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD
交BF的延长线于点D.试说明:
BF=2CD.
(第5题)
利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.试说明:
CD=AB+BD.
(第6题)
8
答案
1.解:
因为AB=AC,∠BAC=100°,AD⊥BC,所以∠B=∠C=40°,∠BAD=∠CAD
=50°.
2.解:
∵△BDC的周长=BD+BC+CD=24,BC=10,∴BD+CD=14.
又∵AD=BD,
∴AD+DC=14.
∴AB=AC=AD+DC=14.
1
∵AD=DB,DE⊥AB,∴AE=EB=AB=7.
2
3.解:
(1)△DEF为等腰直角三角形.理由:
连接AD,易证△BDE≌△ADF,
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF,
又∵∠BAC=90°,AB=AC,
D为BC的中点,
∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠ADB=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.
(2)△DEF仍是等腰直角三角形.
点拨:
本题两种情况都是要证明△BDE≌△ADF,进而得到DE=DF,∠BDE=∠ADF.
再运用角的转化得到∠EDF=90°,故可判断△EDF为等腰直角三角形.
4.证明:
如图,过点E作EF⊥AC于F.
9
1∵EA=EC,∴AF=2AC.
又∵AB=
1
2
AC,∴AF=AB.
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAE=∠BAE.又∵AE=AE,
∴△AEF≌△AEB(SAS).∴∠ABE=∠AFE=90°,即EB⊥AB.
(第4题)
5.解:
如图,延长BA,CD交于点E.
(第5题)
∵BF平分∠ABC,∴∠CBD=∠EBD,
∵CD⊥BD,∴∠BDC=∠BDE=90°.
又∵BD=BD,
∴△BDC≌△BDE.
∴BC=BE.
又∵BD⊥CE,∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,∴∠ABF=∠DCF.
又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,
∴△ABF≌△ACE(ASA).∴BF=CE.
故BF=2CD.
6.解:
如图,以A为圆心,AB长为半径画弧交CD于点E,连接AE,则AE=AB,
所以∠AEB=∠ABC.
(第6题)
因为AD⊥BC,所以AD是△ABE的BE边上的中线,即DE=DB.
又因为∠ABC=2∠C,所以∠AEB=2∠C.
而∠AEB=180°-∠AEC=∠CAE+∠C,所以∠CAE=∠C.所以CE=AE=AB,所以
CD=CE+DE=AB+BD.
10
专训3等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
名师点金:
几何图形中添加辅助线,往往能把分散的条件集中,使隐蔽的条件显露,将
复杂的问题简单化,例如:
作“三线”中的“一线”,作平行线构造等腰(边)三角形,利用
截长(补短)法证线段和、差关系或求角的度数,利用加倍(折半)法证线段的倍分关系.
作“三线”中的“一线”
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作EF∥BC,且AE=AF,
求证:
DE=DF.
(第1题)
作平行线法
2.在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出
发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,求证:
PD=QD;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当P,Q在移动的过程中,线段BE,
DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?
请说明理由.【导学号:
42282067】
(第2题)
11
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