华杯赛集训试题精选及详解全.docx
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华杯赛集训试题精选及详解全.docx
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华杯赛集训试题精选及详解全
1、某校科技小组有一块长方形试验田,已知这块试验田的面积是7.79平方米,并且长比宽多2.2米,这个长方形的周长是()米。
解法一、利用平方差公式分解质因数。
先将长、宽各扩大10倍,则面积扩大100倍,面积为779,长、宽差为22,这样分数转化成整数。
779=900-121=302-112=(30+11)×(30-11)=41×29
原来长应为4.1,宽应为2.9,周长为(4.1+2.9)×2=12(米)。
解法二、利用“弦图”知识解答。
如右图,将四个同样的试验田拼成一个大
正方形,中间小正方形边长是2.2米,面积为
2.2×2.2=4.84(平方米)。
大正方形面积为:
7.79×4+4.84=36(平方米)。
大正方形边长为
6米。
大正方形边长等于试验田的长+宽,所以
试验田的周长为6×2=12(米)。
解法三、利用“割补”巧解。
根据“长比宽多2.2米”的条件,把多出的部分平均分成两个长方形,把其中的一格长方形移补,再加上一个边长为1.1米的小正方形,这就构成一个大正方形(如右上图)。
大正方形的面积为7.79+1.12=9(平方米),,所以原长方形的宽+1.1=3米,宽=1.9米,长为1.9+2.2=4.1米,原长方形周长为(1.9+4.1)×2=12米。
2、某蓄水池有两个进水管,单开甲管注满水池需要18小时,单开乙管需要24小时。
如果要求12小时注满水池,并且在这个注水过程中甲、乙两管合开8.4小时。
问甲管与乙管各开了多少小时?
【分析与解】
解法
(一)
12—8.4=3.6(小时)
原题简化为:
甲、乙3.6小时注水
,甲每小时注水
,乙每小时注水
。
本题实际是“鸡兔同笼问题”鸡有脚
只,乙有脚
只,鸡兔3.6只共有脚
只,问鸡、兔各有几只?
我们利用“假设法”来解答。
(只)
3.6-1.2=2.4(只)
所以,乙管注水8.4+1.2=9.6小时,甲管注水8.4+2.4=10.8小时。
解法
(二)“转化条件”甲、乙两管合开8.4小时,可以转化为甲管单开8.4小时,乙管也单开8.4小时,原题可以叙述为:
甲每小时注水
,乙每小时注水
,甲、乙两管单开,12+8.4=20.4小时注满水池。
利用“假设法”解答。
(小时)
20.4-9.6=10.8(小时)
解法(三)“画长方形图”解题。
由解法
(二)知,甲的工作效率为
,甲的工作效率为
,甲、乙的平均工作效率为
。
求甲、乙各注水几小时?
阴影I与阴影II的面积相等,I与II宽
的比为
:
=9:
它们长的比应为8:
9,
20.4小时是17份,
每份为20.4÷17=1.2小时,9份为20.4小时
1.2×9=10.8小时,8份为1.2×8=9.6小时。
3、0,1,4,6四个数码挺有意思,每取两个求出其差(大数减小数),这六个差可以排列成1,2,3,4,5,6六个连续自然数。
利用它来解下题:
上图表示一个矩形,它的长、宽数值都是两位数(用□□表示),它与一个边长为整数的正方形等积。
又知组成这个两位数的四个数码,如果每取两个求出其差,也可以排列成1,2,3,4,5,6六个连续数,你能说出正方形的边长吗?
(10分)
分析与解:
设组成长方形的边长的数码依次为A、B、C、D,且A﹤B﹤C﹤D。
则A与D相差6,且A与B,B与C,C与D之间的差有以下六种情况:
①1,2,3②1,3,2③2,1,3④2,3,1⑤3,1,2⑥3,2,1
第一类情况里,任何两个数的差都不为4;
第三类情况里,任何两个数的差都不为5;
第五类情况里,任何两个数的差都不为5;
第六类情况里,任何两个数的差都不为4。
由A的取值范围可以是0,1,2,3,把所有情况可以分为四类考虑。
第一类:
A
B
C
D
0
1
4
6
0
2
5
6
第二类:
A
B
C
D
1
2
5
7
1
3
6
7
第三类:
A
B
C
D
2
3
6
8
2
4
7
8
第四类:
A
B
C
D
3
4
7
9
3
5
8
9
对这8种情况分别进行枚举筛选,可以得到以下符合条件的三种情况,即:
75×12=30×30
63×28=42×42
27×48=36×36
综上所述,正方形的边长是30、42或36。
4、赵、钱、孙、李、周五人中,每两人之间都打过电话,且通话次数恰好是这两个人的年龄之差。
现知,周和赵相差9岁,孙和钱相差10岁,周和钱相差6岁,李和孙相差8岁,李和周相差12岁,赵和孙相差5岁,这五个人之间共通电话多少次?
策略:
若想求出通电话的次数,必须知道五个人的年龄大小情况及两个人的年龄差分别是多少,我们可以根据年龄问题的特点利用图解法求解。
详解:
1.我们先看一组简单的练习:
(1)若甲比乙大5岁,乙又比丙大4岁,
那么丙应该比甲小9岁。
三个人的
年龄关系可以用右图表示出来:
(箭头指向年龄小的)
图中三个年龄差相加减结果为0。
(想一想,为什么?
)
5+4-9=0(数字前面是加号的线段箭头逆时针指,是减号的箭头顺时针指。
)
(2)如果是四个人,四个人的年龄差相加减结果也应该是0。
(如右图所示)甲比乙大5岁,丙比乙大3岁,丁比丙
大6岁,丁比甲大4岁。
算式:
5-3-6+4=0
2:
(1)先将五人已知两两相关的岁数标在图1中,假设周比赵大(这并不影响结果)图中箭头指向两人中年龄较小的。
(2)根据练习得到的知识按照周、赵、孙、李、周围成一圈,图中所对应的两人年龄差相
加减应当等于0,由9-5+8-12=0,数字前面是加号的箭头逆时针指,是减号的线段的箭头顺时针指,可得到图2。
(3)同理,按周,钱,孙,李、周转一圈,由10+8-12-6=0,可得到图3。
现在我们把题目中的条件用图3表示出来,其余两人之间的关系怎么办呢?
通过图3可以看出钱比周大6岁,周比赵大9岁,那么钱应该比赵大15岁。
箭头指向赵。
同理可以求出钱与李、孙与周、赵与李的年龄差(见图4)
将图4中所有数相加,得到五人之间共通话(9+12+8+10+15+5+6+3+18+4=)90次。
探究:
(1)在分析过程中用到了有关年龄问题的那些知识?
(2)如果假设赵比周大9岁,或者李比周大12岁结果会是多少呢?
请你用例题中介绍的方法试一试,看一看结果是否相同?
5、如图
(1),红、绿两个正方形叠放在一起,已知红色正方形的边长是绿色正方形边长的0.75倍,红色正方形的面积数值是一个三位数,绿色正方形露出部分的面积数值也为一个三位数,并且和红色正方形面积数值的三个数字相同,只是这两个三位数的三个数字排列顺序不同。
求绿色正方形的面积是多少?
【分析与解】:
我们根据红、绿正方形边长的关系,把绿色
正方形平均分成16份,红色正方形正好为9份,
绿色正方形露出部分为7份。
(如图2)
红色正方形面积数值与绿色正方形露出部分面
积数值的三个数字相同,它们除以9的余数应相同,
它们的差必是9的倍数。
2个小正方形的面积是9的图
(1)
倍数,2与9互质,所以每个小正方形的面积都应是
9的倍数。
绿色正方形露出部分面积是一个三位数,7个小
正方形的面积和是三位数,9×7=63,63是一个两位数,
所以每个小正方形的面积最少为18。
红色正方形面积是一个三位数,9个小正方形的
面积和是三位数,117×9=1053,1053是一个四位数,
所以每个小正方形的面积最多为108。
图
(2)
在18、27、36、45、……、108之间,经试验只有18×9=162和18×7=126符合题义。
所以,绿色正方形的面积为162+126=288。
6、如图所示,把边长为6cm的等边三角形剪成4部分,从三角形顶点往下1cm处,呈30°角下剪刀,使中间部分形成一个小的等边三角形。
问:
所有斜线部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍?
分析与解答:
将大三角形分成边长1cm的小等边三角形即可求解。
大三角形中包含36个小等边三角形,空白三角形包含3个小等边三角形。
所以
7、把一些棱长为1的正方体粘成一个棱长为n(n为正整数)的实心正方体,将大正方体的一个或几个面染成红色,然后再将大正方体拆散,发现有281个小正方体被染色了,那么n=()。
解:
我们把大正方体分为上、下,前、后,左、右六个面。
1.如果只染一个面,只染大正方体的上面,那么,被染色的小正方体的块数应为n2个,因为281是质数,不是一个完全平方数,所以不可能是染一个面。
2.如果将大正方体的两个面染成红色有两种情况。
①染上下两个面(两个面相对),如图1,这时被染色的小正方体的块数应为2n2个,这也是不可能的。
②染上面和前面两个面(两个面相邻),如图2,这时这时被染色的小正方体的块数应为:
2n2-n=n×(2n-1),因为281是质数,所以n×(2n-1)不可能等于281。
3.如果将大正方体的三个面染成红色,有如下两种情况
①染上面、前面和右面,如图3,这时被染色的小正方体的块数应为n3-(n-1)3,n3-(n-1)3应是被3除余1的数,这是因为:
n被3除的余数
0
1
2
n3被3除的余数
0
1
2
(n-1)被3除的余数
2
0
1
(n-1)3被3除的余数
2
0
1
n3-(n-1)3被3除的余数
1
1
1
因为281被3除余2,所以n3-(n-1)3不可能等于281。
(或被染色的小正方体的块数,还可以表示为3n2-3n+1=281,那么3n2-3n=280,因为280不是3的倍数,所以也不合题意)。
②染上面、前面和下面,如图4,这时被染色的小正方体的块数应为:
3n2-2n=n×(3n-2),因为281是质数,所以n×(3n-2)不可能等于281。
4.如果将大正方体的四个面染成红色,有如下两种情况
①上、下两个面不染色,如图5,把被染上红色的小正方体切分成弦图那样,这时,被染上红色的小正方体块数应为4的倍数,而281不是4的倍数,不合题意。
②上面和前面不染色,如图6,这时被染色的小正方体的块数为:
2n2+n×(n-2)+(n-2)×(n-1)=4n2-5n+2
4n2-5n+2=281
4n2-5n=279
n×(4n-5)=279
因为279=1×179=3×91=9×31,经试验只有当n=9时,才符合要求。
5.如果将大正方体的五个面染上红色,如上面不染色,这时被染色的小正方体的块数为:
2n2+2n(n-2)+(n-2)×(n-2)=5n2-8n+4
如果5n2-8n+4=281,那么5n2-8n=277,n×(5n-8)=277,由于277是质数,所以n没有符合题意的解。
6.如果将大正方体的六个面都染上红色,这时被染色的小正方体的块数为:
n3-(n-2)3
由于n与n-2是同奇偶的,所以n3与(n-2)3也应是同奇偶的,同奇偶的两个
数的差应为偶数,而281是奇数,所以n3-(n-2)3不可以等于281,不符合题意。
综上所述,只有当n=9;有两个相邻的面不染色时,才符合题目要求。
所以n=9。
8:
把一个大长方体表面涂满红色后,分割成若干个同样大小的长方体,其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块,那么可以把这个大长方体分割成()个小长方体。
A、20个B、27个C、32个D、42个
【分析与解】大长方体表面涂色,分割后能出现两个面涂色的小长方体,应该是沿大长方体长、宽、高中的两个方向切割或沿大长方体三个方向都切割的分割方法。
图1图2
沿大长方体长、宽、高中的两个方向切割时(如图1),两个面涂色的小长方体的个数为(a-2)×(b-2)个,大长方体被分成的块数为a×b×1块。
沿大长方体三个方向切割时(如图2),两个面涂色的小长方体的个数为[(a-2)+(b-2)+(C-2)]×4个,大长方体被分成的块数是a×b×c块。
分类
两个面涂色情况
长方体的体积
体积顺序
(大到小)
沿两个方向分割的情况
12=(a-2)×(b-2)
=1×12
a×b×1=3×14=42
①
12=(a-2)×(b-2)
=2×6
a×b×1=4×8=32
②
12=(a-2)×(b-2)
=3×4
a×b×1=5×6=30
③
沿三个方向分割的情况
12÷4=3
=(a-2)+(b-2)+(c-2)
3=1+1+1
a×b×c=3×3×3=27
④
3=2+1+0
a×b×c=4×3×2=24
⑤
3=3+0+0
a×b×c=5×2×2=20
⑥
所以,本题应选A、B、C、D。
二、解答题。
9、现有十箱小球,根据标准,每个小球质量应为10克,但这十箱中,混进了两箱次品,次品的外观与正品没有区别,只是一箱球每只质量比正品少1克,另一箱球每只质量比正品少2克。
请设计一种方案,只称一次将这两箱次品球找出来。
分析与解答:
先给箱子编上号,但取球方法改为:
从第一箱中取1只(30=1),第二箱中取3只(31=1),第三箱中取9只(32=1),……,第十箱中取39=19683只小球放在一起称一次,如果全是正品,质量应为295240克,但因为混有质量较轻的次品小球,实际总质量应比标准总质量295240克轻些。
若总质量比295240克轻15克,因为15=9+3×2=1×32+2×31+0×30,即把十进制数15写成三进制数为(120)3,可知第二箱每只小球比标准轻2克,第三箱每只小球比标准轻1克。
若总质量比标准295240克轻495克,因为495=243×2+9=2×35+1×32,即把十进制数495写成三进制数为(200100)3,可知第三箱每只小球比标准球轻1克,第六号箱子每只小球比标准球轻2克。
因为只混进了两只次品球,且一箱每只比标准质量轻1克,另一箱每只比标准质量轻2克,所以实际总质量与标准总质量的差一定能写成3m×1+3n×2(m、n不相等,且为不大于9的自然数)的形式,且由于这个差(十进制数)能唯一地表示为一个三进制数,所以只称一次,根据这个三进制的表达式可以把两箱次品球找出来。
10、有很多白色或黑色的棱长是1厘米的小正方体。
取其中的27个,拼成一个棱长是3厘米的大正方体,每个面都各用2个黑色的小正方体拼成相同的图案,见例图。
例图中正方体的每一个面的图案相同,用8个或9个黑色的小正方体就可以拼成例图中的大正方体。
除例图之外,还可以用27块小正方体拼成每面是其它图案的大正方体,且大正方体六个面的图案相同。
请回答:
(1)拼成的大正方体的每一个面的图案,有可能是下面①—⑦图的那些图形?
(2)在上一问中可以按要求拼成的大正方体各用了几个黑色的小正方体?
【分析与解】
一、小组成员一起审题、理解题目条件。
1、根据每个小正方体在大正方体的表面露出面的个数多少,可以把组成大正方体的27个小正方体分成四类。
第一类是在大正方体顶点处的小正方体,有8个,每个露出3个面。
第二类是在大正方体棱上的小正方体,有12个,每个露出2个面。
第三类是在大正方体面上的小正方体,有6个,每个露出1个面。
第四类是在大正方体中心的小正方体,有1个,露出0个面。
2、根据小正方体在大正方体一个表面中露出的图案位置,可以把大正方体一个面中露出的9个小正方体表面分成三类。
(如下图)
第一类为○所在位置的小正方体的表面,○所在位置
的正方体是在大正方体的顶点,如果在这个位置出现阴
影,在其它的两个面中必定同时出现阴影。
第二类为□所在位置的小正方体的表面,□所在位置
的小正方体是在大正方体的棱上,如果在这个位置出现阴影,就要在另一个表面中相应的位置出现一个阴影。
第三类为△所在位置的小正方体的表面,△所在位置的小正方体是在大正方体的面上。
(注:
1、用下图表示正方体的六个面。
2、下面正方形中有★,表示这个正方形是黑色小正方体的表面。
)
二、小组内分工,在集体审题的基础上分工研究7种情况。
情况1、如下图,“左面”和“下面”的图案都已经符合图1的要求,但“后面”的另一个黑色阴影只有☆所在的两个位置可以放,由“左面”和“下面”来看这两个位置又都不能是黑色的小正方体,矛盾,所以大正方体的六个面不可能都是图1中的图案。
情况2、如下图,“下面”和“左面”都已经符合要求,“前面”的另一个黑色阴影只有☆所在的两个位置可以放,由“左面”和“下面”来看这两个位置又都不能是黑色的长方体,矛盾,所以大正方体的六个面不可能都是图2中的图案。
情况3、如下图,大正方形的表面积可以是图3。
这种情况用了5个或6个黑色小正方体拼成。
情况4、如下图,大正方形的表面积可以是图4。
这种情况用了4个或5个黑色小正方体拼成。
情况5、如下图,大正方形的表面积可以是图5。
这种情况用了9个或10个黑色小正方体拼成。
情况6、如下图,大正方形的表面积可以是图6。
这种情况用了6个或7个黑色小正方体拼成。
情况7、如下图,“上面”、“下面”、“前面”、“后面”的图案都已经符合图7的要求,但“左面”、“右面”的黑色阴影无论放在那个位置,都影响“上面”、“下面”、“前面”、“后面”中团的情况,所以“左面”、“右面”的黑色阴影无处可放,故大正方体的六个面不可能都是图7中的图案。
三、分工研究中先完成任务的同学,可以帮助其他没有研究出结论的同学。
四、本组内相互检查、交流。
五、确定正确答案后解题。
补充题:
11、如下图,在等边三角形ABC上有两个动点D、E,动点D从A出发到B,每秒移动1厘米,动点E以每秒4厘米的速度在AC间往返运动。
D、E两点同时从A点出发,随时连结DE两点,在D由A到B的这段时间内,线段DE与三角形的一部分构成的最小梯形面积是18平方厘米(图中阴影部分)。
三角形ABC的面积是多少平方厘米?
分析与解答:
要使线段DE与三角形ABC的一部分构成梯形,就要满足DB=EC这个条件。
假设D、E都在同一条边上走只有他们相遇时,才满足DB=EC(想一想:
为什么?
)。
此时问题转化为:
D、E两点在AB上运动,D的速度为1厘米/秒,E的速度为4厘米/秒,在D由A到B的这段时间内,D、E相遇几次,分别在什么位置?
因为E的速度是D的速度的4倍,所以在D由A到B的这段时间内,E应该走4个AB的长度,即D、E相遇4次。
第一次在A点处(E走第一遍AB);第二次在距A点2份的地方,即AB的
处(E走第二遍AB);第三次在距A点
处,即全程的
处(E走第三遍AB);第四次在距A点4份处,即全程的
处(E走第四遍AB)。
构成梯形面积最小,应该是第四次相遇时,即D、E点距A的路程为AB的
时,这时梯形的面积为18平方厘米。
我们利用“等分图形”的思路来解答(如图3)。
从图3中,很容易看出梯形面积为三角形ABC面积的
,三角形ABC的面积为18÷
=50(平方厘米)
12、某俱乐部有11个成员,他们的名字分别是A~K。
这些人分为两派,一派人总说实话,另一派人总说谎话。
某日,老师问:
“11个人里面,总说谎话的有几个人?
”那天,J和K休息,余下的9个人这样回答:
A说:
“有10个人。
”
B说:
“有7个人。
”
C说:
“有11个人。
”
D说:
“有3个人。
”
E说:
“有6个人。
”
F说:
“有10个人。
”
G说:
“有5个人。
”
H说:
“有6个人。
”
I说:
“有4个人。
”
那么,这个俱乐部的11个成员中,总说谎话的有几个人?
分析与解答:
因为9个人回答出了7种不同的人数,而且回答相同的最多是两个人。
所以说谎话的不少于7人。
若说谎话的有7人,则除B外,其它回答问题的8人均说了谎话,与假设出现矛盾;若说谎话的有8人,则回答问题的9人均说了谎话,出现矛盾;若说谎话的有10人,则只能1人说实话,而A和F都说了实话,出现了矛盾;若说谎话的有11人,则没有说实话的,而C说了实话,出现矛盾;显然说谎话的有9人,回答问题的9人均说谎话,休息的两人说实话。
13、有甲、乙、丙、丁四个人,各对某个两位整数的性质用两句话表述:
甲:
“用2除余1”,“用3除余2”。
乙:
“用4除余3”,“用5除余4”。
丙:
“用6除余5”,“用7除余6”。
丁:
“用8除余7”,“用9除余8”。
已知四人中每个人都只说对了一句话,而另一句话是错的。
请问这个两位整数是几?
策略:
通过观察可以发现四个人的第一句话中除数都是偶数,余数都是奇数;而第二句话中除数都是奇数余数都是偶数。
解答此题时要分析除数与余数的特点,利用我们所学的整除知识,先假设再排除,通过否定与肯定的层层深入推出正确的结论。
详解:
为了便于说明,将甲的第一句话用甲—①,第二句话用甲—②表示。
(1.)先假设甲—①是错的。
如果甲—①是错的,乙—①所说的整数用4除余3,如果用2除会怎样呢?
用4除余3的整数,也可以说成是4的倍数加上余数3的整数。
4是2的倍数,那么能被4整除的数也一定能被2整除,,余数是3,3被2除余1。
因此甲—①,乙—①所说的内容相同,既他们说的都是错的。
用同样的思考方法可以说明丙—①和丁—①也都是错的。
这时可以肯定甲—②、
乙—②、丙—②、丁—②、是正确的。
从各句话的除数与余数的关系来看,所有话中的余数都是除数减1,因此满足甲—②、乙—②、丙—②、丁—②条件的整数应该是3、5、7、9的公倍数减1的整数,而这样的整数最小的是314,不符合题目要求。
2.假设甲—②是错的。
和
(1)的思考方法一样,如果甲—②是错的,丙—②、丁—②也是错的。
(想一想,为什么?
)
那么,考虑一下乙说的话,因为丁—②是错的,所以丁—①是正确的。
因此,乙—①也是正确的。
通过以上的分析,可以知道甲—①、乙—①、丙—②、丁—①是正确的。
那么符合条件的数应该是2、4、7、8的公被数减1的整数。
满足这个条件的2位整数只有55。
探究与总结:
探究:
(1)想一想,为什么从甲的话开始分析?
从另外三个人的话开始分析结果会怎样?
(2)如果所求的数在1——200之间那么这个数可能会是多少呢?
总结:
(1)逻辑推理要求正确的前提,从正确的前提出发才能推出正确的结论。
然而有时我们事先并不知道哪一个判断是正确的,这时我们可以采用假设法解答。
根据事物之间的相对性,先作一个假设,然后根据条件进行推理。
如果得到符合条件的结果,那么这个假设是正确的;若从这个假设出发,推出矛盾,说明这个假设是错误的,可将这种情形排除,这时就需要我们在相反的前提下重新进行推理。
(2)两件相互矛盾对立的事情,如果一件是不正确的,另一件就是正确的。
4、有一些除法算式,被除数、除数、商都是自然数,它们的和是178,且商和余数相同。
写出所有满足条件的除法算式。
分析与解:
1.先由简单情况考虑
(1)当商和余数是1时,被除数-1=除数、178-2=(被除数-1)+除数
178-2应为(1+1)倍的除数。
(2)当商和余数是2时,被除数-2=2×除数、178-4=(被除数-2)+除数
178-4应为(2+1)倍的除数。
(3)当商和余数是3时,可以推知,17
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