第3章振动系统的运动微分方程题解.docx
- 文档编号:7419898
- 上传时间:2023-01-23
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:18.71KB
第3章振动系统的运动微分方程题解.docx
《第3章振动系统的运动微分方程题解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3章振动系统的运动微分方程题解.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第3章振动系统的运动微分方程题解
资料范本
本资料为word版本,可以直接编辑和打印,感谢您的下载
第3章振动系统的运动微分方程题解
地点:
__________________
时间:
__________________
说明:
本资料适用于约定双方经过谈判,协商而共同承认,共同遵守的责任与义务,仅供参考,文档可直接下载或修改,不需要的部分可直接删除,使用时请详细阅读内容
习题
题3-1图
3-1复摆重P,对质心的回转半径为,质心距转动轴的距离为a,复摆由水平位置无初速地释放,列写复摆的运动微分方程。
解:
系统具有一个自由度,选复摆转角为广义坐标,原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下,根据刚体绕定轴转动微分方程
其中
得到复摆运动微分方程为
或
3-2均质半圆柱体,质心为C,与圆心O1的距离为e,柱体半径为R,质量为m,对质心的回转半径为,在固定平面上作无滑动滚动,如题3-2图所示,列写该系统的运动微分方程。
题3-2图
解:
系统具有一个自由度,选为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为:
用瞬心法求:
故
系统具有理想约束,重力的元功为
应用动能定理的微分形式
等式两边同除,
,等式两边同除
故微分方程为
①
若为小摆动,,并略去二阶以上微量,上述非线性微分方程可线性化,系统微摆动的微分方程为
要点及讨论
(1)本题也可以用平面运动微分方程求解。
系统的受力图与运动分析图如图(b)所示。
列写微分方程
上述方程包含,,,,五个未知量,必须补充运动学关系才能求解。
建立质心坐标与广义坐标之间的关系
,
所以
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立,消去未知约束力,,就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下,未知约束力在动能定理的表达式中并不出现,所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
(2)本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能
选半圆柱体中心O1所在平面为零势面,系统的势能
由
两边对时间求导数,即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3均质杆AB,长l,质量为m,沿光滑墙面滑下,如题3-3图所示。
设水平面也为光滑的。
列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解:
系统具有一个自由度,选为广义坐标。
系统在任一位置的动能为
由瞬心法求质心的速度
,,
所以
系统的主动力图为图(a)所示。
重力的元功为
由动能定理
所以
系统的运动微分方程为
要点及讨论
(1)平面运动刚体可用式计算刚体动能,式中为刚体对瞬心的转动惯量,为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度也可用式计算。
其中
(2)所谓广义坐标应包含坐标值(线位移或角位移)、坐标原点、坐标正方向。
广义坐标的选择一般不是唯一的,例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标,正方向如图(b)所示(顺时针),广义坐标选定后其它运动量(位移及位移的一阶、二阶导数)都根据广义坐标确定(包括大小与正方向)。
如质心C的位移与速度,正方向应如图所示,大小分别为
,
系统的动能
主动力的元功
根据动能定理建立的方程为
所以
“—”号说明当取正值时为负,即反时针方向。
(3)本题也可用平面运动微分方程求解,读者试列出方程。
3-4如题3-4图所示,均质圆柱体质量为m,半径为r,沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动,质量为M的三角块置于光滑的水平面上。
列写该系统的运动微分方程。
题3-4图
解:
系统具有两个自由度,选为广义坐标。
系统具有理想约束,且在水平方向的外力为零,所以系统机械能守恒:
,水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
①
②
式中①②为系统微分方程的首次积分,对时间求导后,即可得到系统运动微分方程。
要点及讨论
(1)在理想约束的情况下,动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系,直接给出了系统的速度(或角速度)与位移(或角位移)之间的关系,对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。
(2)用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为:
①分析系统受力,在理想约束的情况下只有主动力作功,所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标,确定其原点和正方向;分析系统运动,重点是分析速度(角速度),将速度(角速度)用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能,将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功,若用积分形式动能定理,则计算主动力在有限路程上的功,若用微分形式的动能定理,则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
(3)在理想约束、主动力又为势力的情况下,可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
(4)对于多自由度系统,如两个自由度系统,动能定理只给出一个方程,必须与其他定理,如动量定理或动量矩定理联合应用,才能得到另外一个方程。
3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。
刚性基础质量为m,刚性建筑的质量为M,对质心C的转动惯量为IC。
两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。
其他参数如图示。
设地基有水平运动z(t),试建立系统微幅运动微分方程。
图中。
题3-5图
解:
应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时,首先要画出每个刚体的受力图,如题3-5图(b)、(c)所示。
对于图(b),建立刚体的水平运动微分方程为
(1)
对于图(c):
建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为
(2)
(3)
(4)
其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标,同时考虑到微小运动的假说,于是有
(5)
(6)
由方程
(1)、
(2)消去未知力,FOx并考虑式(5)得
(7)
又由方程
(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx,并考虑式(5)和(6),得
(8)
方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程,若令x和q为确定系统位置的广义坐标,写为矩阵形式
那么,方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下:
(9)
由此例题可以看出,应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程,一定要画受力图,于是必然要涉及未知约束力,因此较为繁琐,特别是该例中的组合刚体系统更是如此。
然而对于多自由度系统,应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
另解:
由动静法得,以整体为研究对象
以M为研究对象:
又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得:
化成矩阵形式为:
3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁,已知弯曲刚度为EI,单位长度的质量为m,分布载荷为F(y,t)。
试用哈密顿原理求运动方程。
解:
若梁的挠曲函数为w(y,t),则动能为
(a)
应变(势能)为
题3-6图
(b)
外力功为(c)
将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式
(d)
得到
(e)
对式(e)进行分部积分运算,得到
(f)
由于,时,哈密顿原理要求dw=0,因而式(f)变为
(f)
因为,t1与t2区间的虚位移dw不可能为零,由此,得到梁的边界条件
(h)
与运动方程
(i)
两端简支的梁,显然是满足边界条件式(h)的。
3-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
题3-7图
解:
取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。
即
(1)
则系统的动能
(2)
系统的势能为
(3)
计算拉格朗日方程中的各项导数如下:
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
(4)
写成矩阵形式
(5)
其中
质量矩阵
刚度矩阵
位移列阵
(a)(b)
题3-8图
3-8在地震研究中,建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体,其中直线弹簧的弹性系数为k,扭转弹簧的弹性系数为kT,如题3-8图所示。
设IG为建筑物相对质心G的转动惯量,试利用坐标x(相对于平衡位置的直线运动)及描述建筑物转动的坐标q,求出运动方程。
解:
运动的分离体图如图(b)所示。
地震中可设q为微小角度,因此
因此运动方程为
如果则
则频率方程为
即
或
另解:
动静法得。
以刚体m为研究对象:
又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得:
图中:
kx、m应反向。
方程应为
3-9为了使结构隔离机器产生的振动,将机器安装在一很大的机座上,机座由弹簧支承,如题3-9图所示。
试求机座在图示平面内的运动方程。
题3-9图
解:
选择坐标q1、q2、q3,这些坐标已能完全描述该系统的运动,并相互独立。
设机器和机座的总质量为M,总质量对质心G点的惯性矩为IG,则
式中,V为贮存在弹簧中的势能。
有:
由拉格朗日方程得
则运动方程为
因此系统具有三坐标耦合的运动方程。
假定,由频率方程可求出系统的各阶固有频率。
3-10题3-10图是一个带有附有质量m1和m2上的约束弹簧的双摆,采用质量的微小水平平动x1和x2为坐标,写出系统运动的作用力方程。
解:
利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设,分别画出与的受力图,并施加二物块力,列平衡方程,
对:
,题3-10图
,
对:
,
,
设,分别画出与的受力图,并施加二物块力,列
平衡方程,
对:
,
,
对:
,
,
由,,,,,
,解得,
,,,
得作用力方程为
3-11题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上,刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束,质心C上受水平力PC和扭矩MC的作用。
设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、A及,以质心C的微小位移xC与为坐标,列出系统运动的作用力方程。
题3-11图
解:
设质心的水平位移与相对于质心的转角为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设,画出受力图,并施加物体力与力偶,列平衡方程,
,
,
设,画出受力图,并施加物体力与力偶,列平衡方程,
,
,
,
,,,
得作用力方程为
题3-12图
3-12题3-12图是两层楼建筑框架的示意图,假设梁是刚性的,框架中各根柱为棱柱形,下层弯曲刚度为EJ1,上层为EJ2,采用微小水平运动x1及x2为坐标,列出系统运动的位移方程。
解:
由材料力学知,当悬臂梁自由端无转角时,其梁的等效刚度为,由此可将题3-12图等效为(a)图,其中
,
广义坐标如图(a)示。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设,画出受力图,并施加物体力,列平衡方程,可得到
,
同理可求得。
最后求得刚度矩阵为
=
由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为
得到系统的位移方程为
也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。
即,对图(a)中的施加单位力,而不受力,此时第一个弹簧变形为,第二个弹簧变形为零。
由此可得位移为,
,
同理求出,。
最后得到柔度矩阵为
另解:
(1)求刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]
在各楼层处附加水平链杆,并分别使各层产生一单位位移。
由各层的剪力平衡条件,可求得各刚度影响系数,其数值分别如图3-13(b)、(c)所示。
得刚度矩阵为
(a)
质量矩阵为
(b)
图3-13
(2)频率分析
引入符号
(c)
则由式(3-12)知
(d)
展开上述频率方程,得
(e)
解得式(e)的两个根为
(f)
将式(f)代入式(c),可得两个自振频率
(g)
(3)振型分析
由振幅方程得
两个振型的大致形状如图3-13(a)、(b)所示。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第3章 振动系统的运动微分方程题解 振动 系统 运动 微分方程 题解
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)