初三数学圆知识点复习专题.docx

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初三数学圆知识点复习专题

圆

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：

可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：

可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：

到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：

到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：

到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：

平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：

平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内点在圆内；

2、点在圆上点在圆上；

3、点在圆外点在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离无交点；

2、直线与圆相切有一个交点；

3、直线与圆相交有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）无交点；

外切（图2）有一个交点；

相交（图3）有两个交点；

内切（图4）有一个交点；

内含（图5）无交点；

五、垂径定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：

此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径②③④弧弧⑤弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：

在⊙中，∵∥

∴弧弧

例题1、基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（　　）．

　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧　B．过弦的中点的直线必过圆心

　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心　D．弦的垂线平分弦所对的弧

例题2、垂径定理

1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.

（1）求证：

四边形是正方形.

（2）若，，求圆心到弦和的距离.

4、已知：

△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：

AD=BF.

例题3、度数问题

1、已知：

在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：

的度数和圆的半径.

2、已知：

⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：

AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：

.

例题7、平行与相似

已知：

如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：

.

六、圆心角定理

圆心角定理：

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：

①；②；

③；④弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：

同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：

∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：

在⊙中，∵、都是所对的圆周角

∴

推论2：

半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：

在⊙中，∵是直径或∵

∴∴是直径

推论3：

若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：

在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：

此推论实是初二年级几何中矩形的推论：

在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

（1）求证：

AC⊥OD；

（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．

【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．

（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？

请说明理由．

（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照

（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：

圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：

在⊙中，

∵四边形是内接四边形

∴

例1、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：

E，M，O，C四点共圆．

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：

∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：

切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：

过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：

过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：

①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：

∵、是的两条切线

∴

平分

利用切线性质计算线段的长度

例1：

如图，已知：

AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：

OD的长．

利用切线性质计算角的度数

例2：

如图，已知：

AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF．求：

∠A的度数．

利用切线性质证明角相等

例3：

如图，已知：

AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：

∠MCN=∠MDN．

利用切线性质证线段相等

例4：

如图，已知：

AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：

CD=CE．

利用切线性质证两直线垂直

例5：

如图，已知：

△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：

DE⊥AC．

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：

圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：

在⊙中，∵弦、相交于点，

∴

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：

在⊙中，∵直径，

∴

（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：

在⊙中，∵是切线，是割线

∴

（4）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：

在⊙中，∵、是割线

∴

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：

AE的值。

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2

例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：

PB＝1：

4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3

例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，

（1）求证：

；

（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

例5.如图5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。

求证：

AD·BC＝CD·AB

图5

例6.如图6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

图6

求证：

BC＝2OE。

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：

两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：

垂直平分。

即：

∵⊙、⊙相交于、两点

∴垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：

中，；

（2）外公切线长：

是半径之差；内公切线长：

是半径之和。

十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：

；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：

（1）弧长公式：

；

（2）扇形面积公式：

：

圆心角：

扇形多对应的圆的半径：

扇形弧长：

扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

=

（2）圆柱的体积：

3.圆锥侧面展开图

（1）=

（2）圆锥的体积：