含参二次不等式因式分解.docx

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含参二次不等式因式分解

、公式法

必会的乘法公式

【公式

1】

（a

bc）2

2a

.22

bc

2ab2bc2ca

【公式

2】

（a

b）（a2

ab

b）a

3

b（立方和公式）

【公式

3】

（a

b）（a2

ab

2.3

b）a

b（立方差公式）

【公式

4】

（a

b）3a3

b3

22

3ab3ab

【公式

5】

（a

b）3a3

3a2b3ab2

b3

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:

⑴8x3

（2）0.12527b3

【例2】分解因式：

（1）3a3b81b4

（2）a7ab6

、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式•而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

1•分组后能提取公因式

【例3】把2ax10ay5bybx分解因式.

【例4】把ab（c2d2）（a2b2）cd分解因式.

2•分组后能直接运用公式

22

【例5】把xyaxay分解因式.

222

【例6】把2x4xy2y8z分解因式.

十字相乘法分解因式

1•二次三项式

2

（1）多项式axbxc,称为字母_的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为

常数项.

例如：

X22x3和X25x6都是关于x的二次三项式.

（2）在多项式x26xy8y2中，如果把看作常数，就是关于_的二次三项式；如果把_看作常

数，就是关于_的二次三项式.

（3）在多项式2a2b27ab3中，把看作一个整体，即，就是关于的二次

2

三项式•同样，多项式（xy）7（xy）12，把看作一个整体，就是关于的二次三项式.

2•十字相乘法的依据和具体内容

2

（1）对于二次项系数为1的二次三项式|x（ab）xab（xa）（xb）

方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相

同.

于二次项系

2

反过来，就得到：

a02XQ1C2a2G）xC1C2@必cJ（a2XC2）

我们发现，二次项系数a分解成a^2，常数项c分解成C1C2，把a1,a2,G,C2写成j：

，这里按

a?

C2

斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2C|，如果它正好等于ax2bxc的一次项系数b，那么

2

axbxc就可以分解成（&xCi）（a2XC2），其中a1,G位于上一行，a2,C2位于下一行.

十字相乘法的要领是：

“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三

项式能否用十字相乘法分解．

它的特征是“拆两头，凑中间”

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；

常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；

常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同

注意：

用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：

一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．

【例

1】

把下列各式因式分解：

（1）

2x

7x

6

（2）x2

13x

36

（3）

2x

5x

24

（4）x2

2x

15

（5）

2x

xy

6y2

2

（6）（x2

x）2

8（x2x）12

1竖分二次项与常数项

2交叉相乘，和相加

3检验确定，横写因式

顺口溜：

竖分常数交叉验，

横写因式不能乱

例2、因式分解与系数的关系

若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有（）

A.5个B.6个C.8个D.4个

分析：

因为二次项系数为1，所以原式可分解为（a+m）（a+n）的形式，其中mn=16，k=m+n，所以因为16=2X8,16=（-2）x（-8）

16=4X4,16=（-4）X（-4）

16=1X16,16=（-1）X（-16）

所以k=±10，±8，±16

答案：

B

2•一般二次三项式ax2bxc型的因式分解

【例2把下列各式因式分解：

222

（1）12x25x2

（2）5x26xy8y2

说明：

用十字相乘法分解二次三项式很重要•当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速

度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.

练习1：

分解因式

2

（1）2x215x7

（2）3a28a4

（3）5x27x6

2

（4）6y211y10

22

（5）5a2b223ab

2222

10（6）3a2b217abxy10x2y2

（7）x27xy12y2

（8）

4

x

7x2

18

（9）4m2

2

8mn3n2

（10）5x515x3y

20xy2

练习2分解因式

42

（1）x410x29；

（2）7（x

y）3

5（x

y）2

2（x

2

y）；（3）（a2

22

8a）222（a28a）120

22

4、（x22x3）（x2

2x24）

90

•5

6x4

5x3

2

38x25x6•

22

6x2xyy5x5y6．7ca（c－a）＋bc（b－c）＋ab（a－b）．

三、十字相乘与其它知识综合

例1.分组分解后再用十字相乘

把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式

解：

原式=（2x2-8xy+8y2）-（11x-22y）+15

=2（x-2y）2-11（x-2y）+15

=[（x-2y）-3][2（x-2y）-5]

=（x-2y-3）（2x-4y-5）

说明：

分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项

一组.本题通过这样分组就化为关于（x-2y）的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.

例2.换元法与十字相乘法

把（x2+x+1）（x2+x+2）-6分解因式

分析：

观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把（x2+x）看成一个“字母”，把这个

式子展开，就可以得到关于（x2+x）的一个二次三项式（或设x2+x=u，将原式化为（u+1）（u+2）-6=u2+3u-4，则更为直观）再利用十字相乘法进行因式分解.

解：

（x2+x+1）（x2+x+2）-6

=[（x2+x）+1][（x2+x）+2]-6

=（x2+x）2+3（x2+x）-4

=（x2+x+4）（x2+x-1）

说明：

本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续

分解，

例3、把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式

分析：

在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3

=10x2-（27y+1）x-（28y2-25y+3）

4y-3

7yX-1

=10x2-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）

2-（7y-1）

5X4y-3

=[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]

=（2x-7y+1）（5x+4y-3）

说明：

在本题中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y-1），再用十字相乘法把

2-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）分解为：

[2x-（7y-1）][5x+（4y-3）]

解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3

2-7y

5X4y

=（2x-7y）（5x+4y）-（x-25y）-3

2x-7y1

5x+4yX-3

=[（2x-7y）+1][（5x+4y）-3]

=（2x-7y+1）（5x+4y-3）

说明:

在本题中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x+4y）,再把（2x-7y）+4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1][（5x+4y）-3].

（试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数

10x

5x

去分析）

例4.因式分解与十字相乘法已知（x2+y2）（x2-1+y2）=12求：

x2+y2的值解：

（x2+y2）（x2-1+y2）=12（x2+y2）[（x2+y2）-1]-12=0（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0[（x2+y2）-4][（x2+y2）+3]=0

••X2+y2>0

例5把下列各式分解因式：

42

（1）x410x29；

32

（2）7（xy）35（xy）22（xy）；

222

（3）（a28a）222（a28a）120．

22

点悟：

（1）把x看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式;

解：

（1）x410x29（x21）（x29）

=（X+1）（x—1）（X+3）（X—3）.

32

（2）7（Xy）35（Xy）22（Xy）

2

（Xy）[7（Xy）25（Xy）2]

=（x+y）[（x+y）—1][7（X+y）+2]

=（x+y）（x+y—1）（7x+7y+2）.

222

（3）（a28a）222（a28a）120

22

（a28a12）（a28a10）

2

（a2）（a6）（a28a10）

点拨：

要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．

22

例6分解因式：

（x22x3）（x22x24）90．

2

点悟：

把x22x看作一个变量，利用换元法解之．

2

解：

设x2xy，贝U

原式=（y—3）（y—24）+90

y227y162

=（y—18）（y—9）

22

（x22x18）（x22x9）．

2

点拨：

本题中将x22x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果•此

例7分解因式6x45x338x25x6.

点悟：

可考虑换元法及变形降次来解之.

2211

解：

原式x[6（x2）5（x）38]

xx

2121x2[6（x-）25（x-）50]，

xx

1

令X—y，则

x

22

原式x（6y5y50）

2

x（2y5）（3y10）

3

x2（2x5）（3x10）

xx

（2x25x2）（3x210x3）

（x2）（2x1）（x3）（3x1）.

点拨：

本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.

是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节.

例8:

解关于x方程：

x2-3ax+2a2-b-b2=0

分析：

2a2-b-b2可以用十字相乘法进行因式分解

解：

x2-3ax+2a2-b-b2=0

x2-3ax

+（2a2zb-b2）=0

1-b

2X+b

（2a+b）

1X-（a-b）

[x-（2a+b）][x-（a-b）]=0

所以x仁2a+bx2=a-b

422

例9已知x6xx12有一个因式是x

点悟：

因为x6xx12是四次多项式，有

道另一个因式是x2bx3（a、b是待定常数），故有

据此恒等关系式，可求出a,b的值.

解：

设另一个多项式为x2bx3，则

x46x2x12

（x2ax4）（x2bx3）

432

x（ab）x（34ab）x（3a4b）x

•/x46x2x12与x4（ab）x3（34

ax4，求a值和这个多项式的其他因式.

个因式是x2ax4，根据多项式的乘法原则可知

4222

x6xx12（xax4）（xbx3）•根

12,

ab）x2（3a4b）x12是同一个多项式，所以其对

应项系数分别相等•即有

卩+"6

①

I3+4+a6-6,

②

[%+4心=1.

由①、③解得，a=—1,b=1,

代入②，等式成立.

2

a=—1，另一个因式为xx3.

点拨：

这种方法称为待定系数法，是很有用的方法•待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常

用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用•希望读者不可轻视.

练习3、1、已知x46x2x12有一个因式是x2ax4，求a值和这个多项式的其他因式.

提高版

练习1、把下列各式分解因式:

练习2、

四、其它因式分解的方法

1.配方法

说明：

这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.

2.拆、添项法

32

【例12】分解因式x3x4

分析：

此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行•细查式中无一次项，如果它

0了，可考虑通过添项或拆项解

能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为

决.

解：

x33x24（x31）（3x23）

（x1）（x2x1）3（x1）（x1）（x1）[（x2x1）3（x1）]

22

（x1）（x4x4）（x1）（x2）

说明：

本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公

式法及提取公因式的条件•本题还可以将3x2拆成x24y2，将多项式分成两组（x3x2）和4x24.

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

（1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解；

（4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

A

组

1.把下列各式分解因式：

（1）a327

3

（2）8m

（3）

27x38

1313

331

133

13

（4）-pq

（5）

8xy

（6）

xy

c

864

125

216

27

2.把下列各式分解因式：

“八34

（2）

n3n3

（1）xyx

xxy

2323

（3）a（mn）ab

⑷y2（x22x）3

2

y

3.把下列各式分解因式：

2

（1）x3x2

⑵x2

37x

36

⑶x2

11x

26

2

（4）x6x27

2

（5）m

4mn

5n2

（6）（a

b）2

11（ab）28

4.把下列各式分解因式:

5.把下列各式分解因式:

22n22

x（xy）（yxyx）,x（xy）（xxyy）,

1）

a2（mnb）[（mn）2b（mn）b2],y2（x1）2（x44x33x22x

（x2）（x1）,（x36）（x1）,（x13）（x2）,（x9）（x3）

4

.

3ax

（x2）（x

8）,an（a3b）（a2b）,（x3）（x1）（x2

2x3）,（x3）（x

2

3）（x2）

（2x

3）（3x

1）,（2x

y）（4x

15y）,（7a7b2）（ab1）,（2x1）（3x

5）（6x27x5）

5.

（x

y）（3a

y）,（2x

1）2（2x

1）,（x3）（5x2y）,（2a5b6）（2a5b

6）

（1

2xy）（1

2x

y）,ab（a

b）2（ab）,（x31y3）（x31y3）,x（x

y）（xy1）.

B组

22

1.（bead）（acbd）,（x4m2n）（x2n）,（x4x8）（x4x8）,

2

（x1）（x3）（x7）,（x2y）（x2y）.

28

2.

3

3.

n55n34n

（n2）（n

1）n（n

1）（n

2）

4.

32.2

aacbc

abcb3

（a2

abb2

）（abc）

三、强化练习

1•把下列各式分解因式

（1）x-x2+42

123,

—hl-—m+1⑵匚；1

（3）a2n+a4n-2a6n

（4）（x-y）2+3（x2-y2）-4（x+y）2

（5）x2-xy-2y2-x-y

2.已知：

x2+xy-2y2=7,求：

整数x、y的值

26，求a的值.

33

3.已知x+y=2,xy=a+4,xy

⑷-2y（5x+3y）

提示：

可分别把（x-y）和（x+y）各看成一个“字母”，如设x-y=m,x+y=n，则原式化为

m2+3mn-4n2

（5）（x+y）（x-2y-1）

提示：

可参考“疑难精讲例3”

p=3li=5-5fjt=-?

2\j=2-尸亠ly"*ly=-2

提示：

将已知条件的左边分解因式得:

（x+2y）（x-y）=7

tx、y都为整数

jx+2y-±1+2y-±7

3322.

3■/xy（xy）（xxyy）

2

（xy）[（xy）3xy],

又txy2,xy=a+4,

332

x3y326,•••2[223（a4）]26,

解之得，a=—7.