高一数学知识总结.docx

高一数学知识总结.docx

《高一数学知识总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学知识总结.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高一数学知识总结

集合及运算

　　集合：

一般的，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合。

　　子集：

对于两个集合A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B

　　空集：

不含任何元素的集合叫做空集。

记为φ

　　集合的三要素：

确定性、互异性、无序性

　　集合的表示方法：

列举法、描述法、视图法、区间法

　　集合的分类：

（按集合中元素个数多少分为：

）有限集、无限集、空集

　　常见数集：

“N”全体非负整数组成的集合

　　“N+”或“N*”所有正整数组成的集合

　　“Z”全体整数组成的集合

　　"Q“全体有理数组成的集合

　　“R”全体实数组成的集合

　　关系：

元素属于集合：

a∈A

　　集合与集合：

A⊇B，A=B

　　运算：

交集：

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。

记作A∩B

　　并集：

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集

　　记作A∪B

　　补集：

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，记为CuA

　　运算的基本性质

　　4．集合的运算性质

（1）A∩B=B∩A；A∩B∈A；A∩B∈B；A∩U=A；A∩A=A；A∩φ=φ；

（2）A∪B=BUA；A∈A∪B；B∈A∪B；A∪U=U；A∪A=A；A∪φ=A；

　　（3）Cu（CuA）=A；Cuφ=U；CuU=φ；A∩CuA=φ；A∪CuA=U；

　　（4）A⊇B，B⊇A，则A=B，A⊇B，B⊇C，则A⊇C

　　5．常用结论：

（1）A⊆B<=>A∩B=A;A⊆B<=>A∪B=B;A∪B=A∩B<=>A=B

（2）CuA∩CuB=Cu（A∪B），CuA∪CuB=Cu（A∩B）——德摩根律

有关公式

抛物线

　　：

y=ax^2+bx+c

　　就是y等于ax的平方加上bx再加上c

　　a>0时开口向上

　　a<0时开口向下

　　c=0时抛物线经过原点

　　b=0时抛物线对称轴为y轴

　　还有顶点式y=a（x+h）^2+k

　　就是y等于a乘以（x+h）的平方+k

　　-h是顶点坐标的x

　　k是顶点坐标的y

　　一般用于求最大值与最小值

　　抛物线标准方程:

y^2=2px

　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为（p/2,0）准线方程为x=-p/2

　　由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py

圆

　　体积=4/3πr^3;

　　面积=πr^2;

　　周长=2πr

　　圆的标准方程（x-a）^2+（y-b）^2=r^2注：

（a,b）是圆心坐标

　　圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0注：

D^2+E^2-4F>0

（一）椭圆周长计算公式

　　椭圆周长公式：

L=2πb+4（a-b）

　　椭圆周长定理：

椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

　　椭圆面积公式：

S=πab

　　椭圆面积定理：

椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

　　以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

　　椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高

三角函数

　　：

两角和公式

　　sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

　　cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

　　tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

　　cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

　　倍角公式

　　tan2α=2tanα/（1-tan^2（α））sin2α=2sinαcosα

　　cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）

　　sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

　　cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及

　　sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2

　　tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

　　·万能公式：

　　sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

　　cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

　　tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

　　半角公式

　　sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）

　　cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）

　　tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））

　　cot（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））cot（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））

　　和差化积

　　2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）

　　2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）

　　sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

　　tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB

　　cotA+cotBsin（A+B）/sinAsinB-cotA+cotBsin（A+B）/sinAsinB

　　某些数列前n项和

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2

　　2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6

　　1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=（n（n+1）/2）^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3

　　正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：

其中R表示三角形的外接圆半径

　　余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：

角B是边a和边c的夹角

　　乘法与因式分a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b（a2+ab+b2）

　　三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

　　|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

　　一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-√（b2-4ac）/2a

　　根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注：

韦达定理

　　判别式b2-4ac=0注：

方程有相等的两实根

　　b2-4ac>0注：

方程有两个不相等的个实根

　　b2-4ac<0注：

方程有共轭复数根

　　公式分类公式表达式

　　圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：

（a,b）是圆心坐标

　　圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：

D2+E2-4F>0

　　抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

　　直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h

　　正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'

　　圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2

　　圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l

　　弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r

　　锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h

　　斜棱柱体积V=S'L注：

其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

　　柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h

　　图形周长面积体积公式

　　长方形的周长=（长+宽）×2

　　正方形的周长=边长×4

　　长方形的面积=长×宽

　　正方形的面积=边长×边长

　　三角形的面积

　　已知三角形底a，高h，则S=ah/2

　　已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]（海伦公式）（p=（a+b+c）/2）

　　和：

（a+b+c）*（a+b-c）*1/4

　　已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2

　　设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

　　则三角形面积=（a+b+c）r/2

　　设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r

　　则三角形面积=abc/4r

　　已知三角形三边a、b、c,则S=√{1/4[c^2a^2-（（c^2+a^2-b^2）/2）^2]}（“三斜求积”南宋秦九韶）

　　|ab1|

　　S△=1/2*|cd1|

　　|ef1|

　　【|ab1|

　　|cd1|为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A（a,b）,B（c,d）,C（e,f）,这里ABC

　　|ef1|

　　选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！

】

　　秦九韶三角形中线面积公式:

　　S=√[（Ma+Mb+Mc）*（Mb+Mc-Ma）*（Mc+Ma-Mb）*（Ma+Mb-Mc）]/3

　　其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.

　　平行四边形的面积=底×高

　　梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

　　直径=半径×2半径=直径÷2

　　圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2

　　圆的面积=圆周率×半径×半径

　　长方体的表面积=

　　（长×宽+长×高+宽×高）×2

　　长方体的体积=长×宽×高

　　正方体的表面积=棱长×棱长×6

　　正方体的体积=棱长×棱长×棱长

　　圆柱的侧面积=底面圆的周长×高

　　圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

　　圆柱的体积=底面积×高

　　圆锥的体积=底面积×高÷3

　　长方体（正方体、圆柱体）

　　的体积=底面积×高

　　平面图形

　　名称符号周长C和面积S

　　正方形a—边长C=4a

　　S=a2

　　长方形a和b－边长C=2（a+b）

　　S=ab

　　三角形a,b,c－三边长

　　h－a边上的高

　　s－周长的一半

　　A,B,C－内角

　　其中s=（a+b+c）/2S=ah/2

　　=ab/2?

sinC

　　=[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2

　　=a2sinBsinC/（2sinA）

有关定理

　　1过两点有且只有一条直线

　　2两点之间线段最短

　　3同角或等角的补角相等

　　4同角或等角的余角相等

　　5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

　　6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

　　7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

　　8如果两条直线都和第三条直线平行或垂直，这两条直线也互相平行

　　9同位角相等，两直线平行

　　10内错角相等，两直线平行

　　11同旁内角互补，两直线平行

　　12两直线平行，同位角相等

　　13两直线平行，内错角相等

　　14两直线平行，同旁内角互补

　　15定理三角形两边的和大于第三边

　　16推论三角形两边的差小于第三边

　　17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

　　18推论1直角三角形的两个锐角互余

　　19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

　　20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

　　21全等三角形的对应边、对应角相等

　　22边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

　　23角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

　　24推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

　　25边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

　　26斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

　　27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

　　28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

　　29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

　　30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

　　31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

　　32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

　　33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

　　34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

　　35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

　　36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

　　37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

　　38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

　　39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

　　40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

　　41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

　　42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

　　43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

　　45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

　　46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

　　47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

　　48定理四边形的内角和等于360°

　　49四边形的外角和等于360°

　　50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°

　　51推论任意多边的外角和等于360°

　　52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

　　53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

　　54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

　　55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

　　56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

　　57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

　　60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

　　61矩形性质定理2矩形的对角线相等

　　62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

　　63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

　　64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

　　65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

　　66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2

　　67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

　　68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

　　69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

　　70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

　　71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

　　72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

　　73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

　　74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

　　75等腰梯形的两条对角线相等

　　76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

　　77对角线相等的梯形是等腰梯形

　　78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

　　79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

　　80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

　　81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

　　82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2s=l×h

　　83

（1）比例的基本性质如果a:

b=c:

d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:

b=c:

d

　　84

（2）合比性质如果a/b=c/d,那么（a±b）/b=（c±d）/d

　　85（3）等比性质如果a/b=c/d=…=m/n（b+d+…+n≠0）,那么（a+c+…+m）/（b+d+…+n）=a/b

　　86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

　　87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

　　88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

　　89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

　　90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

　　91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（asa）

　　92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

　　93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）

　　94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（sss）

　　95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

　　96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

　　97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

　　98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

　　99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

　　于它的余角的正弦值

　　100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

　　101圆是定点的距离等于定长的点的集合

　　102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

　　103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

　　104同圆或等圆的半径相等

　　105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

　　106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

　　107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

　　108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

　　109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

　　110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

　　111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

　　112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

　　113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

　　114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

　　115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

　　116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

　　117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

　　118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

　　119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

　　120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

　　121①直线l和⊙o相交d

　　②直线l和⊙o相切d=r

　　③直线l和⊙o相离d>r

　　122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

　　123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

　　124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

　　125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

　　126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

　　127圆的外切四边形的两组对边的和相等

　　128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

　　129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

　　130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

　　131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

　　两条线段的比例中