高中数学第二章概率6正态分布学案北师大版选修23.docx

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高中数学第二章概率6正态分布学案北师大版选修23

教学资料参考范本

【2019-2020】高中数学第二章概率6正态分布学案北师大版选修2_3

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学习目标　1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．

知识点　正态分布

1．正态分布

正态分布的分布密度函数为：

f（x）＝·exp，x∈（－∞，＋∞），其中exp{g（x）}＝eg（x），μ表示________，σ2（σ>0）表示________．通常用X～N（μ，σ2）表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．

2．正态分布密度函数满足以下性质

（1）函数图像关于直线________对称．

（2）σ（σ>0）的大小决定函数图像的__________．

（3）随机变量在三个特殊区间内取值的概率值

①P（μ－σ

②P（μ－2σ

③P（μ－3σ

通常服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在区间（μ－3σ，μ＋3σ）外取值的概率只有________．

类型一　正态曲线的图像的应用

例1　如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差．

反思与感悟　利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：

一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f（x）中便可求出相应的解析式．

跟踪训练1　设两个正态分布N（μ1，σ）（σ1>0）和N（μ2，σ）（σ2>0）的分布密度函数图像如图所示，则有（　　）

A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

类型二　利用正态分布的对称性求概率

例2　设X～N（1,22），试求：

（1）P（－1

（2）P（35）．

引申探究　

本例条件不变，若P（X>c＋1）＝P（X

反思与感悟　利用正态分布求概率的两个方法

（1）由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：

①P（Xa）；

②P（X<μ－a）＝P（X>μ＋a）．

（2）利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．

跟踪训练2　

（1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）等于（　　）

A．0.6B．0.4

C．0.3D．0.2

（2）设X～N（6,1），求P（4

类型三　正态分布的应用

例3　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202），已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数．

反思与感悟　解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．

跟踪训练3　有一种精密零件，其尺寸X（单位：

mm）服从正态分布N（20,4）．若这批零件共有5000个，试求：

（1）这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；

（2）若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？

1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（　　）

A．甲科总体的方差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的方差及平均数都居中

D．甲、乙、丙总体的平均数不相同

2．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于（　　）

A．1B．2

C．4D．不能确定

3．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ）和（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N（90,152），则此次考试成绩在区间（60,120）内的学生大约有（　　）

A．997人B．972人

C．954人D．683人

4．设X～N，则X落在（－3.5，－0.5）内的概率是（　　）

A．95.4%B．99.7%

C．4.6%D．0.3%

5．设随机变量X～N（0,1），求P（X<0），P（－2

1．理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质．

2．正态总体在某个区间内取值的概率求法

（1）熟记P（μ－σ

（2）充分利用分布密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．

①分布密度曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．

②P（Xa），P（X<μ－a）＝P（X>μ＋a），

若b<μ，则P（X<μ－b）＝.

答案精析

知识梳理

知识点

1．均值　方差

2．

（1）x＝μ　

（2）“胖”“瘦”（3）①68.3%

②95.4%　③99.7%　0.3%

题型探究

例1　解　从给出的分布密度曲线可知它关于直线x＝20对称，最大值是，

所以μ＝20.由＝，解得σ＝.

于是该正态分布的分布密度函数的解析式是

f（x）＝，x∈（－∞，＋∞），随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝（）2＝2.

跟踪训练1　A　[分布密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线．当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.]

例2　解　因为X～N（1,22），

所以μ＝1，σ＝2.

（1）P（－1

＝P（μ－σ

（2）因为P（3

所以P（3

＝[P（1－4

＝[P（μ－2σ

＝×（0.954－0.683）≈0.136.

（3）P（X>5）＝P（X<－3）＝[1－P（－3

引申探究

解　因为X服从正态分布N（1,22），所以对应的分布密度曲线关于x＝1对称．又P（X>c＋1）＝P（X

跟踪训练2　

（1）C

（2）解　由已知得μ＝6，σ＝1.

∵P（5

P（4

如图，由正态分布的对称性知，

P（4

∴P（4

＝×0.271≈0.136.

例3　解　由题可知μ＝110，σ＝20，

P（X>90）＝P（X－110>－20）＝P（X－μ>－σ），

∵P（X－μ<－σ）＋P（－σσ）

＝2P（X－μ<－σ）＋0.683＝1，

∴P（X－μ<－σ）＝0.159，

∴P（X>90）＝1－P（X－μ<－σ）

＝1－0.159＝0.841.

∴54×0.841≈45（人），

即及格人数约为45.

∵P（X>130）＝P（X－110>20）＝P（X－μ>σ），

∴P（X－μ<－σ）＋P（－σσ）＝0.683＋2P（X－μ>σ）＝1，

∴P（X－μ>σ）≈0.159，即P（X>130）≈0.159.

∴54×0.159≈8（人），即130分以上的人数约为8.

跟踪训练3　解　

（1）∵X～N（20,4），

∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，

∴尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.

（2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，

∴尺寸在14～26mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24mm间的零件所占的百分比大约是95.4%.

∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.

因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5000×2.15%≈107（个）．

当堂训练

1．A　2.C　3.C　4.B

5．解　对称轴为X＝0，故P（X<0）＝0.5，

P（－2