最新考研数学试题数学一错误修正汇总.docx
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最新考研数学试题数学一错误修正汇总
2011年考研数学试题(数学一)错误修正
2011年考研数学试题(数学一)
一、选择题
1、曲线«SkipRecordIf...»的拐点是()
(A)(1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)
【答案】«SkipRecordIf...»【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由«SkipRecordIf...»可知«SkipRecordIf...»分别是«SkipRecordIf...»的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故(3,0)是一拐点。
2、设数列«SkipRecordIf...»单调减少,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»无界,则幂级数«SkipRecordIf...»的收敛域为()(A)(-1,1](B)[-1,1)(C)[0,2)(D)(0,2]
【答案】«SkipRecordIf...»【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。
【解析】«SkipRecordIf...»无界,说明幂级数«SkipRecordIf...»的收敛半径«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»单调减少,«SkipRecordIf...»,说明级数«SkipRecordIf...»收敛,可知幂级数«SkipRecordIf...»的收敛半径«SkipRecordIf...»。
因此,幂级数«SkipRecordIf...»的收敛半径«SkipRecordIf...»,收敛区间为«SkipRecordIf...»。
又由于«SkipRecordIf...»时幂级数收敛,«SkipRecordIf...»时幂级数发散。
可知收敛域为«SkipRecordIf...»。
3、设函数«SkipRecordIf...»具有二阶连续导数,且«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则函数«SkipRecordIf...»
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()
(A)«SkipRecordIf...»(B)«SkipRecordIf...»
(C)«SkipRecordIf...»(D)«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件,直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由«SkipRecordIf...»知«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»
要使得函数«SkipRecordIf...»在点(0,0)处取得极小值,仅需
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
所以有«SkipRecordIf...»
4、设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»的大小关系是()
(A)«SkipRecordIf...»(B)«SkipRecordIf...»(C)«SkipRecordIf...»(D)«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»
【考点分析】本题考查定积分的性质,直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
【解析】«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,故选(B)
5.设«SkipRecordIf...»为3阶矩阵,将«SkipRecordIf...»的第二列加到第一列得矩阵«SkipRecordIf...»,再交换«SkipRecordIf...»的第二行与第三行得单位矩阵.记«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»()
(A)«SkipRecordIf...»(B)«SkipRecordIf...»(C)«SkipRecordIf...»(D)
【答案】«SkipRecordIf...»【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。
直接应用相关定理的结论即可。
【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,故选(D)
6、设«SkipRecordIf...»是4阶矩阵,«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的伴随矩阵,若«SkipRecordIf...»是方程组«SkipRecordIf...»的一个基础解系,则«SkipRecordIf...»基础解系可为()
(A)«SkipRecordIf...»(B)«SkipRecordIf...»(C)«SkipRecordIf...»(D)«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系,需要综合应用秩,伴随矩阵等方面的知识,有一定的灵活性。
【解析】由«SkipRecordIf...»的基础解系只有一个知«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,又由«SkipRecordIf...»知,«SkipRecordIf...»都是«SkipRecordIf...»的解,且«SkipRecordIf...»的极大线生无关组就是其基础解系,又
«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»线性相关,故«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»为极大无关组,故应选(D)
7、设«SkipRecordIf...»为两个分布函数,其相应的概率密度«SkipRecordIf...»是连续函数,则必为概率密度的是()
(A)«SkipRecordIf...»(B)«SkipRecordIf...»
(C)«SkipRecordIf...»(D)«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
【解析】检验概率密度的性质:
«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»。
可知«SkipRecordIf...»为概率密度,故选(«SkipRecordIf...»)。
8、设随机变量«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»相互独立,且«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»存在,记«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»()
(A)«SkipRecordIf...»(B)«SkipRecordIf...»(C)«SkipRecordIf...»(D)«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。
计算时需要先对随机变量«SkipRecordIf...»进行处理,有一定的灵活性。
【解析】由于«SkipRecordIf...»
可知«SkipRecordIf...»
故应选(B)
二、填空题
9、曲线«SkipRecordIf...»的弧长«SkipRecordIf...»=
【答案】
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算,直接代公式即可。
10、微分方程«SkipRecordIf...»满足条件«SkipRecordIf...»的解为«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»
【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。
先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解,再根据定解条件,确定通解中的任意常数。
【解析】原方程的通解为
«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...»,故所求解为«SkipRecordIf...»
11、设函数«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»
【考点分析】本题考查偏导数的计算。
【解析】«SkipRecordIf...»。
故«SkipRecordIf...»。
12、设«SkipRecordIf...»是柱面方程«SkipRecordIf...»与平面«SkipRecordIf...»的交线,从«SkipRecordIf...»轴正向往«SkipRecordIf...»轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»
【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。
首先将曲线写成参数方程的形式,再代入相应的计算公式计算即可。
【解析】曲线«SkipRecordIf...»的参数方程为«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»从«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...»。
因此
«SkipRecordIf...»
13、若二次曲面的方程为«SkipRecordIf...»,经正交变换化为«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»
【答案】1
【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。
题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值,通过特征值的相关性质可以解出«SkipRecordIf...»。
【解析】本题等价于将二次型«SkipRecordIf...»经正交变换后化为了«SkipRecordIf...»。
由正交变换的特点可知,该二次型的特征值为
该二次型的矩阵为«SkipRecordIf...»,可知
14、设二维随机变量«SkipRecordIf...»服从«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»
【考点分析】:
本题考查二维正态分布的性质。
【解析】:
由于«SkipRecordIf...»,由二维正态分布的性质可知随机变量«SkipRecordIf...»独立。
因此«SkipRecordIf...»。
由于«SkipRecordIf...»服从«SkipRecordIf...»,可知«SkipRecordIf...»,则
«SkipRecordIf...»。
三、解答题
15、(本题满分10分)求极限«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»
【考点分析】:
本题考查极限的计算,属于«SkipRecordIf...»形式的极限。
计算时先按«SkipRecordIf...»未定式的计算方法将极限式变形,再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。
【解析】:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
16、(本题满分9分)设«SkipRecordIf...»,其中函数«SkipRecordIf...»具有二阶连续偏导数,函数«SkipRecordIf...»可导,且在«SkipRecordIf...»处取得极值«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»
【答案】«SkipRecordIf...»
【考点分析】:
本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件,主要考查考生的计算能力,计算量较大。
【解析】:
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取得极值«SkipRecordIf...»,可知«SkipRecordIf...»。
故
«SkipRecordIf...»
17、(本题满分10分)求方程«SkipRecordIf...»不同实根的个数,其中«SkipRecordIf...»为参数
【答案】«SkipRecordIf...»时,方程«SkipRecordIf...»只有一个实根
«SkipRecordIf...»时,方程«SkipRecordIf...»有两个实根
【考点分析】:
本题考查方程组根的讨论,主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。
解题时,首先通过求导数得到函数的单调区间,再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。
【解析】:
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
(1)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递减,故此时«SkipRecordIf...»的图像与«SkipRecordIf...»轴与只有一个交点,也即方程«SkipRecordIf...»只有一个实根
(2)«SkipRecordIf...»时,在«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»上都有«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»是严格的单调递减,又«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»的图像在«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»轴均无交点
(3)«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调增加,又«SkipRecordIf...»知,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上只有一个实根,又«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»都有«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»都单调减,又«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»轴无交点,在«SkipRecordIf...»上与«SkipRecordIf...»轴有一个交点
综上所述:
«SkipRecordIf...»时,方程«SkipRecordIf...»只有一个实根
«SkipRecordIf...»时,方程«SkipRecordIf...»有两个实根
18、(本题满分10分)证明:
(1)对任意正整数«SkipRecordIf...»,都有«SkipRecordIf...»
(2)设«SkipRecordIf...»,证明数列«SkipRecordIf...»收敛
【考点分析】:
本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明,难度较大。
(1)要证明该不等式,可以将其转化为函数不等式,再利用单调性进行证明;
(2)证明收敛性时要用到单调有界收敛定理,注意应用
(1)的结论。
【解析】:
(1)令«SkipRecordIf...»,则原不等式可化为«SkipRecordIf...»。
先证明«SkipRecordIf...»:
令«SkipRecordIf...»。
由于«SkipRecordIf...»,可知«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调递增。
又由于«SkipRecordIf...»,因此当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»。
也即«SkipRecordIf...»。
再证明«SkipRecordIf...»:
令«SkipRecordIf...»。
由于«SkipRecordIf...»,可知«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调递增。
由于«SkipRecordIf...»,因此当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»。
也即«SkipRecordIf...»。
因此,我们证明了«SkipRecordIf...»。
再令由于,即可得到所需证明的不等式。
(2)«SkipRecordIf...»,由不等式«SkipRecordIf...»可知:
数列«SkipRecordIf...»单调递减。
又由不等式«SkipRecordIf...»可知:
«SkipRecordIf...»。
因此数列«SkipRecordIf...»是有界的。
故由单调有界收敛定理可知:
数列«SkipRecordIf...»收敛。
19、(本题满分11分)已知函数«SkipRecordIf...»具有二阶连续偏导数,且«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»,计算二重积分«SkipRecordIf...»
【答案】:
«SkipRecordIf...»
【考点分析】:
本题考查二重积分的计算。
计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式,出题形式较为新颖,有一定的难度。
【解析】:
将二重积分«SkipRecordIf...»转化为累次积分可得
«SkipRecordIf...»
首先考虑«SkipRecordIf...»,注意这是是把变量«SkipRecordIf...»看做常数的,故有
«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»易知«SkipRecordIf...»。
故«SkipRecordIf...»。
«SkipRecordIf...»
对该积分交换积分次序可得:
«SkipRecordIf...»
再考虑积分«SkipRecordIf...»,注意这里是把变量«SkipRecordIf...»看做常数的,故有
«SkipRecordIf...»
因此
«SkipRecordIf...»
20、(本题满分11分)«SkipRecordIf...»不能由
«SkipRecordIf...»线性表出。
①求«SkipRecordIf...»;②将«SkipRecordIf...»由«SkipRecordIf...»线性表出。
【答案】:
①«SkipRecordIf...»;②«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
【考点分析】:
本题考查向量的线性表出,需要用到秩以及线性方程组的相关概念,解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。
【解析】:
①由于«SkipRecordIf...»不能由«SkipRecordIf...»表示
可知«SkipRecordIf...»,解得«SkipRecordIf...»
②本题等价于求三阶矩阵«SkipRecordIf...»使得«SkipRecordIf...»
可知«SkipRecordIf...»
计算可得«SkipRecordIf...»
因此«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
21、(本题满分11分)«SkipRecordIf...»为三阶实矩阵,«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»
(1)求«SkipRecordIf...»的特征值与特征向量
(2)求«SkipRecordIf...»
【答案】:
(1)«SkipRecordIf...»的特征值分别为1,-1,0,对应的特征向量分别为«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
(2)«SkipRecordIf...»
【考点分析】:
实对称矩阵的特征值与特征向量,解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。
【解析】:
(1)«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
可知:
1,-1均为«SkipRecordIf...»的特征值,«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»分别为它们的特征向量
«SkipRecordIf...»,可知0也是«SkipRecordIf...»的特征值
而0的特征向量与«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»正交
设«SkipRecordIf...»为0的特征向量
有«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»的特征值分别为1,-1,0
对应的特征向量分别为«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
(2)«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
故«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
22.(本题满分11分)
X
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