初中数学的几何最值问题副本.docx
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初中数学的几何最值问题副本
1.(2012山东济南3分)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶
点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,此中AB=2,BC=1,
运动过程中,点
D到点O的最大距离为【
】
A.21
B.5
C.1455
D.5
5
2
2.(2012湖北鄂州3分)在锐角三角形
∠ABC=45°,BD均分∠ABC,M、N分别是
CM+MN的最小值是。
ABC中,BC=42,
BD、BC上的动点,则
3.(2011四川凉山5分)如图,圆柱底面半径为2cm,高为9cm,
点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉
线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为cm。
4.(2012四川眉山3分)在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上
的中线,则AD的取值范围是.
5.(2011湖北荆门3分)如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,
高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈抵达Q点,则蚂
蚁爬行的最短路径长为【】
A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm
6.(2011广西贵港2分)以下图,在边长为2的正三角形ABC中,E、
F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连结BP、
GP,则△BPG的周长的最小值是.
7.(2012浙江台州4分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为
A.1
B.3
C.2D
.3+1
8.(2012四川广元3分)如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线y
x上运动,当线
段AB最短时,点B的坐标为【
】A.(0,0)B.(
1
1
,
)
2
2
C.(
2,
2)D.
(
2,
2)
2222
9.(2012浙江宁波3分)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,
AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,
AC于E,F,连结EF,则线段EF长度的最小值为
.
10.(2012四川自贡12分)以下图,在菱形
ABCD中,AB=4,
∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D
重合.
(1)证明无论E、F在BC.CD上怎样滑动,总有
BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别商讨四边形AECF和△CEF的面积能否发生变化?
假如不变,求出这个定值;假如变化,求出最大(或最小)值.
11.(2011浙江台州4分)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l
上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为【】
12.(2011云南昆明12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:
BC=4:
3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点抵达终点时,另一个运动点也随之停止运动.
(1)求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y
2
(cm),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并
写出自变量x的取值范围;
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q
为定点的三角形与△ABC能否相像,请说明原因;
(4)当x=5秒时,在直线PQ上能否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明原因.
13.(2012山东青岛3分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正幸亏杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁抵达蜂
蜜的最短距离为
cm
.
14.(2012甘肃兰州4分)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小
时,则∠AMN+∠ANM的度数为【
】
A.130°
B.120°C
.110°D.100°
15.(2012
福建莆田4分)点A、B均在由面积为
1的同样小
矩形构成的网格的格点上,成立平面直角坐标系如图所
示.若
P是
x轴上使得
PA
PB的值最大的点,
Q是
y轴
上使得
QA十
QB的值最小的点,则
OPOQ=
.
19.(2012湖北十堰6分)阅读资料:
例:
说明朝数式
x2
1
(x
3)2+4
的几何意义,并求它的最小值.
解:
x2
1
(x
3)2
4
(x
0)2
12
(x
3)2
22
,如图,成立平面直角坐标系,
点P(x,0)是
x轴上一点,则
(x
0)2
12
能够当作点
P与点
A(0,1)的距离,
(x
3)2
22
能够当作点
P与点
B(3,2)的距离,所以原代数式的值能够当作线段
PA与
PB长度之和,
它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A对于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,所以,求PA+PB的最小值,只要求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长
度.为此,结构直角三角形A′CB,由于A′C=3,CB=3,所以A′B=32,即原式的最小
值为32。
依据以上阅读资料,解答以下问题:
(1)代数式
(x1)2
1
(x
2)2
9的值能够当作平面直角坐
标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B
的距离之和.(填
写点B的坐标)
(2)代数式
x2
49
x2
12x
37的最小值为
.
20.(2012江苏扬州3分)如图,线段AB的长为2,C为AB
上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰
直角三角形△
ACD和△BCE,那么
DE长的最小值是
▲.
21.(2012
广东广州
14分)如图,在平行四边形
ABCD中,AB=5,BC=10,F为
AD的中点,
CE⊥AB于
E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求
CE的长;
(2)当
60°<α<90°时,
①能否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?
若存在,求
出k的值;若不存在,请说明原因.
22
②连结CF,当CE﹣CF取最大值时,求tan∠DCF的值.
22.(2012江苏镇江11分)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连结AP,以AP为边向双侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图
1)。
(1)求证:
AM=AN;
(2)设BP=x。
①若,
BM=3,求
x的值;
8
②记四边形
ADPE与△ABC重叠部分的面积为
S,求
S与
x之间的函数关系式以及
S的最小
值;
③连结DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=150?
并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特别三角形,请说明原因。
23.(2012江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB
左边半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连结PA、
PB,设PC的长为x2 ⑴当x=5时,求弦PA、PB的长度; 2 ⑵当x为何值时,PDPC的值最大? 最大值是多少? B P O D l CA 24.(2012 陕西省 12分)如图,正三角形 ABC的边长为3+3. (1)如图①,正方形 EFPN的极点 E、F在边 AB上,极点 N在边 AC上.在正三角形 ABC及 其内部,以 A为位似中心,作正方形 EFPN的位似正方形 E'F'P'N',且使正方形 E'F'P'N'的 面积最大(不要求写作法); (2)求 (1)中作出的正方形E'F'P'N'的边长; (3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得D、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明原因. 25.(2012四川宜宾12分)如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将 △DEF与△ABC重合在一同,△ ABC 不动,△ABC不动,△DEF运动,并知足: 点 E在边 BC 上沿 B到 C的方向运动,且 DE、一直经过点 A,EF与AC交于 M点. (1)求证: △ABE∽△ECM; (2)研究: 在△DEF运动过程中,重叠部分可否构成等腰三角形? 若能,求出BE的长;若 不可以,请说明原因; (3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积. 26.(2012湖南娄底10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,BC=8,D在边BC上,E在线段DC上,DE=4,△DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N. (1)求证: △BMD∽△CNE; (2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切? (3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x之间的函数分析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时,y有最大值? 并求y的最大值. 27.(2012河北省12分)如图1和2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=5.13 研究: 如图1,AH⊥BC于点H,则AH=,AC=,△ABC的面积S△ABC=; 拓展: 如图2,点D在AC上(可与点A,C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足 为E,F,设BD=x,AE=m,CF=n(当点D与点A重合时,我们以为S△ABD=0) (1)用含x,m,n的代数式表示S△ABD及S△CBD; (2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值; (3)对给定的一个x值,有时只好确立独一的点D,指出这样的x的取值范围. 发现: 请你确立一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不用写出过程), 并写出这个最小值. 28.(2011河北省10分)如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB 上必定点. 思虑 如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包含AB,CD),其直径MN在AB上, MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α. 当α=▲度时,点P到CD的距离最小,最小值为▲. 研究一 在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片,直 到不可以再转动为止,如图2,获得最大旋转角∠BMO=▲度,此时点N到CD的距离是 ▲. 研究二 将如图1中的扇形纸片NOP按下边对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB, CD之间顺时针旋转. (1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋 转角∠BMO的最大值; (2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确立α的取值范围. (参照数椐: sin49°=3,cos41°=3,tan37°=3.) 444 29.(2011陕西省12分)如图①,在矩形 ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点) 上,落点记为E,这时折痕与边BC或许边CD(含端点)交于F,而后睁开摊平,则以 B、E、 F为极点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形” (1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形 ABCD的随意一个“折痕△BEF”是一个 三 角形 (2)如图②、在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,,当它的“折痕△BEF”的极点E位于AD的中 点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点 F的坐标; (3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形能否存在面积最大的“折痕△BEF”? 若存在,说明原因,并求出此时点E的坐标? 若不存在,为何? 图① 图② 图③ 图④ 30.(四川资阳9分)在一次机器人测试中,要求机器人从A出发抵达B处.如图1,已知 点A在O的正西方600cm处,B在O的正北方300cm处,且机器人在射线AO及其右边(AO 下方)地区的速度为20cm/秒,在射线AO的左边(AO上方)地区的速度为10cm/秒. (1)分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线抵达B地方用的时间(精准到秒);(3分) (2)若∠OCB=45°,求机器人沿A→C→B路线抵达B地方用的时间(精准到秒);(3分) (3)如图2,作∠OAD=30°,再作BE⊥AD于E,交OA于P.试说明: 从A出发抵达B处,机器人沿A→P→B路线前进所用时间最短.(3分) (参照数据: 2≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236,6≈2.449) 31.(2011安徽省12分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕极点C顺时 针旋转,旋转角为 (0°<<180°),获得△A1B1C. (1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC订交于点D.证明: △A1CD是等边三角形; (2)如图2,连结AA1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2.求证: S1∶S2=1∶3; (3)如图 3,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连结EP.当=°时, EP的长 度最大,最大值为. 32.如图,已知直线a//b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直 线b的距离为 3,AB=230.试在直线 a上找一点 M,在直线 b上找一点 N,知足 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时 AM+NB=( ) A.6 B.8 C.10 D.12 (2007? 南京)在平面内,先将一个多边形以点 O为位似中心放大或减小,使所得多 边形与原多边形对应线段的比为 k,而且原多边形上的任一点 P,它的对应点 P′在线 段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点 O为旋转中心,逆时针旋转一个角度 θ, 这类经过和旋转的图形变换叫做旋转相像变换,记为 O(k,θ),此中点O叫做旋转相 似中心,k叫做相像比,θ叫做旋转角. (1)填空: ①如图1,将△ABC以点A为旋转相像中心,放大为本来的 2倍,再逆时针旋转 60°, 获得△ADE,这个旋转相像变换记为 A(_____,____°); ②如图2,△ABC是边长为1cm的等边三角形,将它作旋转相像变换 A( 3,90°), 获得△ADE,则线段BD的长为________cm; (2)如图3,分别以锐角三角形 ABC的三边AB,BC,CA为边向外作正方形 ADEB,BFGC, CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方形的对角线交点, 试分别利用△AO1O3与△ABI, △CIB与△CAO2之间的关系,运用旋转相像变换的知识说明线段 O1O3与AO2之间的关 系 33.如图是一个几何体的三视图. (1)写出这个几何体的名称; (2)依据所示数据计算这个几何体的表面积; (3)假如一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短行程. 34.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,点O为Rt△ABC内一点,连结A0、BO、CO, 且∠AOC=∠COB=BOA=120°,按以下要求绘图(保存绘图印迹): 以点B为旋转中心,将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,获得△A′O′B(获得A、O的对应点分别为点A′、O′),并回答以下问题: ∠ABC=________,∠A′BC=_______,OA+OB+OC=_________. A O C O F GEH CB AB 35.如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、 BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值 为. 36.(3分)(2013? 苏州)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的极点A在x轴的正半轴 上.极点B的坐标为(3,),点C的坐标为(,0),点P为斜边OB上的一个动点,则 PA+PC的最小值为() A.B.C.D.2 37.(2012浙江丽水,16,4分)如图,点P是反比率函数yk(k0);图象上的点,PA x 垂直x轴于点A(1,0),点C的坐标为(1,0),PC交y轴于点B,连结AB,已知AB5 (1)k的值是_________; (2)若M(a,b)是该反比率函数图象上的点,且知足MBAABC,则a的取值范围 是________ 38.(10分)(2013? 六盘水) (1)察看发现 如图 (1): 若点A、B在直线m同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,做法以下: 作点B对于直线m的对称点B′,连结AB′,与直线m的交点就是所求的点P,线段AB′的长度即为AP+BP的最小值. 如图 (2): 在等边三角形ABC中,AB=2,点 E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使 BP+PE的值最小,做法以下: 作点B对于AD的对称点,恰巧与点C重合,连 接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故 BP+PE的最小值为. (2)实践运用 如图(3): 已知⊙O的直径CD为2,的度数为60°,点B是的中点,在直径CD 上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为. (3)拓展延长 如图(4): 点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN的值最小,保存作图印迹,不写作法. 39.(3分)(2013? 无锡)已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,﹣a)是一平行四边 形的四个极点,则CD长的最小值为. 40.已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若点P到AB的 距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 _________(沈 阳) 41.如图,, F 是正方形 的边 上两个动点,知足 = .连结 交 于 ,连 E ABCD AD AE DF CF BD G 接BE交AG于点H.若正方形的边
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