《微积分》各章习题及详细答案.docx
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《微积分》各章习题及详细答案
第一章函数极限与连续
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8
9、
、填空题
X
已知f(sin)1cosx,则f(cosx)
(43x)2
x(1x2)
lim
x
xm0
lim
x
0时,tanxsinx就是x的
1
xksin—0成立的k为
x
arctanx
f(x)
阶无穷小。
1x0
在x0处连续,则b
b,x0
1)
..In(3x
lim
x06x
设f(x)的定义域就是[0,1],则f(lnx)的定义域就是
函数y1ln(x2)的反函数为
10、设a就是非零常数,则lim(0_^广。
xxa
1
11、已知当x0时,(1ax2)31与cosx1就是等价无穷小,则常数a
3x
12、函数f(x)arcsin的定义域就是。
1x
13、lim(.x22.x22)。
x
14、设lim(^-2a)x8,则a。
xxa
ilJf
15、lim(..n.n1)(.n2•,n)=。
n
二、选择题
中所给的函数必为奇函
1、设f(x),g(x)就是[l,l]上的偶函数,h(x)就是[l,l]上的奇函数,则.
数。
(A)f(x)
g(x);(B)f(x)
h(x);(C)
f(x)[g(x)h(x)];(D)
2、(x)”
x,(x)13
x
x,则当x
1时有一
。
(A)就是比高阶的无穷小
;(B)
就是比
低阶的无穷小
(C)与
就是同阶无穷小;
(D)
~。
J1X1
3、函数f(X)31x1,
x0(x
1)在x
0处连续,则k
k
x0
3
(A)匚;
2
2
(B)—;(C)1;
3
(D)0。
4、数列极限
limn[ln(n1)lnn]
n
。
(A)1;
(B)1;(C)
5
(D)
不存在但非
sinx
0
V
x
x
5、f(x)
0
x
0
1
xcos-
x
0
x
则x0就是f(X)的
(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。
6、以下各项中f(x)与g(x)相同的就是()
2
(A)f(x)lgx,g(x)2lgx;
(C)f(x)3*x
sinx
lim
x0|x|
(B)
1
x)x
X3,g(x)
(B)f(x)x3_x1;(D)f(x)
x,g(x)
1,g(x)
2
x;
2
secx
tan22xo
7、
1;
-1;(C)
0;
(D)不存在。
xm0(1
(B)-1;
(A)1;
9、f(x)在X。
的某
(C)e;
去心邻域内有界就是
(D)e
1
o
limf(x)存在的(
xx°
(A)充分必要条件;(B)充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件、
10、limx(.x21x)()
x
1
(A)1;(B)2;(C)-;(D)0o
2
11、设{an},{bn},心}均为非负数列,且liman0,limbn1,limCn,则必有()
nnn
(A)anbn对任意n成立;(B)bn
Cn对任意n成立;
(C)极限limanCn不存在;(D)
n
极限limbnCn不存在。
n
x
(1)lim2nsinF;⑵
n2n|
1
⑶limx(ex1);⑷
x
cscxcotxlim
x0
lim
2x1
2x1
3x
.1xsinx-cosx
xtanx
⑺lim
n
1
n(n1)
limln(1—32—x)
x
2arctanN4x2
3、试确定a,b之值,使lim
x
X21
x1
ax
1
(1)lim-
n
4、利用极限存在准则求极限
11
⑵设Xia0,且Xni..axn(n1,2,),证明lim人存在,并求此极限值。
XX
5、讨论函数f(x)limnxnx的连续性,若有间断点,指出其类型。
nnn
6、设f(x)在[a,b]上连续,且af(x)b,证明在(a,b)内至少有一点,使f()
第一单元函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、2sin2x。
f(sin)1(12sin2_)22sin2,
222
f(x)
22x
f(cosx)
22cosx2sinx。
2、0。
lim
(4
3x)2
2
lim
9x224x160
—
x
x(1
x)
x
xx
3、高阶。
lim
tanx
sinx
limtanx(1cosx)lim(1cosx)0,
x0
x
x0xx0
tanxsinx就是x的高阶无穷小。
4、k0。
0,只要limxk
x0
0,即k0。
1i
sin为有界函数,所以要使limxksin
xx0x
limexarctanx0
6、
b2。
limf(x)
x0
lim(xb)
x0
b,
lim
x0
f(x)lim(ex1)2
x0
f(0)b,b
2。
7、
1
ln(3x1)
3x
1
—
lim
lim
。
2
x06x
x06x
2
8、
1xe
根据题意
要求0
lnx
1,所以
1xe。
5、0。
x
(limex0,arctanx(,))。
x22
9、yex12
y1ln(x2),
(y1)ln(x2),x2ey1
x1c
e2。
10、e2a
11、a
xey12,y1In(x2)的反函数为y2a^2a
原式=lim
(1)2axae。
xxa
11
由(1ax2)31~ax2(利用教材P58(1x)a
1:
ax)与cosx
-x2,以及
2
12
ax
3
1
(1ax2)1
lim
x0cosx1
12、
由反三角函数的定义域要求可得
彳3x
11
1x
1x0
解不等式组可得
13、0lim
x
、x2
2
x2
2
lim
x
2x
2
(x2
2)
x2
2
x2
2
11
x-42
x
lim
x
0。
f(x)的定义域为1X1。
42
(.x22.X22)(x22x22)
Jx22Jx22
羽a
XX
/V
HX
X
3a
a
X
limx
2aa
XX
^1
t
ln2。
1ln23
3aln8aln8
33
15、2
Jim(:
n•,n1)C一n2、_n)
lim
n
(、..n..n1)2
(.n2、n)
lim
n
121n
1
2(1..'1)
Vn
二、选择题
1、选(D)数,F(
令F(x)
x)f(
2、选(C)
lim
x1
f(x)g(x)h(x),由f(x),g(x)就是[x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)凶
(x)
lim
x1
(1
1x
x)1(1
x)
lim
x1(1x)(13x)
3
2
lim
x1
(利用教材P58(1
3、选(A)
xmf(x)
lim31x
x°3.1x
XX
.1-21-3
mo
HX
4、选(b)limn[ln(n1)Inn]
n
l,l]上的偶函数,h(x)就是[
F(x)o
1x
l,l]上的奇函
(1x)[131(1x)]
x)a1:
ax)
3(利用教材P58(1
x)a1:
ax)
1
limln(1-)n1
n
5、选(C)f(0)1,f(0)0,f(0)0
2
6、选(C)在(A)中f(x)lnx的定义域为x0,而g(x)2lnx的定义域为x0,f(x)g(x)
故不正确
在(B)f(x)x的值域为(,),g(x).x2的值域为x0,故错
在(D)中f(x)1的定义域为R,g(x)sec2xtanx的定义域为
7、选(D)
sinxlim
sinxlim
sinx
1,lim
x0|x|
x0x
x0|x|
sinx
lim
不存在
x0|x|
1
丄
(1)
8、选(D)
lim(1x)x
x0
liq[1(
x0
x)]xe
{xR,xk—}
f(x)g(x),故错
lim沁
x0x
9、选(C)由函数极限的局部有界性定理知
limf(x)存在,则必有x0的某一去心邻域使f(x)有界,而
Xx0
f(x)在x0的某一去心邻域有界不一定有limf(x)存在,例如limsin,函数1
xxqc
.1
sin
1有界,但在
x0点极限不存在
10、选(C)
(Qlimx(一x2
x
x)
lim
x,x21x
11、选(D)(A)、(B)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当
可能得出“对任意n成立”的性质。
(C)也明显不对,因为“无穷小•无穷大”就是未定型,极限可能存在也可能不存在。
2彳1
x1市
ex1
1
12、选(D)
lim
x1
n充分大时”的情况
2
limx
x1
当x
1
e
x1
1时函数没有极限
lim
x1
(x
1
lim(x1)e〒
x1
1
1)e^
,也不就是。
三、计算解答
1、计算下列极限:
x
(1)解:
lim2nsin百
n2
lim2n
n
”cscxcotx⑵解:
lim
x0
1
⑶解:
!
imx(ex
1)
lim
x
lim
x
2x
(4)解:
!
im$1
1)3x
lim(1
x
x
尹
sinx
0
2
2x
2cosx1
2x。
cosxsinxx
、3x
1)
1cosxlim
x0
xsinx
2
x
lim马
x0x2
lim[(1
x
1
2]3
1
x・
1)2
1
2]3°
”8cosx
(5)解:
lim
x_2cosxcosx1
3
"3)
2
(2cosx
[lim(1
x
1)(4cosx
lim
x(2cosx1)(cosx
3
1
"3
2卫1)
1
円3
J
xsinxvcosx
(6)解:
lim
xtanx
xsinx1cosxlim-
x0
Qlim(.1
x0
1
⑺解:
lim[
x12
2x2
xsinx
lim[(1
x
lim(1
x
2
寸)
1
n1
3
(2
(8)解:
lim
xi
Jn(1
2
lim冬
x
-cosx1
3
11
11
2
lim
x0
.cosx)2
lim
x0xtanx(i1
xsinx
1xsinxcosx
2x2
xsinx
1cosxlim
x0
cosx)
1
2x2
3)
32x)
arctan3、4
li(x21
lim(
xx1
x2
ax
n(n1)](1n
32x
lim
x234x2
2
b)lim—
x
n1)]
1
lim()3x22x
1ax2(a
x1
1
\4°
b)x
lim(1a)x2(ab)X(1b)
X
(a
4、
(1)1
a0
b)舟
111
23
1
3
2
1
n1
而lim
x
lim
x
1
1
1丄
2
(2)先证有界(数学归纳法
n1时,X2..a%
设nk时,Xka,则Xk1数列{Xn}有下界,再证{Xn}单调减,
axk
Xn1
xn
Xn1
xnJxn
xn即{xn}单调减,
Xn0
则有A
limxn存在,设lim
n
、aAA0(舍)或A
Xn
A,
a,
5、解:
先求极限得
f(x)lim
n
2xn
2xn
limxn
n
1
而limf(x)1
x0
f(x)的连续区间为
x0为跳跃间断点、。
lim
x0
(
f(x)1
0)(0,
f(0)
[a,b]上连续
6、解:
令F(x)f(x)x,贝yF(x)在
而F(a)f(a)a0
F(b)f(b)b0
由零点定理,(a,b)使F()0
即f()0,亦即f()
1、
2、
3、
4、
、填空题
已知f(3)2
f(0)存在,有
第二章导数与微分
则limf(3h)f(3)-
h0
2h
f(0)0,则lim^■勺=
x0x
f(x)二阶可导
yex在点
In[arctan(1x)],则dy=
f(1sinx),则y=_y
—处切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。
7、ysin2
x4,则鱼=,
dy=
2=0
dx
dx
8、若f(t)
1
limt(1-)2tx,则
xX
f(t)=0
9、曲线y
X21于点
处的切线斜率为20
x
10、设yxe,则y(0)
o
11、设函数
yy(x)由方程e
ycos(xy)0确定,
12、设X
1t2则d?
0
y
costdx2
二、单项选择
1、设曲线y
1与yx2在它们交点处两切线的夹角为
X
(A)1;
(B)1;(C)
2;(D)30
o
3、函数
f(x)
则
5、
6、
曲线
y
e,则k()0
dy
dx
则tan=()0
(A)1;
k
etanx,且f()
4
(B)1;(C)2;
(D)2。
4、已知
f(X)为可导的偶函数
且limf(1x)f
(1)
x02x
2,则曲线yf(x)在(1,2)处切线的方程就
o
4x6;(B)y4x
1f2(x
x0X
0;(B)2f(x);(C)2f(x);(D)2f(x)f(x)0
6、函数f(x)有任意阶导数,且f(x)[f(x)]2,则f(n)(x)=0
1n1n12
;(B)n!
[f(x)];(C)(n1)[f(x)];(D)(n1)!
[f(x)]0
是_(A)y
5、设
f(x)可导,则lim
(A)n[f(x)]n
7、若f(X)
2;(C)yx3;(D)y
x)f2(x)_
x2,则limf(X02x)f(x0)
x0
=()
(B)X。
;(C)
(A)2xg;
8、设函数f(x)在点x0处存在
(A)必要非充分条件;
(C)充分必要条件;
9、设f(x)x(x1)(x2)
(A)99;(B)99;(C)
x
4x0;(D)4x。
f(x。
)与f(x0),则f(X。
)f(x0)就是导数f(X。
)存在的()
(B)充分非必要条件;
(D)既非充分又非必要条件。
(x99)则f(0)()
99!
;(D)99!
0
x叩,求d2y
ytdx
arctanyy,
dM(4)
dx2
ysinxcosx,求y(50)
—)x,求y;
x
(1
f(x)x(x1)(x2)
f(x)(x
2005),求f(0);
a)(x),
(x
(x)在xa处有连续的一阶导数
求f(a)、f(a);
(8)设f(x)在x1处有连续的一阶导数
且f
(1)2,求lim—f(cosx1)。
x1dx
2
(A)xf(x)dx
;(B)2xf(x
222
)dx;(C)2f(x)dx;(D)2xf(x)dx
11、
设函数
f(x)连续,且f'(0)
0,则存在0,使得()
(A)
f(x)在(0,
)内单调增加;
(B)f(x)在(,0)内单调减少;
(C)对任意的
x
(Q)有f(x)
f(0);(D)对任意的x(,0)有f(x)
12、
设
f(x)
2.1
xsinx
x
0在x0处可导,则()
axbx
0
(A)
a
1,b
0
;(B)a
0,b为任意常数;
(C)
a
0,b
0
;(C)a
1,b为任意常数。
o
f(0)。
10、若f(u)可导,且yf(x),则有dy()
三、计算解答
1、计算下列各题
sin2!
(1)
ex,求dy;
2、试确定常数a,b之值,使函数f(x)
x0处处可导。
x0
b(1sinx)a2
ax
e1
3、证明曲线x2y2a与xyb(a,b为常数)在交点处切线相互垂直。
4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。
5、若函数f(x)对任意实数x1,x2有f(x1x2)f(x1)f(x2),且f(0)1,证明f(x)f(x)。
32
6、求曲线yx3x5上过点(1,3)处的切线方程与法线方程。
第二章导数与微分习题解答
一、填空题
mo
Hh
2h
mo
Hh
1
-f(3)1
2
mo
HX
limx
、
4、
f(1sinx)cosx,f(1
sinx)cos2x
f(1sinx)sinx
5、
yf(1sinx)
cosx,yf(1
(ln(e1),e1)
弦的斜率
/x
y(e)
x
e
dx
sinx)
e1
10
ln(e
2
cosx
1),当x
f(1sinx)sinx
ln(e1)时,ye1。
2
arctan(1x)[1(1x)]
dyd[arctan(1
arctan(1x)
1(1x)2d(1x)
arctan(1x)
7、
8
9、
10、
11、
12、
、
1、
3、
4、
5、
6、
7、
dx
arctan(1x)[1(1x)2]
34^24
4xsin2x,2xsin2x
4
cosx
4x3
4x3sin2x4
匹2x2sin2x4
2xdx
e2t2te2t
(1,2)
exy
y
y(0)
ysin(xy)
xsin(xy)
f(t)limt(1^)2txte2t
Xx
2x,由2x02
2
X
x
e
f(t)
e2t
2te2t
X。
1,y0
12
1在点(1,2)处的切线斜率为
xXXX
xe,yeexe
e02
e0
方程两边对x求导得
exy(1
y')sin(xy)(yxy')
解得
exyysin(xy)exyxsin(xy)
sinttcost
4t3
由参数式求导公式得
dy
dx
Yt'
xt'
sint
2t
再对x求导,由复合函数求导法得
d2ydx2
d
(yx')dx
(Vx')t'
Xt'
1tcost
sint1sinttcost
2t2
3。
2t4t3
选择题
选(D)
由y
1
X
交点为(1,1),
k1
12
㈠1x11,k2(x2)1x12
2
X
y
X
tan
|tan(2
1)|
|k2k1|3
1k1k2
选(c)
f(x)
ktanxe
ktank1xse6x
切线方程为:
y24(x1)即y4x6
2f(x)f(x)
2f3(x)
选(D)limf2(xx)f2(x)阡2^)]
X0x
选(B)f(X){[f(x)]2}2f(x)f(x)
324
f(x)[2f(x)]23f(x)f(x)23f(x)
设f(n)(x)n!
fn1(x),则f(n1)(x)(n1)!
fn(x)f(x)(n1)!
fn2(x)f(n)(x)n!
fn1(x)
选(C)limf(x02X)f(x0)佃2心。
2x)f(x。
)2f(x。
)
x0xx02x
又f(x)(x2)2x,2f(x。
)4x。
f(x)在X
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