专题几何值问题含详细标准答案.docx
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专题几何值问题含详细标准答案
专题10几何最值问题
【十二个基本问题】
|{问题1】
作法
图形
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作法
圈形
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分別作点P关屮相直蜒府舸祢虫F科F".连B严与两豆找交应呵为JY.M
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【问題4】
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井别ft戌Q*P養于直起h,鸟的对林点0’和彎连QP+与海直诜交鹿即为MrN.
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【问理£】“這轿遗址”
作法
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P.低Rl+FSrFC■值険小.
所求点为.變号点対*即厲足ZAP1-ZSPC-ZjLPC=120.tl.15.AC対边向+H乍講诂
AJCE.CD.BE
于a点p刘矜所索.
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琦点之圖堆段蠱旭.
R^PB^PC星小{&-CZ?
Jrc*
1.如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4
个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为()
C.13cmD.17cm
D
第3题第4题
2.已知圆锥的底面半径为r=20cm,高h=2015cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点
发•在侧面上爬行一周又回到A点,蚂蚁爬行的最短距离为.
3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE丄AB于E,PF丄AC于F,贝UEF的最小值为(
A.2B.2.2
4.如图,在矩形ABCD中,AB=10,
点,贝UBM+MN的最小值为(
)
C.2.4
BC=5.若点
)
C.53
D.2.5
N分别是线段AC,AB上的两个动
A.10B.8
5.如图,一个长方体形的木柜放在墙角处
A处沿着木柜表面爬到柜角Ci处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
(2)当AB=4,BC=4,CCi=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长.Bi到最短路径的距离.
(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角
6.如图,已知P为/AOB内任意一点,且/AOB=30°点P1、卩2分别在OA、OB上,求作点P1、P2,使厶PP1P2的周长最小,连接OP,若OP=10cm,求△PP1P2的周长.
7.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点
G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.
第7题第8题第9题
&如图,在等腰RtAABC中,/BAC=90°AB=AC,BC=42,点D是AC边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为.
9.如图,OO的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC丄AP交直线PB于点C,
则厶ABC的最大面积是(
B.
10•如图,已知抛物线y=—x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交
于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
⑵设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF//
BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E
的坐标;若不能,请说明理由;
APC的面积的最大值.
11.如图,抛物线I交x轴于点A(—3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,-3).将抛物线I沿y轴翻折得抛物线li.
(1)求h的解析式;
⑵在li的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点Ai及C两点的距离差最大,并说出理由;
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线li于E、F两点,若以EF为直径的圆恰与x轴相切,求此圆的半径.
12.(2016•朝阳)小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现:
△ABC内总存在一
点P与三个顶点的连线的夹角相等,此时该点到三个顶点的距离之和最小.
【特例】如图1,点P为等边△ABC的中心,将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,从而有DE=PC,连接PD得到PD=PA,同时/APB+ZAPD=120°+60°=180°,/ADP+ZADE=180。
即B、P、D、E四点共线,故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在△ABC中,另取一点P',易知点P与三个顶点连线的夹角不相等,可证明B、P'、D'、E四点不共
线,所以PA+PB+P'C>PA+PB+PC,即点P到三个顶点距离之和最小.
£
圍1EI2圏3
13•问题提出
(1)如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,填空:
当点A位于时,
线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示).
问题探究
(2)点A为线段BC外一动点,且BC=6,AB=3,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE,找出图中与BE相等的线段,请说明几何最值6/16
理由,并直接写出线段BE长的最大值.问题解决:
(3)①如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点
P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,/BPM=90°,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
②如图4,在四边形ABCD中,AB=AD,/BAD=60,BC=4(2,若对角线BD丄CD于点D,请直接写出对角线AC的最大值.
14.如图所示,已知抛物线y=a(x+3)(x—1)(a^0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=—3x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求
点P的坐标;
(3)在
(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出
发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒牛个单位的速
度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?
E点,过E作EF垂直AB交AB
答案
1平面展开最短路径问题
解:
如图所示:
•••长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.
/•PA=4+2+4+2=12(cm),QA=5cm,
•••PQ=,PA2+AQ2=13cm.故选:
C.
2.解:
设扇形的圆心角为n,圆锥的顶为E,
■/r=20cm,h=2015cm
••由勾股定理可得母线1=,:
r+h=80cm,
nnB0
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2X20n=180,
•-n=90°
即厶EAA'是等腰直角三角形,
•••由勾股定理得:
AA'=:
A'E2+AE2=80/2cm.
答:
蚂蚁爬行的最短距离为80,-'2cm.
故答案为:
80'2cm.
3•解:
连接AP,v在厶ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
222
•-AB+AC=BC,
即/BAC=90°.
又•••PE丄AB于E,PF丄AC于F,
•四边形AEPF是矩形,
•EF=AP,•/AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高,即2.4,
•EF的最小值为2.4,
故答案为:
2.4.
4•解:
过B点作AC的垂线,使AC两边的线段相等,到于F点,AC=5:
5,
AC边上的高为=ABACBC=2;5,所以BE=4,.''5.
•/△ABCEFB,
•AB_AC10_5/5
•EF=BE,即EF=4'5
EF=&故选:
B.
5.解:
(1)如图,
木柜的表面展开图是矩形ABC1D1或ACC1A1.
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC;或AC1;
(2)蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC1D1爬过的路径AC'1的长是h=;42+(4+5)2.
几何最值9/16
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形ABiCiD爬过的路径ACi的长li=.97,
蚂蚁沿着木柜表面ACCiAi爬过的路径ACi的长是12=v(4+4)2+52.
Il>12,故最短路径的长是12\89.
(3)作BiE丄ACi于E,
•••/CiEBi=ZCiAiA,/AiCiA是公共角,
•••△AAiCisABiECi,
口”BiEBiCi
即——=
AAiACi,
BiCi420
则BiE=-AAi=-5=为所求.
ACi89
6.解:
分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接MN,分别交OA、OB于点Pi、P2,连接OM、ON、PPi、PP2,此时△PPiP2的周长最小,△PPiP2的周长=PiP2,PPi+PiP2+PP2=MPi+PiP2+NP2=MN,
•/M、N分别是P关于OA、OB的对称点,
••/MOA=/AOP,/NOB=/BOP,PPi=PiM,PP2=PzN’MO=PO=NO,
•••/MON=/MOA+/AOP+/NOB+/BOP=2/AOB,
V/AOB=30°,
•••/MON=2X30°=60°,
•△OMN是等边三角形,
又•/△PPiP2的周长=PiP2,PPi+PiP2+PP2=
MPi+PiP2+NP2=MN,
•••△MNP的周长=MN=MO=PO=i0cm.
7.解:
在正方形ABCD中,AB=AD=CD,/BAD=/CDA,/ADG=/CDG,在厶ABE和厶DCF中,
AB=CD
A
EF
/BAD=/CDA
AE=DF
•△ABE◎△DCF(SAS),
0
/\
•/i=/2,
】//V
在厶ADG和厶CDG中,
F\
AD=CD
/ADG=/CDG
DG=DG
•△ADG◎△CDG(SAS),
•/2=/3,•/i=/3,v/BAH+/3=/BAD=90°•;•/i+/BAH=90°,
•/AHB=i80。
—90°=90°取AB的中点O连接OH、OD,
则OH=AO=2AB=i,在Rt△AOD中,OD=;'AO2+AD2=_.''i2+22=.5,
根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,•当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,最小值=OD—OH=\;'5—i.
(解法二:
可以理解为点H是在Rt△AHB,AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线几何最值i0/i6
时,DH长度最小)故答案为:
;5—1.
&解:
连结AE,如图1,
•••/BAC=90°AB=AC,BC=4:
'2,
AB=AC=4,tAD为直径,
•••/AED=90°AEB=90°,
•••点E在以AB为直径的OO上,
•/OO的半径为2,
•当点0、E、C共线时,CE最小,如图2,在Rt△AOC中,•/OA=2,AC=4,
•OC=]OA2+AC2=2:
5,
•CE=OC—OE=2;'5—2,
即线段CE长度的最小值为2:
'5—2.
故答案为2,;5—2.
9•解:
连结OA、OB,作厶ABC的外接圆D,如图1,
•/OA=OB=1,AB=1,
•△OAB为等边三角形,
•/AOB=60°,
1
APB=㊁/AOB=30°,
•/AC丄AP,./C=60°,
•/AB=1,要使△ABC的最大面积,则点C到AB的距离最大,
•//ACB=60°点C在OD上,•/ADB=120°,
如图2,当点C优弧AB的中点时,点C到AB的距离最大,此时△ABC为等边三角形,且
32'33
面积为〒AB=_4,.^ABC的最大面积为丁.
故选:
D.
2
10.解:
⑴由抛物线y=—x+bx+c过点A(—1,0)及C(2,3)得,
—1—b+c=0b=2
—4+2b+c=3,解得c=3,
故抛物线为y=—x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(—1,0)及C(2,3)得
k+n01,r
2k+n=3,解得n=1故直线AC为戸x+1;
⑵如图1,作N点关于直线x=3的对称点N',则N'
121
故直线DN'的函数关系式为y=—~x+
5
当M(3,m)在直线DN'上时,MN+MD的值最小,
小1
则m=—-X3+
5
(3)由⑴、⑵得D(1,4),B(1,2),
•••点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
1如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),•/F在抛物线上,•x+3=—x2+2x+3,解得,x=0或x=1(舍去)•E(0,1);
2当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x—1)由F在抛物线上•x—1=—x2+2x+3解得x=1-217或x=1+217
2
综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、1^17,3_J17或1+17
•E1-V173-怖或1+V173+V172'22'2'
⑷方法一:
如图3,过点P作PQ丄x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG丄x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,—x2+2x+3)•••PQ=(—x2+2x+3)—(x+1)=—x2+x+2
11231227
又TSaapc=Saapq+Sacpq=2PQ-AG=2(—x+x+2)X3=—2x—?
+—
27•••面积的最大值为丁.
8
方法二:
过点P作PQ丄x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG丄x轴于点G,如图
3,设Q(x,x+1),则P(x,—x+2x+3)又TSaapc=S_(AAPH)+S_(直角梯形PHGC)—S_(△AGC)
12
=尹+1)(—x+2x+3)+
121323
2(—x+2x+3+3)(2—x)—-X3X3=—?
x+?
x+3
3127
=—_x—+—
228
•△APC的面积的最大值为年.
8
11.解:
(1)如图1所示,设经翻折后,点A、B的对应点分别为A1、B1,依题意,由翻折变换的性质可知A!
(3,0),B1(—1,0),C点坐标不变,
因此抛物线h经过A!
(3,0),B!
(—1,0),C(0,—3)三点,
设抛物线h的解析式为y=ax2+bx+c,则有:
9a+3b+c=0
2
a—b+c=0,解得a=1,b=—2,c=—3,故抛物线h的解析式为:
y=x—2x—3.
c=—3
⑵抛物线ii的对称轴为:
x=-2a=1,
如图2所示,连接BiC并延长,与对称轴x=1交于点P,则点P即为所求.
此时,|PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C.
设P'为对称轴x=1上不同于点P的任意一点,则有:
|P'Ai-P'C|=|P'B_
(1)—P'C|vB_
(1)C(三角形两边之差小于第三边),故|P'B1-P'C|v|PA1-PC|,即IP"—PC|最大.
设直线BiC的解析式为y=kx+b,则有:
令x=i,得y=—6,故P(i,-6).
(3)依题意画出图形,如图3所示,有两种情况.
1当圆位于x轴上方时,设圆心为D,半径为r,
由抛物线及圆的对称性可知,点D位于对称轴x=1上,则D(1,r),F(1+r,r).
•••点F(1+r,r)在抛物线y=x2-2x-3上,
22
•••r=(1+r)-2(1+r)-3,化简得:
r-r-4=0
解得「1=:
+1,「2=(-gh(17)+1)/
(2)(舍去),•••此圆的半径为1;
2当圆位于x轴下方时,同理可求得圆的半径为17―1.
综上所述,此圆的半径为」7严或:
-1.
•••/PAD=60°,△PACDAE,「.PA=DA、PC=DE、/APC=ZADE=120°,
•△APD为等边三角形,•PA=PD,/APD=ZADP=60°,
•••/APB+ZAPD=120°+60°=180°,/ADP+ZADE=180°即B、P、D、E四点共线,
•PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.「.FA+PB+PC的值最小.
(2)方法一:
如图2,分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形,连接CD、AE交于点P,「.AB=DB、BE=BC=8、/ABD=ZEBC=60°,
•••/ABE=/DBC,在厶ABE和厶DBC中,
AB=DB
/ABE=/DBC,•••△ABE◎△DBC(SAS),•CD=AE、/BAE=/BDC,
BE=BC
又•••/AOP=/BOD,•/APO=/OBD=60°在DO上截取DQ=AP,连接BQ,
在厶ABP和厶DBQ中,
AB=DB
/BAP=/BDQ,•••△ABP◎△DBQ(SA$,•BP=BQ,/PBA=/QBD,
AP=DQ
又•••/QBD+/QBA=60°/PBA+/QBA=60°即/PBQ=60°,
•△PBQ为等边三角形,•PB=PQ,
则PA+PB+PC=DQ+PQ+PC=CD=AE,
在Rt△ACE中,TAC=6、CE=8,「.AE=CD=10,
故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10.
方法二:
如图3,
由
(2)知,当/APB=/APC=/BPC=120。
时,AP+BP+PC的值最小,
把厶CPB绕点C逆时针旋转60°得厶CP'B',
由
(2)知A、P、P'、B'共线,且AP+BP+PC=AB'PCB=/P'CB,
•••/PCB+/PCA=/P'CB+/PCA=30°•;•/ACB'=90°,
•AB'=AC2+B'C2=AC2+BC2=10
13.解:
(1)t点A为线段BC外一动点,且BC=aAB=b,
•当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且
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