《抽象代数基础+》完整习题解答.docx

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《抽象代数基础+》完整习题解答

《抽象代数基础》

习题解答

于延栋编

盐城师范学院数学科学学院

二零零九年五月

第一章群论

§1代数运算

1.设/={e,a,b,c},/上的乘法“•”的乘法表如下:

e

a

h

c

e

e

a

b

c

a

a

e

c

b

b

h

c

e

a

c

c

b

a

e

证明：

“•”适合结合律.

证明设为/中任意三个元素.为了证明“•”适合结合律，只需证明

（x-^-z=x-（y-z）.

下面分两种情形来阐明上式成立.

1.y,z中至少有一个等于e.

当＞=6*时，{x-y）-z=y-z=x-{y-z）

当y=。

时，{x-y）-z=x-z=x（y-z）;

当z=仃时，（.r•,）'z=x~y=-T•（丿八z）.

II.x,”,z都不等于g.

（\）x=y=z.这时,（x-y）-z=e-z=z=x=x-e=x-（y-z）.

（II）.r,z两两不等.这时，{x'y）'Z=Z'Z=e=X'X=X'{y'Z}.

（III）羽乂z中有且仅有两个相等.

当》=大时，才和z是{么*d中的两个不同元素，令〃表示W、bq中其余的那个元素.于是，（）•^-z=e-z=z,x（y-z）=xi/=z,从而，（ry）-z=x\yz）.同理可知，当*=2或2=-了时,都有（.r-=

2.设“•”是集合,上一个适合结合律的代数运算.对于/中元素，归纳定义山为:

f=x

r+1（f、

n《=ru妇

Ml\^=1

证明:

a，•n%=fl"

/\/=!

）谷I进而证明：

在不改变元素顺序的前提下，/中元素的乘积与所加括号无关.证明当〃，=1时，根据定义，对于任意的正整数〃，等式成立.

假设当=时，对于任意的正整数〃，等式成立.当///=/-+1时，由于

“•”适合结合律,我们有

佃顺小j

ruj=ru=n

r=!

）&/=!

所以，对于任意的正整数〃和〃7,等式成立.

考察/中任意〃（）个元素：

当〃23时，要使记号a、』••…a“变成有意义的记号,必需在其中添%口一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:

在不改变元素顺序的前提下，无论怎样在其中添加括号，运算结果总是等于

r=\

事实上，当〃=1或〃=2时，无需加括号，我们的结论自然成立.当〃=3时，由于“•”适合结合律，我们的结论成立.假设当〃＜/•（/•＞!

）时我们的结论成立.考察n=rJr\的情形：

不妨设最后一次运算是a，b,其中v为《，外,…,？

中前s（l《s＜〃）个元素的运算结果，方为《，角，…,q中后〃-s个元素的运算结果.于是，根据归纳假设，

“=11弓，，=1!

皿.

z=l上1

所以最终的运算结果为。

，

\7=1丿/=!

3.设Q是有理数集.对于任意的a,心,令a.b=a槌,证明：

“•”是Q上的一个代数运算，它既不适合结合律也不适合交换律.

证明众所周知，对于任意的“McQ,〃，=〃+岁cQ.所以“•”是Q上的一个代数运算.令。

=0,力=1,。

=2.由于

（z7-^）-c=（0-1）-2=1-2=1+22=5,r7-（^-r）=0-（l-2）=0-5=0+52=25,从而，所以“•”不适合结合律.由于

c，=2・1=2+F=3,.

从而,b，gc，b.所以“•”不适合交换律.

§2群的概念

2.令6=

（0肽'WIf证明：

。

关于矩阵的乘法构成一

证明首先，众所周知，G-0,A—BjG,W,BwG,由于矩阵的加法适合结合律，。

上的加法适合结合律.其次，令，则gG，并且Q+A=/+〃=/,必G.最后,对于任意的/=（；：

）泌，令-』=（二［：

），则-Nc6•且/+（-勿=（-4）+/-〃.所以6■关于矩阵的加法构成一个群.

个群.

证明将记作£，并将6•中其余三个矩阵分别记作",C.于是，6•上

的乘法表如下：

•

EABC

E

EABC

A

AECB

B

BCEA

C

CBAE

由于矩阵的乘法适合结合律，G上的乘法适合结合律.从乘法表可知，EX=XE=X,XX=E,PX,YwG.

所以G关于矩阵的乘法构成一个群.

3.在整数集Z中，令a・b=a+b-l.,Va,bC证明：

Z关于这样的乘法构成一个群.

证明对于任意的a,b,c&Z,我们有

（（7-/t）-c=（a+A-2）-c=（a+/j-2）+c-2=a+A+c-4,

«7-（^-r）=<7-（^+r-2）=«7+（^+r-2）-2=z7+^+r-4,

从而（a,砰c=a，g.这就是说，该乘法适合结合律.其次，2eZ,并且对于任意的界Z,我们有

所以Z关于该乘法构成一个群.

4.写岀金的乘法表.

解§={

（1）,（12）,（13）,（23）,（123）,（132）},§的乘法表如下:

•

⑴

（12）

（13）

（23）

（123）

（132）

⑴

（1）

（12）

（13）

（23）

（123）

（132）

（12）

（12）

（1）

（132）

（123）

（23）

（13）

（13）

（13）

（123）

（1）

（132）

（12）

（23）

（23）

（23）

（132）

（123）

（1）

（13）

（12）

（123）

（123）

（13）

（23）

（12）

（132）

（1）

（132）

（132）

（23）

（12）

（13）

（1）

（123）

5.设（&•）是一个群,证明：

“•”适合消去律.证明设a,b,ccG.第a,b=a・c,则

b=e~b=（（fx'd）'b=a~x\a•/）}=a~x-（a-c）=（a~l■a）~c=e-c=c.

同理，若b、a=c、a,则缶c这就表明,“•”适合消去律.

6.在5；中，令

fl2345）fl2345）/=[23154丿，”[13452）'

求原此和广，

解我们有

。

2345）（\2345）,（\2345、

衣=|

2I543'"=34125'尸=31254

7.设〃求

解我们有〃=（4•••/；）.

8-设/是任意一个置换，证明：

./•（"/；•广'=（/1矽/（，）・・/（4））.

证明事实上，易见,/P；）,/（必,…，/（弓）是{1,2,...,〃}中的左个不同的数字.由直接计算可知，

（/•（/；4…力）•广）W））=/S），9"-1；

（/•（，/…公•广）（/（4））=/0）・

其次，对于任意的7G{1,2,27}\{/（/；）,/（/；）,/（/,）},/在/•（桓…。

）•广之

下的像是，本身.所以/•（"i2•••"）•广=（/0）/0）-/（。

））.

9.设5是一个非空集合,“•”是5•上的一个代数运算，若“•”适合结合律，则称（S,•）是一个半群（或者称$关于“•”构成一个半群）.证明：

整数集Z关于乘法构成一个半群，但不构成一个群.

证明众所周知，Z是非空集合，对于任意的a,beZ,总有aS,并且整数乘法适合结合律，所以Z关于乘法构成一个半群.其次，令e=1.于是，对于任意的心Z,总有

e-a=a、e=♦・

但是，OwZ,并且不存在症Z,使得^b=e.所以Z关于乘法不构成一个群.

10.设，是一个非空集合，5•是由/的所有子集构成的集合.则集合的并“U”是5上的一个代数运算.证明：

（S,U）是一个半群.

证明众所周知，对于任意的X.Y.Z^S,总有

（*UDUZ=*U（/U

这就是说，5上的代数运算“U”适合结合律，所以（£U）是一个半群.

注请同学们考虑如下问题：

设/是一个非空集合，S是由/的所有子集构成的集合.定义S上的代数运算“△”（称为对称差）如下：

払尸=（*\r）U（八册，Zes.

求证：

（£△）是一个交换群.

11.令a,b,c,d&z.证明5•关于矩阵的乘法构成一个半群.证明众所周知，对于任意的A,B,CcS,总有

ABcS,侦B）C=」BC）.

这就是说,矩阵的乘法是5•上的一个代数运算，并且适合结合律，所以5■关于矩阵的乘法构成一个半群.

12.设（S,•）是一个半群，ecS称为5•的一个左（右）单位元，如果对于任意的oe5■都有e,a=a（a・e=a）.对于aeS,如果存在力使h-a=e（a-h=e},则称〃左（右）可逆的，万是〃的一个左（右）逆元假设S有左（右）单位元e且$中每个元素都有关于e的左（右）逆元.证明：

（£•）是一个群.

证明设“是S中任意一个元素.任取心,使得a、b=e.再任取re，使得bc=e.于是,我们有

因此

a-b=e=b-a.

所以由以上两式可知，e是单位元，5•中每个元素〃都有逆元方.所以（$,•）是一个群.对于S有左单位元g且5中每个元素都有关于e的左逆元的情形，请同学们自己证明.

13.设6•是一个群,证明：

（atif=而'、Pa,bcG.

证明对于任意的agG,我们有

（泌）（/&'）==aeax=aa'=e,

（泌）=（d~'d）b=If'eb=b=e.

所以

（泌）Va,bwG.

16.设。

是一个群，证明:

。

是交换群的充要条件是

（泌）2=丿庆，VagG.

证明必要性是显然的.现在假设6•满足该条件.于是，对于任意的SG,我们有（泌尸=&计,即abab=aabb.运用消去律（第5题）立即可得ab=ba.所以。

是交换群.

17.设。

是一个群.假设对于任意的“c6•都有f=e,证明：

6•是交换群.

证明我们有

（。

力）2=e=ee=a2A2,Va,bcG.

由上题知，6•是交换群.

18.设。

是非空集合，“•”是G上的一个代数运算且适合结合律.

（1）证明：

（。

・）是一个群当且仅当对于任意的a,b&G,方程a、x=b和y・a=b在6■中都有解.

（2）假设6■是有限集，证明：

（G•）是一个群当且仅当“•”适合消去律.

证明

（1）当（。

・）是一个群时，显然，对于任意的a,heG,x=a-'、b是方程a，x=b的解，y=b'd~x是方程y、a=b的解.

现在假设对于任意的a,bw6,方程a、x=b,y,a=b在6■中都有解.任取G，考察方程ax=a.根据假设，方程a・x=a有解设力是。

中任意一个元素，考察方程尸〃=力.根据假设，方程y,a=b有解y=c^G.于是,我们有b、e=（c、ay、e=c，（a・^）=c・a=b.

由于bwG的任意性，上式表明g是半群（G・）的一个右单位元.再考察方程a,x=e.根据假设，方程『_r=e有解&G.由于心6的任意性，这表明6•中每个元素关于右单位元e都有右逆元.所以（G,•）是一个群.

（2）当（6,・）是一个群时，根据第5题，“.”适合消去律.现在假设…，弓},并且“•”适合消去律.任取"沱{1,2,,考察方程

《.•*=/.由于“•”适合左消去律，因此久必出现于乘法表的第，行中.这就意味着存在ye{1,2,•••,//},使得〃,3/=刃，从而方程arx=ai在6中有解.同理，由于“•”适合右消去律，方程a在6•中有解.这样一来，根据

（1）,（G•）是一个群.X\

19.证明命题2.8中的表示法在不计循环置换的顺序的意义下是唯一的.注

注宜将这道题表述成"证明:

在不计循环置换的顺序的意义下，在用命题2.8中的证明中所说的方法将一个置换“S"表示成两两不相交的循环置换的乘积时，表达式是唯一的”.

证明显然，当/是单位置换时，表达式就是/=/.不妨设/不是单位置换，f=fxfi…/和/=g\母…务都是在用命题2.8中的证明中所说的方法将置换表示成两两不相交的循环置换的乘积的表达式.于是，两两不相交，&,g‘,…，嬴两两不相交，而且它们的阶都大于或等于2.考察任意的/（!

设/=（，；•••，；）•由…兀和f=g\gi…g,.可知，存在/（1《/《v）,

使得

幻=以■…，4w{/；,刀,….

不妨设/；如.由U•••/和/=&务…幻可知，s=/并且

4=刀，{1,2,

从而，/=&«•由于f\，Jz，…,fu两两不相交，务，gz，…，g,两两不相交，并且不计循环置换的顺序,不妨设

/=&,Wc{l,2,…，〃}•

假设〃

f=g\务…&，

由此可见，当〃＜/＜卩时，幻必与&,务,…，幻中某一个相交.这与我们的假设矛盾.所以〃=V.这就表明，/=g[g2•••&.和f=g\gi…务是同一个表达式.

§3子群

1.设G=6Z/P）是数域P上的〃级一般线性群，〃是6•的由全体〃阶可逆的对角矩阵组成的子集，证明：

〃是6的子群.

证明众所周知，〃非空,并且有

4B,4'eH,

其中g表示矩阵/与矩阵〃的乘积，4,表示矩阵/的逆矩阵.所以〃是。

的子群.

2.设G是一个群，〃是6•的非空子集，证明:

"是6•的子群的充分必要条件是

a&'eH,Pa,bwH.

证明由定理3.3可知，当〃是6•的子群时，”满足条件.

假设〃满足条件.对于任意的a,EH,我们有

e=ad~'gH.

因为〃满足条件，由e,a,he.夕可fel,a~x=ea~'wH、&'=e5'e.H.因为〃满足条件，由a、Fg〃可知汕=成5”,总而言之对于任意的a,bcH,我们有ab,/'€H,根据定理3.3,〃是（7的子群.

3.设〃是群6•的子群，蔘G,证明：

aHax={aha'\hcH\也是6•的子群（称为〃的一个共貌子群）.

证明显然，*是G的非空子集.设A，AeaH"于是，存在如必w〃，使得4=ah、/',b、=ah0'.因此

b\b；'=（ah、a'）（a//2a~'）_，

=ah、a-'ah；'d~'=成caHd~x.所以物广是G的子群.

4.设。

是交换群，〃＞0为整数，令H={a^G\an=e\,证明：

〃是。

的子群.

证明显然3〃.若“Me〃，则（泌T）"==ee=e,从而，沥一'gH.

由此可见，〃是6•的子群.

5.设。

是交换群，证明:

6•的所有阶为有限的元素构成的集合是。

的子群.

证明令〃表示G的所有阶为有限的元素构成的集合.显然5,设a,beH,其中\a\=m,\A\=n.于是，

（泌T）E=（/）"（歹）F=缶=g,

从而，勿尸Gh.由此可见，〃是6•的子群.

6.设。

是群，a,bwG、证明：

v与灰沥t具有相同的阶.

证明显然，对于任意的正整数〃，=b"'、从而，

a"=e<=>ba"/i~x=（力泌一'）"=e.

由此可见，"与妳具有相同的阶.

7.设a=0/；…4）是循环置换，求〃的阶.

解当左=1时，显然，〃=

（1）,|〃|=如

当左>1时,我们有

d=（/；队…*

（1）,次{L2,…,卜1},

/=⑴，

从而,\a\=k.

8.设群。

的除单位元外的每个元素的阶都为2,证明：

G是交换群.

证明参看§2习题第17题.

9.设6■是群，a,b&G、证明：

泌与灰7具有相同的阶.

证明注意到防=广（部）（"-T，根据第6题的结论，泌与防具有相同的阶.

10.设6■是群，a,bwG、ah=ba.假设a的阶与力的阶互素，证明：

|湖|=|EI方|.

证明令\a\=m.\b\=n,\ab\=k.由于

（泌广=（〃”）”（〃）"=M=e,

根据命题3.12可以断言引所〃.其次,我们有

//\i/!

knrknknzjhknkn

e={ao）=ab=a（n）=ae=a,

从而，根据命题3.12,m\kn.因为/〃与〃互素，由〃?

|初可知〃z|左.同理可知，〃|於.由于〃八与〃互素，因此mn\k.所以k=/nn,即|泌|=|〃||方|.

11.设Z是整数集关于加法构成的群，〃是Z的子群，证明：

存在使"=〈〃〉•

证明众所周知，0e〃.当〃={0}时，显然〃=〈0〉.现在假设〃#{0}.于是,存在〃任〃使〃片0.这时-mcH,并且，在，〃和-〃，中，一个是正数，另一个是负数.令〃表示〃中的最小正数.显然，我们有

qne.H,V^gZ.

现在考察任意的mcH:

众所周知，存在整数g和，，使得

m=qnr,0

于是，r=m-qncH、由于令〃是〃中的最小正数，必有/=0,从而，m=qn.上述表明H={g〃|gwZ}.所以〃=〈〃〉.

12.设。

是一个群，H、,名都是G的子群.假设乌不包含于名且％不包含于々,，证明：

4U名不是6的子群.

证明由于名不包含于％且名不包含于〃;，是6的子群，因此存在awH\\%且存在b"QH\.于是，a,bwH。

％.假设ab"、,则b=aXab）^Hx，矛盾.因此ab%H\.同理，部任亿.这样一来,a腿心匕.所以比U名不是G的子群.

13.设G是一个群，G\uGuyG“h是6•的一个子群链，证明：

U爲G,是6的子群.

证明设"MeU爲。

.于是，存在正整数/.和_/使得心G，脹£.令X=max{/；/}.ayh^Gk.由于6；是6的子群，因此a/fxeGk，从而，所以U爲。

是G的子群.

14.证明:

{（12）,（13）…（1〃）}（〃22）是£的一个生成集.

证明考察任意的对换（/力££：

若/=1或7=1,则

（//）g{（12）,（13）-（1//）}.

若，。

1且/VI,则

（

（1力"

这就是说，对于每一个对换。

刀e£,要么它本身属于{（12）,（13）-（1〃）},要么它可以表示成{（12）,（!

3）-（1〃）}中的一些对换的乘积.这样一来，根据推论2.10可以断言，每一个可以表示成{（12）,（13）-（1//）}中的一些对换的乘积.由此可见，〈（12）,（13）•••（】〃）〉，从而，

3；=<（12）,（13）.-（I//））.

§4循环群

1.证明：

循环群是交换群.

证明设G=〈a〉是一个循环群.于是，G={/|〃cZ}（参看课本第12页倒数第4行）.众所周知，而=K=打,V必〃eZ.所以6•是交换群.

2.设。

是一个群，G.假设〃的阶为〃，证明:

对任意整数，•，有

证明

4.2,

1，1=己

（二,〃）

令〃=〈"〉.由于|"|=〃，根据命题3.10,〃是有限循环群.根据命题

1，1=土

（尸,〃）

3.设G=〈4是一个〃阶循环群，/是任意整数，证明：

/与#5）具有相同的

阶且0〉=〈旳）〉,

证明根据命题4.2,我们有

|"）|=_七—=_/L_=|/|.

（（/*,〃）,//）（r,〃）

根据命题3.10,〈/〉和〈/，"）〉都是。

的亠一阶子群.显然，/对"、，从而,（厶〃）

〈/〉仁〈史乃〉.由此可见，〈/〉=〈/"）〉.

4.设G=〈〃〉是一个〃阶循环群，证明：

〈/〉=6■当且仅当（厶//）=!

•

证明根据命题4.2,我们有

（/〉=G9|/|=〃O——=〃=（尸,〃）=1.

W,〃）

5.设G=0是循环群，〃=〈/〉和K=3\是6•的两个子群，证明:

"宜=〈舟〉.

证明显然从而，〈夕少qADH为了证明〃0£=〈夕5〉，现在只需证明〃0占二〈丿”1〉.

考察任意的-reZr：

当》为。

的单位元g时，显然】沱〈丿5〉.不妨假定x^e.于是，由xcH知，存在/《Z,使得x=d';由eA•知，存在/eZ,使得x=a/,.因为"°,所以W=0.众所周知，

（（$,/）'（$,/））一I'

从而，存在z/,fgZ,使得

工+丄=1.

（S,/）（S,,）

于是,我们有

ur»/uxter

X==戸戸=（Q确（y■戸

=濟妇/E=/

其中，当20时n=\,当$/<0时〃=—1.

综上所述，对于任意的〃n占,总有e〈丿5〉.所以“n〈/』〉.

6.设G={a）是〃阶循环群，〃=〈"〉和A=〈Q是。

的两个子群，证明：

夕=£的充要条件是G,//）=（/,//）.

证明假设H=K.根据命题4.2,我们有

宀=|/|=|/|=孔

（s,〃）（A〃）

从而，（$,〃）=（/,〃）.

假设（$,〃）=（/,//）.于是，舟、=扣',从而，〈”=〈/•〃）〉.这样根据第3题的结论可以断言，〈，〉=〈"〉，即H=K.

7.设G是无限循环群，证明:

6•有且仅有两个生成元.

证明由于G是无限循环群，不妨设〃是6•的一个生成元.于是，“T也是6的一个生成元，并且。

a、这就是说，"有两个不同的生成元.其次，假设△是6的任意一个生成元.由于6=〈〃〉，因此存在〃cZ,使得b=（T.由于G=〈给且acG,因此存在XgZ,使得a=bk=tf*.由此可见，〃=±1,即力=〃或3=，'.所以。

有且仅有两个生成元.

8.设G=〈d）是无限循环群，"=〈/〉和&=〈"〉是6•的两个子群，证明:

H=K的充要条件是s=±/.

证明当s=±t时，显然H=K.

假设H=K,显然，当H时，s=/=0,从而，s=±/.不妨假定〃。

｛诺.于是soO.由o'wK可知，存在/eZ,使得$=〃；由dwH可知，存在左Z,使得，=户.因此s=ijs.由于s=0,由s=ijs可知ij-\,从而，/=±1.所以s=±/.

§5正规子群与商群

1.证明：

循环群的商群也是循环群.

证明设G=0是循环群，〃是G的子群.于是，我们有

G!

H=\cfH\〃芒Z｝=｛（初"|心Z｝=〈宓.这就表明，G/〃是循环群.

2.设6•是群，N,,i5,是6•的一族正规子群，证明：

CI曲出也是6•的正规子群.

证明众所周知，n,wN是。

的正规子群.显然，我们有

可L/我）=n*（旳）=n*（心）=（fU/乌）。

mg.

所以n#乌也是g的正规子群.

3.设狙是群。

的正规子群且岀nM=｛目，证明：

对于任意的ajN、,be都有ab=ba.

证明对于任意的aeN\,bcNv由于&是群G的正规子群，根据命题5.11我们有康'5'wN