等腰三角形1优秀教学设计.docx

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等腰三角形1优秀教学设计

等腰三角形（第一课时）

一、内容和内容分析

1、内容

等腰三角形的性质

2、内容分析

本节课是人教版数学八年级上册第3节的第一课时，是在学生学习了全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究特殊的三角形——等腰三角形。

主要探究等腰三角形的“等边对等角”、“三线合一”两个性质，等腰三角形的这两个性质也为证明角相等、线段相等、线段垂直提供了方法。

本节内容是前面知识的应用和延伸，也是后面学习等边三角、特殊四边形、圆等内容的重要基础。

等腰三角形除了具有一般三角形的性质，也具有特殊性质。

等腰三角形的特殊性质是借助轴对称发现的，通过轴对称性研究等腰三角形的性质，也为证明性质时添加辅助线提供了方法。

构造全等三角形证明两个角相等是证明角相等常用的方法，等腰三角形性质的探索、证明体现了转化的数学思想。

因此，确定本节课的教学重点：

等腰三角形性质的发现、证明及应用

二、学情分析

学生已经学了全等三角形和轴对称的知识，相比较七年级来说学生的推理能力有所提升，会看简单几何图形、能根据条件证明一些角相等、线段相等、并能进行角度计算。

但学生的添加辅助线的经验不足，不知道什么时候需要添加辅助线，对于添加什么样的辅助线也不是很清楚。

在本节课，证明“等边对等角”时，需要通过构造两个全等的三角形，多数学生想不到作底边上的中线或顶角平分线或底边上的高，需要老师借助等腰三角形是轴对称图形来引导。

因此，证明等腰三角形的性质时添加辅助线是本节课的难点。

二、教学目标

知识与技能

1.理解并掌握等腰三角形的性质

2.运用等腰三角形的性质进行证明角相等、线段相等并会进行有关计算。

过程与方法

经历操作、发现、猜想、证明等腰三角形性质的过程，培养学生的发现问题、解决问题能力和推理能力。

进一步认识等腰三角形的性质，理解等腰三角形是轴对称图像。

情感、态度与价值观

在动手剪图、观察图形的过程中，激发学生的求知欲和好奇心，在活动中学会和他人合作，体会成功的体验，增强学习数学的信心。

四、教学重点、难点

重点：

等腰三角形性质的发现、证明及应用

难点：

等腰三角形三线合一的证明及理解、应用。

五、教学过程设计

（一）回顾

等腰三角形的概念，腰、底边、顶角、底角的概念

师生活动：

教师提问个别学生回答。

设计意图：

复习与等腰三角形相关的概念，为本节课的内容作铺垫。

二、探索等腰三角形的性质

问题1：

如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并减去阴影部分，再把它展开，得到一个什么样的三角形？

并说出理由

D

师生活动：

教师演示PPT，学生明确怎么剪图后动手操作，剪出等腰三角形，观察剪出的三角形，然后小组交流。

设计意图：

让学生动手操作、观察，从动态角度了解等腰三角形的形成，剪图的过程保留了中间的折痕，为证明性质添加辅助线作铺垫。

问题2：

等腰三角形除了两腰相等的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？

观察自己的等腰三角形纸片，说说你的发现。

师生活动：

学生独立思考后试着概括出自己的等腰三角形的特征，并全班交流。

学生比较容易猜想出性质1：

等腰三角形的两个底角相等。

对于性质2若学生没有思路或概括的不全面，教师提示，将剪出的等腰三角形沿折痕折叠，找出重合的线段和重合的角，填入下表：

重合的线段

重合的角

1．引导学生仔细分析表格中的重合线段和角：

AB=AC,定义阐述，不必重复；

AD=AD,公共边，也不必阐述；

∠B=∠C，；刚已得出；

还剩BD=DC,说明AD是△ABC的什么线？

⑤∠BAD=∠CAD，说明AD是△ABC的什么线？

⑥∠ADB=∠ADC，等于多少度？

说明AD是△ABC的什么线？

⑦这三条线段有什么关系？

2．教师问：

等腰三角形是轴对称图形吗？

并引导学生回答等腰三角形的对称轴是什么？

学生会有不同回答：

顶角平分线所在直线、底边上高或中线所在直线，教师追问：

你们说的是同一条线吗？

从而猜想出性质2。

设计意图：

通过折叠等腰三角形纸片，探究、发现等腰三角形的性质，进一步培养了学生的抽象概括能力，语言表达能力。

通过让学生回答等腰三角形的对称轴，加深了性质2的理解。

问题3：

猜想出的性质，需要进过推理论证。

（1）你能说出证明一个命题的一般步骤吗？

（2）你能根据题设、结论画出图形，写出已知、求证吗？

（3）结合所画的图形，你认为证明两个角相等常用的思路是什么？

（4）如何构造两个全等的三角形，从剪图的过程你有什么启发？

师生活动：

学生回顾证明命题的一般步骤，根据命题画出图形，写出已知、求证，并在教师的问题串的引导下明确证明思路，即证明等腰三角形的两个底角相等，需要构造两个全等的三角形，由剪图可以得到思路，即作出顶角平分线或底边上的中线或底边上的高，找三名同学板书，分别写出三种方法，其他学生选择一种方法把证明过程写在练习本上。

学生交流，教师反馈。

已知：

如图，△ABC中，AB=AC，

求证：

∠B=∠C.

证明：

方法1：

作底边的中线AD

∴BD=DC

∵AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABC≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C

方法2：

作底边的高AD

∵AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴RT△ABC≌RT△ACD（HL）

∴∠B=∠C

方法3：

作顶角平分线AD

∴∠BAD=∠CAD

∵AB=AC

∠BAD=∠CAD

AD=AD

△ABC≌△ACD（SAS）

∴∠B=∠C

设计意图：

让学生逐步实现实验几何到论证几何的过渡，能完成完整的命题证明过程，会进行文字语言、符号语言、图形语言的转换，能从剪图、折纸的过程中发现辅助线的添加方法，体会用不同的方法做辅助线解决问题，拓展学生的思路。

教师追问：

在应用一个命题时，需要把文字语言转化成符号语言，性质1的符号语言怎么写呢？

师生活动：

提问一个学生回答，其他学生补充。

在△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C（等边对等角）.

问题4：

在证明性质1时我们用了三种不同的做法，同学们观察每一种证明过程，除了能得到∠B=∠C，还能得到什么结论？

师生活动：

学生思考后，小组交流，个别学生问答，教师补充归纳。

在方法1中还能得到∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线；∠BDA=∠CDC,因为∠BDA+∠CDC=180°，所以∠BDA=∠CDC=90°，所以AD⊥BC,即AD是BC边上的高。

也就是说等腰三角形底边上的中线也是顶角平分线、底边上的高；在方法2中还能得到∠BAD=∠CAD，所以AD是∠BAC的平分线，BD=DC所以AD是BC边上的中线，即等腰三角形底边上的中线也是顶角平分线、底边上的中线。

在方法3中还能得到∠BDA=∠CDC,因为∠BDA+∠CDC=180°，所以∠BDA=∠CDC=90°，所以AD⊥BC,即AD是BC边上的高，BD=DC所以AD是BC边上的中线，即等腰三角形顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高。

这也就证明了猜想2的性质。

教师强调从刚才的证明也可以看出性质2包含了三个命题。

教师板书性质2及使用格式：

在△ABC中，

（1）∵AB=AC,AD⊥BC,

∴BD=DC,∠BAD=∠CAD.

（2）∵AB=AC,BD=DC,

∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.

（3）∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,

∴AD⊥BC,BD=DC。

强调等腰AB=AC是大前提，归纳性质2的三个作用：

证明角相等、线段相等及两直线互相垂直。

设计意图：

学生对性质2的理解及证明是本节课的一个难点，证在证明性质1的基础上证明性质2，是水到渠成的过程，学生更容易理解接受性质2，加深学生对性质2的理解，真正理解性质的实质。

问题5：

在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？

师生活动：

学生回答——等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴。

设计意图：

让学生理解等腰三角形的轴对称性，并体会它在探究和证明等腰三角形性质的过程中的重要作用。

三、运用性质，解决问题

练习：

（1）等腰三角形一个底角为75°,它另外两个角为；

等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为

等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为。

（2）如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

师生活动：

教师用ppt依次演示问题

（1）

（2）（3）。

学生独立思考解决问题。

教师评判并引导学生归纳性质1的两个作用：

1求角的度数；

②将线段间的相等关系转化为角之间的相等关系。

设计意图：

练习

（1）是有梯度的角度计算题，需综合运用等腰三角形的性质1、三角形内角和定理等知识解决问题。

练习

（2）等腰三角形的性质1、性质2的综合应用。

例题1

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.

求：

△ABC各角的度数．

师生活动：

教师用ppt演示例题1。

学生独立思考后小组讨论。

教师参与讨论，认真听取学生分析，利用等腰三角形的性质1和三角形外角的性质，引导学生找出角之间的关系，为了分析解答的简捷明了，引导学生设∠A=x，则∠BDC=∠C=∠ABC=2x，根据三角形的内角和定理列方程，教师板书解答过程。

设计意图：

通过分析角之间的关系，利用方程的思想求等腰三角形的内角的度数，巩固了等腰三角的性质1，培养了学生的推理能力。

四、学以致用：

地震过后，河沿村中学的同学们为了检测教室的房梁是否水平，在教具等腰直角三角板的斜边中点拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，把这个三角板的斜边紧贴房梁，结果线绳经过直角定点，同学们确信房梁水平。

他们的判断对吗？

为什么？

师生活动：

学生思考后，小组讨论，并找学生代表回答，教师纠正、补充。

设计意图：

检测教室的房梁是否水平需要用等腰三角形的性质2，让学生体会数学知识在生活中的应用，学会学以致用。

五、小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）本节课我们是怎么探究等腰三角形的性质的？

（3）你又学到了哪些证明角相等或线段相等的方法？

设计意图：

通过小结，使学生梳理本节课所学内容和研究方法，把握本节课的主要内容，体会轴对称在研究问题中的作用。

布置作业

教科书习题13.3第1,2,4,6题

板书设计

13．3．等腰三角形

（一）

一、定义：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形

二、等腰三角形的性质1：

等腰三角形的两个底角相等（可以简写成等边对等角）

在△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C（等边对等角）

性质2：

等腰三角形顶角平分线、底边上的中

线、底边上的高互相重合。

（简写成等边对等角）

在△ABC中，

（1）∵AB=AC,AD⊥BC,

∴BD=DC,∠BAD=∠CAD.

（2）∵AB=AC,BD=DC,

∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.

（3）∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,

∴AD⊥BC,BD=DC。

三、例题1

解：

∵AB=AC，

BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∠A=∠ABD，

（等边对等角）．

设∠A=x，则

∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

在△ABC中，

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，