高中数学 数列 全章教学设计高教版中职数学第七章.docx
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高中数学数列全章教学设计高教版中职数学第七章
7.1 数列的概念
一、教学目标:
1.知识目标:
(1)了解数列的有关概念,理解数列的通项公式;了解求和符号∑的用法,理解数列的通项与前项和之间的关系;
(2)能正确运用公式进行简单计算;能根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式.
2.能力目标:
培养学生的基本运算能力和观察、分析、归纳、抽象的能力.
3.思想品质目标:
对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质.
二、教学重点:
教学重点是数列及其有关的概念以及通项与前项和之间的关系.
三、教学难点:
教学难点是由数列的前几项写出数列的一个通项公式与由数列的前项和公式去求数列的通项公式.观察特点,分析规律,揭示与之间的关系,是突破难点的关键.
四、教学方法:
讲授法、演示法与练习法相结合.
五、教学过程:
(一)问题的引入
假如你是经销商,一位供货商提出要与你签定一份交易合同,合同的期限为30天,他每天给你提供价值10万元的商品,而你第一天只需付给他1分钱的货款,第二天付给他2分钱的货款,第三天付给他4分钱的货款,依此类推,以后每天所付的货款都是前一天所付货款的2倍.你是否同意签这份合同呢?
你也许会觉得这是天大的好事,认为这份合同将会给你带来非常大的收益,迫不及待地就要签字.
通过本章的学习,你就会明白这是一个多么险恶的交易合同,一旦签了字,一个月之内你就会倾家荡产!
(二)数列的概念
1.数列的概念
我们先来看下面的一些例子:
全体正整数从小到大排成一列数
1,2,3,4,5,….
(1)
上一列数中的各个数的倒数也排成一列数
.
(2)
某校有8个微机室,从“微机室
(1)”到“微机室(8)”的微机室里所摆放的微机数排成一列数
50,50,50,50,50,50,50,50. (3)
在第23届至第28届的六届夏季奥运会上,我国体育健儿获得的金牌数排成一列数
15,5,16,16,28,32. (4)
像上面的例子中那样,按照一定次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,从开始的那项起,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第3项,…,第项,….第项中的“”叫做该项的序号.
2.数列的分类及通项
只有有限多项的数列叫做有穷数列,有无穷多项的数列叫做无穷数列.
想一想:
上面的4个数列中哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?
回答:
(3)(4)是有穷数列,
(1)
(2)是无穷数列.
有穷数列的一般形式可以写成
,,,…,.(N*)
无穷数列的一般形式可以写成
,,,…,,….(N*)
其中是数列的第项,也叫做数列的通项.有时也把第项是的数列简记为.
如果一个数列的第项能用其序号的表达式来表示,那么这个表达式叫做这个数列的通项公式.例如,上面数列
(2)的通项公式是
.
如果知道了数列的通项公式,就可以求出这个数列中的任何一项.例如上面数列
(2)的第100项为
.
例1 根据下面给出的数列的通项公式,分别求出数列的前5项:
; .
解 ,,,,;
(2)由于的奇数次幂等于,而的偶数次幂等于,再利用
(1)题结论可得
,,,,.
想一想:
上面数列与有什么不同?
起什么作用?
回答:
数列与在单项位置上的数值相差一个负号,就起到这种符号交错的作用.
例2 在下面各题中,分别写出一个无穷数列的通项公式,使得无穷数列的前4项恰好是题中给出的4个数.
(1)3,6,9,12;
.
解
(1)题中给出的4个数3,6,9,12作为数列的前4项,其中每个数正好是项的序号的3倍,因此,通项公式为
的无穷数列的前4项恰好就是3,6,9,12;
(2)题中给出的4个分数作为数列的前4项,其中每个分数的分母是项的序号的2倍,分子是项的序号的2倍减1,因此,通项公式为
的无穷数列的前4项恰好就是.
想一想:
在例2中,如果不考虑通项公式,还有没有其他的数列其前4项也正好是题中给出的4个数?
练习题7.1.1
1.已知数列的通项公式为,试求这个数列的第4项.
2.写出一个数列的通项公式,使得这个数列的前5项为.
参考答案:
1.;
2..
(三) 数列的前项和
1.数列的前项和
有的时候,我们需要求出一个数列中若干项的和,例如,如果想知道在第23届至第28届的六届夏季奥运会上,我国体育健儿一共获得了多少块金牌,那就需要求出
(一)中数列(4)的前6项的和.
一般地,对于数列,我们把…叫做数列的前项和,记作
,即
.
有时为了书写简便,常把简记为,即.我们把叫做和式,其中符号“Σ”叫做连加号,表示加数的一般项,如果数列有通项公式,一般项可以写成通项公式的形式,叫做求和指标,连加号的上下标表示求和指标的取值一般依自然数的顺序由1取到(也可以根据特殊情况限定范围).
例3已知数列的通项公式为
.
试求这个数列的前4项的和.
解.
想一想:
在求和时,当把一般项写成通项公式的形式时,其通项公式中的要用求和指标来代替.这是为什么?
2.运算性质
由于和式表示的是连续的加法运算,因此,由加法的运算性质可以得到和式的运算性质:
;
(为常数);
(为常数).
如果数列的前项和能用的一个表达式来表示,那么这个表达式叫做这个数列的前项和公式.如果知道了一个数列的前项和公式,就可以求出这个数列的前任意项的和.
例4已知数列的前项和公式为
.
试求该数列前100项的和.
解该数列前100项的和为.
例5已知数列的前项和公式为
.
求此数列的通项公式.
解由前项和的定义,显然可知,当时,有
当时,,故对任意的正整数都有
.
因此该数列的通项公式为.
注意:
利用数列的通项与前项和之间的关系来求通项是经常使用的方法,求出之后,必须验证是否适合所求的通项公式,如果不适合,则需要表明的情况,把通项公式写成分段函数的形式.
练习题7.1.2
1.已知数列的通项公式为,求此数列的前5项的和.
*2.已知数列的前项和公式为,求此数列的前10项的和,并求出该数列的通项公式.
参考答案:
1..
*2.,,提示:
.
六、小结:
1.本节课知识内容
2.需要注意的问题
(1)数列与数集是两个不同的概念,数列中的数是有次序的,而数集中的数是无序的;数列中的数可以重复出现,而数集中的数却是互异的.
(2)并不是所有的数列都有通项公式,比如由圆周率的不足近似值构成的数列
,,,,,…
就没有通项公式.
(3)当给定通项公式时,数列就被唯一确定了,但对于一个给定的数列,其通项公式可能不唯一,比如数列:
,,,,,,,,…,是它的一个通项公式,也是它的一个通项公式.
(4)已知数列的前项和公式求数列的通项公式,利用的是与的如下关系:
,.
当利用关系求得关于的一个表达式时,还不能说这个数列的通项公式就是,因为是否也满足这个表达式还不知道,所以还必须验证有.如果,那只能说当时,数列的通项公式是,而的值必须单独写出.
七.练习与作业:
练习:
习题7.1第1、2题.
参考答案:
1.略;
2.
(1)8,10,12,14;
(2)9,16,25,36;(3)2,,4,;
,,,;
作业:
习题7.1第3、4、5、6题.
7.2等差数列
(一)
一、教学目标:
1.知识目标:
(1)理解等差数列以及等差中项的概念;
(2)掌握等差数列的通项公式、中项公式;能够由等差数列的、、、中的三个已知量求出另外的两个量.
2.能力目标:
培养学生的基本运算能力、思维能力和简单实际应用能力.
3.思想品质目标:
对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质.
二、教学重点:
教学重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式、中项公式.
三、教学难点:
教学难点是等差数列的概念及等差数列的通项公式、中项公式等知识的简单实际应用.
四、教学方法:
比较法、讲授法与练习法相结合.
五、教学过程:
(一) 等差数列的定义
1.问题的引入
(1)某班参加义务植树劳动,分为5个小组,第1小组到第5小组植树的棵数恰好是下面的一个数列
28,26,24,22,20.
(2)全体正整数中5的倍数从小到大构成一个数列
5,10,15,20,….
试分析,这两个数列有什么共同的特点?
仔细观察不难发现,第一个数列中的每一项都比它的前一项小2(第1项除外),第二个数列中的每一项都比它的前一项大5(第1项除外),也就是说,这两个数列的一个共同特点就是,除第1项外,每一项与它的前一项的差都等于相同的常数.
2.等差数列的定义
如果一个数列除第1项外,每一项减去它的前一项都等于同一个常数,那么,这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,用字母表示.
由等差数列的定义可知,若为等差数列,为公差,则有,即
N*,.(7.1)
例1已知等差数列的首项为,公差为,试写出这个数列的第2项到第5项.
解由于,,因此由公式(7.1)有
;
.
想一想:
你能很快地写出这个数列的第101项吗?
练习题7.2.1
1.已知为等差数列,,公差,试写出这个数列的第8项.
2.写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.
参考答案:
1.;2..
(二) 等差数列的通项公式,等差中项公式
1.问题的引入
引导学生分析,如果按照公式(7.1)来写出例1中的第101项,是非常麻烦的.有没有简便的方法很快地就能写出这一项呢?
2.等差数列的通项公式
设等差数列公差为,首项为,
,
,
,
……
依此类推,得到
.(7.2)
公式(7.2)就是等差数列的通项公式.
说明:
公式(7.2)给出求等差数列中任意一项的方法.例如,例1中的第101项为
.
例2求等差数列
,,,,…
的第50项.
解由已知得,,,,所以这个等差数列的通项公式为
,
即 .
于是,这个数列的第50项为
.
注意:
只要知道了等差数列的任意两个相邻的项,就可以用定义直接求出公差.
例3已知等差数列的第100项为48,公差为,该数列的第1项是多少?
解由于,,由等差数列的通项公式(7.2),有
,
所以 .
注意:
在等差数列的通项公式(7.2)中,共有四个量:
、、和,只要知道了其中的任意三个量,就一定可以求出另外的一个量.
例4已知等差数列的第5项是0,第10项是10,求它的第30项.
解由已知,,,再由通项公式(7.2)得
解得,,
因此.
想一想:
在等差数列中,与有什么关系?
例4的计算是否还有更简便的方法?
回答:
与的关系是.如例4还可以先用求出公差,然后再由计算出.(还有其他方法,就不一一列举了)
例5小明的妈妈把6000元钱按“整存整取定期储蓄”的方式存入银行,存期5年,年利率为,利息税率为,到期后实际所得的本利和是多少?
解存款之后的5年中,第1年到第5年的利息组成数列(单位:
元)
,,…,,
这是一个等差数列,到期后所得利息正是这个数列的第5项,即
(元),
应纳税
(元),
到期后实际所得本利和为
6000+837-167.4=6669.6(元).
注意:
本例中所计算的利息叫做单利(即每期的利息不加入本金在下期中计算利息).
试一试:
设本金为,每期利率为,你能写出按单利计算时第n期到期后本利和的计算公式(即单利公式)吗?
回答:
单利公式为.
3.等差中项
有时候,我们需要在两个已知的数和之间插入一个数,使得,,成等差数列,应满足什么条件呢?
由等差数列的定义,如果,,成等差数列,那么,,从而得到.反之,如果,则有,从而
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