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对勾函数模型
第十周对勾函数模型
重点知识梳理
1.对勾函数定义
b
对勾函数是指形如:
y=ax+x(ab>0)的一类函数,因其图象形态极像对勾,因此
被称为“对勾函数”,又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”.
b
2.对勾函数y=ax+x(a>0,b>0)的性质
(1)定义域:
(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)值域:
(-∞,]∪[,+∞).
(3)奇偶性:
在定义域内为奇函数.
(4)
单调性:
(-∞,-
b
b,+∞)上是增函数;(-
b,0),(0,
b
a),(
a
a
a)上是减函数.
(5)
渐近线:
y轴与y=ax(或y=-ax)
b
b
3.y=ax+x(a>0,b>0)的单调区间的分界点:
±
a.
b
b
.
求分界点方法:
令ax=?
x=±
a
x
1
a
特殊的,a>0时,y=x+的单调区间的分界点:
±a.
4.对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值,解题时要先找出对应的单调区间,
然后求解.
5.利用对勾函数求最值,常常用到如下的重要不等式:
b
若a>0,b>0,则x>0时,ax+x≥2ab.
当且仅当ax=bx,x=ba时取等号.
在应用这个不等式时,要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”,即加号两边的项
b都是正项,且二者乘积为定值,同时
ax=b中等号可取到.若等号取不到,则应根据
ax和x
x
对勾函数单调性求解.
典型例题剖析
例1已知f(x)=x+5,求f(x)在下列区间的最小值.x
(1)[1,2];
(2)[3,4];(3)[-3,-1].
【解析】如图,
f(x)在(-∞,-5),(5,+∞)上是增函数,在(-5,0),(0,5)上是减函数.
(1)由对勾函数性质可知f(x)在[1,2]上单调递减,
1
∴f(x)min=f
(2)=42.
2
(2)因为f(x)在[3,4]上单调递增,
2
所以f(x)min=f(3)=43.
2
(3)因为f(x)在[-3,-5]上单调递增,在(-5,-1]上单调递减,且f(-3)=-43,
f(-1)=-6,
所以f(x)min=-6.
变式训练
已知函数f(x)=
x2+5
x的值.
2
,求f(x)的最小值,并求此时
x+4
【解析】f(x)=
x2+5
=
x2+4+1
=
2
+4+
1
2
2
+4
x
2
x+4
x
x+4
令t=
x2+4,则t≥2,y=t+
1
.
t
∵y=t+1在[2,+∞)单调递增,t
15
∴当t=2时,ymin=2+2=2,
此时,x2+4=2,x=0.
5
综上,f(x)的最小值为,此时x的值为0.
例2求函数f(x)=x2-2x-1(0≤x≤3)的值域.
x+2
【解析】令t=x+2,则x=t-2,2≤t≤5,
(t-2)2-2(t-2)-1
y=
t
=t2-6t+7=t+7-6,2≤t≤5.
tt
∵y=t+7-6在[2,7]上单调递减,在[7,5]上单调递增,
t
3
∴当t=7时,ymin=27-6,
且当t=2时,y=2+72-6=-12,
当t=5时,y=5+7-6=2,∴ymax=2.
555
2
综上,f(x)的值域为[27-6,5].
x2-4x+12
变式训练求函数f(x)=,x∈[2,5]的值域.
x-1
【解析】f(x)=
x2-4x+12
x-1
=(x-1)
2-2(x-1)+9
9-2,
x-1
=x-1+
x-1
令t=x-1,则f(t)=t+9-2,t∈[1,4].t
9
结合y=t+的图象与性质,
可知当t∈[1,3]时,函数单调递减,当t∈[3,4]时,函数单调递增,
又f
(1)=8,f(3)=4,f(4)=174,
所以f(x)∈[4,8].
例3某工厂去年的某产品的年产量为
100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8
元.今年,工厂第一次投入
100万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入
100万元
(科技成本),预计产量年递增
10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为
k
g(n)=
n+1
(k>0,k为常数,n∈Z且n≥0),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为
f(n)万元.
(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;
(2)问从今年算起第几年利润最高?
最高利润为多少万元?
4
【解析】
(1)由g(n)=
k
,当n=0时,由题意,
n+1
可得k=8,
所以f(n)=(100+10n)(10-
8
)-100n(n∈Z且n≥0).
n+1
(2)由f(n)=(100+10n)(10-
8
)-100n
n+1
=1000-80(n+1+
9
)
n+1
≤1000-80×29=520,
9
当且仅当n+1=,即n=8时取等号,
n+1
所以第8年工厂的利润最高,最高为
520万元.
变式训练
建筑一个容积为800米3,深8米的长方体水池
(无盖).池壁,池底造价分别为a
元/米2和2a
元/米2.底面一边长为x米,总造价为y.写出y与x的函数式,问底面边长x为
何值时总造价
y最低,是多少?
【解析】长方体底面积
S=800=100米2,地面一边长为
x米,
8
因此另一边长为100x米,
2002
池壁总面积为8·(2x+)米,
200
∴总造价y=100×2a+(2x+x)·8·a
=200a+16a(x+100x)(x>0).
∵函数y=200a+16a(x+100x)在(0,10]上是减函数,在(10,+∞)上是增函数,
∴当x=10时,总造价最低,且ymin=520a(元).
5
跟踪训练
1.下列函数中最小值是4的是()
4
A.y=x+x
2
B.y=x+x
C.y=21+x+21-x
D.y=x2+
21
+3,(x≠0)
x+1
4,x∈(1,3]的值域为()
2.函数y=x+x
13
A.[3,5)
B.[4,5)
13,4)
D.(4,5)
C.[3
3.函数y=-x+
4
+3,x∈
[
-1,0
的值域为____________.
1-x
)
4.y=2x2+
3
2的最小值是________.
1+x
5.已知x>0,则
4的最小值是________.
2+x+x
3在区间[1,2]上的最小值为____________.
6.函数y=x+x
a
7.若函数y=x+x(a>0)在区间(
5,+∞)上单调递增,则
a∈________________.
8.建造一个容积为
8m
3,深为2m的无盖水池,如果池底与池壁的造价每平方米分别是120
元和80元,则水池的最低造价为
____________元.
9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
ABCD,公园由长方形休闲区
A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2,人行道的宽分别为4m和10m(如图所示).
6
(1)
若设休闲区的长和宽的比
A1B1=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;
B1C1
(2)
要使公园所占面积最小,休闲区
A1B1C1D1的长和宽应如何设计?
10.如图,某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙,且要求
中间用围墙EF隔开,使得ABEF为矩形,EFDC为正方形,设AB=x米,已知围墙(包括
EF)的修建费用均为800元每米,设围墙(包括EF)的修建总费用为y元.
(1)求出y关于x的函数解析式;
7
(2)当x为何值时,设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小?
并求出y的最小值.
11.已知函数f(x)=
x2+2x+3
(x∈[2,+∞)).
x
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)>a恒成立,求a的取值范围.
a
12.已知函数f(x)=x+,x∈[1,+∞),a>0.
(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)的最小值为4,求实数a.
8
13.为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用
20年的隔
热层,每厘米厚的隔热层建造成本为
6万元.该建筑物每年的能源消耗费用
C(单位:
万元)
与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系:
C(x)=
k
3x+5(0
≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每
年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与
20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?
并求出最小值.
9
参考答案
1.CA选项,由于x可取负值,显然最小值不是
4,排除A;
B选项,由于x可取负值,显然最小值也不是
4,排除B;
x+2x
x+1x
C选项,由于y=2·2
2=2(2
2),
换元,令t=2x,t>0,则y=2(t+1
t)≥4,
当且仅当t=1即x=0时,函数有最小值4,
D选项,由于y=x2+21
+3=x2+1+21
+2,换元,令t=x2+1,t>1,
x
+
1
x+1
则y=t+1+2,函数在(1,+∞)上单调递增,因此
y>4,排除D选项.
t
综上,答案为C.
4
2.B由对勾函数性质可知,当
x=x,即x=2时,表达式有最小值4,又函数在
(1,2)上单
调递减,在(2,3]上单调递增,
f
(1)=5,f(3)=3+4=13,所以值域为[4,5),答案为B.
3
3
3.[6,7)
解析y=-x+4+3=1-x+4+2,
1-x1-x
换元,令t=1-x,则x∈[-1,0)时t∈(1,2],
4
y=t++2,函数在(1,2]上单调递减,
若t=1,则y=1+41+2=7,
若t=2,则y=2+4+2=6,2
故函数值域为[6,7).
10
4.26-2
解析换元,令t=1+x2,则t≥1,x2=t-1,
3=2t+3-2,
y=2(t-1)+t
t
函数在[1,
3
3
,+∞)上单调递增,
2]上单调递减,在[
2
3
所以当t=
2时,函数有最小值2
6-2.
5.6
解析由对勾函数性质可知,当x=4x,即x=2时,表达式有最小值6.
6.23
3
解析因为y=x+x在区间[1,3]上单调递减,在[3,2]上单调递增,所以当x=3时
函数有最小值23.
7.(0,5]
8.1760
解析池底面积为
8=4cm2,设池底宽为xcm,则长为4
4
2
xcm,则水池的造价为
4×120+2(x×2
+x×2)×80=480+
1280
+320x≥480+2
1280×320x=1760.
x
x
9.解析
(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米.
由a2x=4000,得a=2010,x
则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160
20
10
=4000+(8x+20)·
+160
x
11
=8010(2x+5
)+4160,
x
即S=80
10(2
x+5
)+4160.
x
(2)S=80
10(2
5
)+4160
≥16010·10+4160=5760,
x+
x
当且仅当
2x=5
,即x=2.5
时取等号,此时a=40,
x
ax=100.
所以要使公园所占面积最小,休闲区
A1B1C1D1应设计为长
100米,宽40米.
10.解析
(1)设AD=t米,则由题意得
xt=600,且t>x,
故t=600
6,
x>x,可得0 600 则y=800(3x+2t)=800(3x+2× ) x 400 =2400(x+x ), 所以y关于x的函数解析式为 y=2400(x+400 x)(0 400 )≥2400 400=96000, (2)y=2400(x+x ×2x·x 当且仅当x=400,即x=20时等号成立. x 故当x为20米时,y最小.y的最小值为 96000元. 11.解析 (1)任取x1,x2∈[2,+∞), 且x1 x 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1- 3 ), x1x2 12 ∵x1 又∵x1≥2,x2>2, 3 ∴x1x2>4,1->0,x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 故f(x)在[2,+∞)上是增函数, ∴当x=2时,f(x)有最小值 f (2)=11 2. (2)∵f(x)>a恒成立,∴只需 f(x)min>a. 又∵f(x)min=11,∴a<11. 2 2 11 12.解析 (1)a=2时,f(x)=x+2x,x∈[1,+∞). 令x=1 ,得x= 2 ? [1,+∞), 2x(x>0) 2 ∴不能用不等式求最值. 设1≤x1 11 =(x1-x2)+(2x1-2x2) 1 =(x1-x2)(1-2x1x2)<0, ∴函数f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数, 3 ∴fmin(x)=f (1)=2. a (2)当0 ∵a? [1,+∞), 13 ∴类似于 (1)可知函数f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数, ∴fmin(x)=f (1)=1+a=4,
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- 函数 模型