常微分方程第5章答案.docx
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常微分方程第5章答案
习题5」
1•给定方程组
X=Xx=(*)
a)试验证u(t)=.v(l)=分别是方程组(*)的满足初始条件u{0)=,v(0)=的解.
b)试脸证w(t)=cu(t)+cv(t)是方程组的满足初始条件w(0)=的解,其中是任意常数.解:
a)u(0)==
u(t)==u(t)
又v(0)==
V(t)===v(l)
因此u⑴理⑴分别是给楚初值问题的解.
b)w(0)=u(0)+u(0)=+=
w(t)=u(t)+V(t)
+
=W⑴
因此W⑴是给定方程初值问题的解.
2.将下而的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题:
a)X+2x+7tx=e,x(l)=7,x(l)=-2
b)X+x=te,x(O)=hx(O)=-Lx(0)=2・X(0)=0
c)
x(0)=LX(0)=0,y(0)=0.y(0)=1
解Ja)令X=x,x=x■得
即
又X=x(l)=7x(l)=x(l)=-2
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:
X=x(l)=
其中x=-
===则得:
b)令=x
且(0)=x(0)=1,=(0)=-l,(0>(0)=2,
(0)=(0)=0
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:
=x(0)=,Jt中x=・
c)令w=x,w=.w=y,w=y,则原初值问题可化为:
且
即W
w(0)=其中w=
3.试用逐步逼近法求方程组
=Xx=
满足初始条件
x(0)=
的第三次近似解・
解:
0241201杨素玲
习题5.2
02412—0202412—03
1.试脸证=
是方程组X=x.x=.在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
解:
令的第一列为(0=,这时(0==⑴故⑴是一个解。
同样如果以⑴表示第二列,我们有(t)==⑴这样⑴也是一个解。
因此是解矩阵。
又因为det故是基解矩阵。
2.考虑方程组X=A(t)x(5.15)其中A⑴是区间a上的连续nn矩阵,它的元素为a
(04.n
a)如果X(l),x⑴是(5.15)的任意n个解,那么它们的伏朗斯基行列式W|x(t),x
⑴,….x(DJW⑴满足下而的一阶线性微分方程W=fa(t)+a(l)+-+a⑴]W
b)解上而的一阶线性微分方程,证明下面公式:
W(t)=W(t)et,l[a.b]
解:
w(i)=++•••+
=+•••+=+•••+整理后原式变为
(a+…+a)=(a+…+a)w(i)
=(a(l)+***+a(0)w(i)
b)由于w(t)=[a(t)+--+a⑴]\v⑴,即=(a⑴+…+a(t)]dt
两边从I到t积分In-In=即w(t)=w(t)e,t[a.b]
3.设A⑴为区间a上的连续nn实矩阵,为方程x=A⑴x的基解矩阵,而x=(t)为其一解,试证:
a)对于方程y=-A(l)y的任一解y=(t)必有⑴(t)=常数:
b)⑴为方程y=-A(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使⑴(t)=C.
解a)[(I)(t)]=(l)+Ct)=(l)+(t)A(l)
又因为=-A(t)⑴,所以=-(I)A(t)
((I)(t)]=-(t)(l)A(t)+(t)A(t)(t)=0,
“”假设为方程y=A(uy的基解矩阵,则
(1)⑴]=[⑴]+(t)(t)=[-A(t)⑴]+⑴A⑴)+
(l)A(t)=0.故⑴(t)=C
”若存在非奇异常数矩阵C.deicO,使⑴(t)=C,
所以对于方程y=-A(i)y的任一解y=(i)必有⑴(t)=常数b)
(l)[A(t)(l)]=-(t)A(t)
(t)=-(t)A(O所以(t)=-
则[⑴(I)]=
(1)+(0=0,故(t)(()=-(I)(t)A(t)
(t)A(t),(l)=-(t)A(t)即⑴为方程y=-A(t)y的基解矩阵
4.
(0)=E).证明:
设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即
(I)=0-1中I为某一值.证明:
(1)是基解矩阵。
(2)由于为方程x=Ax的解矩阵,所以(t)也是x=Ax的解矩阵,而当t=t时,(t)(()=E.(t-1)=(0)=E.故由解的存在唯一性楚理,得(I)=(I-1)
5•设A⑴f⑴分别为在区间a上连续的nn矩阵和n维列向量,证明方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+l个线性无关解。
证明:
设XX是X=A(t)x的n个线性无关解,是X=A(t)x+f(l)的一个解,则x+,x+.…,X+.都是非齐线性方程的解,下而来证明它们线性无关,假设存在不全为零的常数C,(I=L2,--.n)使得+C=0,从而X+,x+,…,X+,在a上线性相关,此与已知矛盾,因此x+,x+,…,X+,线性无关,所以方程组X=A(l)x+f(l)存在且最多存在ml个线性无关解。
6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理:
的解,则是方程组
的解。
(2)
和
(2)
其中
证明:
(1)
分别将代入
(1)则
则令
即证
7.考虑方程组,
a)试验证是的基解矩阵:
b)试求的满足初始条件的解。
证明:
a)首先验证它是基解矩阵
以表示的第一列则
故是方程的解
如果以表示的第二列
我们有
故也是方程的解
从而是方程的解矩阵
又
故是的基解矩阵;
b)由常数变易公式可知,方程满足初始条件的解而
8、试求,其中满足初始条件的解O
解:
由第7题可知的基解矩阵则
若方程满足初始条件
则有
若
则有9、试求下列方程的通解:
a)
解:
易知对应的齐线性方程的基本解组为这时
由公式得
通解为
b)
解:
易知对应的齐线性方程的基本解组为
是方程的特征根
故方程有形如的根
代入得
故方程有通解
C)
解:
易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为因为是对应的齐线性方程的解
故也是原方程的一个解
故方程的通解为
10、给左方程其中f⑴在上连续,试利用常数变易公式,证明:
a)如果f⑴在上有界,则上面方程的每一个解在上有界:
b)如果当时,,则上而方程的每一个解(当时)。
证明:
a)上有界
存在M>0.便得
又是齐线性方程组的基本解组
非齐线性方程组的解
又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t).都存在固定的常数使得
从而
故上面方程的毎一个解在上有界
b)时,
当t>N时
由a)的结论故时,原命题成立
11、给定方程组(5」5)
这里A⑴是区间上的连续矩阵,设是(5.15)的一个基解矩阵,n维向量函数F(l.x)在,
(*)
上连续,试证明初值问题:
的唯一解是积分方程组
(**)
的连续解。
反之,(**)的连续解也是初值问题(8)的解。
证明:
若是(*)的唯一解
则由非齐线性方程组的求解公式即(*)的解满足(杯)反之,若是(杠)的解,则有两边对t求导:
即(**)的解是(*)的解习题5・31、假设A是nn矩阵,试证:
a)对任意常数、都有
exp(A-A)=expA・expA
b)对任意整数k,都有
(expA)=cxpkA
(当k是负整数时,规泄(cxpA)=((expA)])
证明:
a)T(A)・(A)=(A)・(A)
exp(A+A)=expA・cxpA
b)k>0时.(expA)=cxpA・cxpAexpA
=exp(A+A++A)
=expkA
kvO时,-k>0
(expA)=[(cxpA)]=[cxp(・A)]=exp(・A)・cxp(・A)exp(-A)
=expI(-A)(-k)l
=cxpkA
故k.都有(expA)=expkA
2、试证:
如果是=Ax满足初始条件=的解,那么
=[expA(l-t)]
证明:
由定理8口]■知=0(00-100)+◎⑴
又因为®(t)=expAt,expAlO)-!
=exp(-AtO),f(s)=O.
又因为矩阵(Al)・(・AlO)=(-AtO)*(Al)
所以=[cxpA(l・l)]
3、试计算下而矩阵的特征值及对应的待征向量
a)
b)
c)
d)
解:
a)
:
.=5,
对应于=5的特征向Su=,()对应于=—1的特征向量v=,()
det(E—A)==(—5)(+1)=0
b)detCE-A)=(+1)(+2)(-2)=0
A=一1,=2.=-2
对应于=—1的特征向Mul=,(
对应于=2的特征向量u2=,(
对应于=—2的特征向Mu3=,(
C)det(E—A)==(+1)2(—3)=0
/-=—1(二重〉,=3
=—1(二重)的特征向Mu=,=3的特征向MV=,()
对应于
对应于
d)
(E—A)==(+3)(+1)(+2)=0/-=—1,=—2,=—3
对应于=—1的特征向Sul=,对应于=—2的特征向量112=,对应于=—3的特征向量u3=•
det
4、
a)
c)
试求方程组=Ax的一个基解矩阵,并计算expAt.英中A为:
b)
d)
解Ja)det(E—A)=0得=,=—
对应于的特征向量为u=,(0)
对应于的特征向量为v=,()
v=是对应于,的两个线性无关的特征向量
①⑴=是一个基解矩阵
ExpAt=
b)由det(E-A)=0得=5,=-1
解得u=,v=是对应于,的两个线性无关的特征向量则基解矩阵为<1>0)=
◎(0)= 则cxpA(=①⑴e—1(0)= c)由del(E—A)=0得=2,=—2,=解得基解矩阵e(l)= 0-1(0)= 则expAt=①⑴①一1(0)= d)由del(E-A)=0得=一3,=2+,=2- 解得基解矩阵6(0= 则expAl=e—1(0)= 5、试求方程组=Ax的基解矩阵,并求满足初始条件 解: a)由第4题(b)知,基解矩阵为 所以 b)由第4题Cd)知,基解矩阵为 ①⑴= 所以 C) 由3(C〉可知,矩阵A的特征值为=3,=—1(二重) 对应的特征向量为ul= /-=+ 解得 6、 求方程组=Ax+f(t)的解: 解: a)令=Ax的基解矩阵为e⑴解得e(t)=,则<3>—1 (1)= ①一1(0)= 求得= =一2,=-3 b)由det(E-A)=0得=一1设对应的特征向量为V1,则 (E—A)vl=0r得vl= 取vl=,同理可得v2=,v3= 则e(U=从而解得 C)令二Ax的基解矩阵为①⑴由del(E—A)=0得=1,=2 解得对应的基解矩阵为(t)=/.0—1 (1)=从而0—1(0)= 7、假设m不是矩阵A的特征值。 试证非齐线性方程组 有一解形如 英中c,p是常数向量。 证: 要证是否为解,就是能否确泄常数向量P则P(mE—A)=c 由于m不是A的特征值 故 mE-A存在逆矩阵 那么p=c(niE-A)-I这样方程就有形如的解 8、 试证上面方程组等价于方程组『=Au,.K中,A= 试求a)中的方程组的基解矩阵 试求原方程组满足初始条件xl(0)=0,xr(0)=Lx2(0)=0 的解。 证: a)令则方程组①化为即『=『=Au① 反之,设xl=ul,xr=u2x2ni3则方程组②化为 b)由det(E—A)=0得=0,=1»=2 由得 同理可求得u2和113取 则是一个基解矩阵 C)令.则①化为等价的方程组①且初始条件变为而②满足此初始条件的解为: ③ 于是根据等价性,①满足初始条件的解为③式 9、试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。 证明: 略。 10、 求下列初值问题的解: 解: a)根据方程解得=,/.=t+f=—t+ 0+=1•••一0+=0.・•=0 综上J=1+1 b)对方程两边取拉普拉斯变换,得解得 C)对方程两边取拉普拉斯变换,得 11、假设y=是二阶常系数线性微分方程初值问题 的解,试证是方程 的解,这里f(X)为已知连续函数。 证明: y= Ty'=
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