最新名师精编高考数学经典试题50题 1.docx
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最新名师精编高考数学经典试题50题1
好题速递151
(2015湖北第17题)a为实数,函数
在区间
上的最大值记为
,当
_________时,
的值最小
解:
若
时,
在区间
上单调递增,故
若
,即
时,
若
,即
时,
在区间
上单调递增,
综上,
,故当
时,
取得最小值为
好题速递152
(2015重庆第14题)设实数
,
,则
的最大值为。
解法一:
即
当且仅当
且
,即
时,取得等号
解法二:
换元使得题干更清晰,设
则题目变为“实数
,
,求
的最大值。
利用不等式链条
,得
当且仅当
时取得等号
解法三:
三角换元,令
,且满足
则
当
时取得最大值
,且此时满足
解法四:
令
,则
,即
在
上有解
则
,
满足
或
解得
,且
故
的最大值为
好题速递153
(2015湖北理科第9题)已知集合
,
,
定义集合
,则
中元素的个数为
A.77B.49C.45D.30
解:
因为集合
,所以集合
中有5个元素(即5个点),即图中圆中的整点,集合
中有25个元素(即25个点),即图中正方形
中的整点,集合
中的元素表示
中的点向左、右、上、下方向移动一个单位,即
的元素可看作正方形
中的整点(除去四个顶点),即
个
好题速递154
(2015浙江理科第7题)存在函数
满足,对任意
都有()
A.
B.
C.
D.
解:
对A选项,取
,可知
,再取
,可知
,矛盾
对B选项,取
,可知
,再取
,可知
,矛盾
对C选项,取
,可知
,再取
,可知
,矛盾
对D选项,令
,所以
,符合题意,故选D
本题与浙江文科第8题异曲同工,都是考查函数概念的问题。
(2015浙江文科第8题)设实数
满足
,则()
A.若
确定,则
唯一确定B.若
确定,则
唯一确定
C.若
确定,则
唯一确定D.若
确定,则
唯一确定
解:
因为
,所以
,所以
,故当
确定时,
确定,所以
唯一确定,故选B。
好题速递155
(2015广东理科第8题)若空间中有
个不同的点两两距离都相等,则正整数
的取值
A.至多等于3B.至多等于4C.至多等于5D.可以大于5
解析显然正四面体的四个顶点之间的距离两两相等,因此至少有4个点.下面证明
不会大于4.若已有正四面体
,则第5个点
与其中三点
也可以构成正四面体
,相当于两个正四面体共底面
,但
正四面体边长,故不可能存在第5个点.
好题速递156
(2015全国文科第16题)已知
是双曲线
的右焦点,
是
左支上一点,
,当
周长最小时,该三角形的面积为.
解:
设双曲线的左焦点为
,由双曲线定义知
所以
周长为
由于
是定值,要使
周长最小,则
最小,即
三点共线
因为
,
,所以直线
的方程为
代入
整理得
,解得
或
(舍去)
所以
所以
好题速递157
(2015全国理科第16题)在平面四边形
中,
,
,则
的取值范围是.
解:
如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合于E点时,AB最长,在
中,
,
,
,
由正弦定理可得
,即
,解得
,
平移AD,当D与C重合时,AB最短,此时与AB交于F,在
中,
,
,
由正弦定理知,
,即
,解得
所以AB的取值范围为
好题速递158
(2015天津理科第8题)已知函数
,函数
,其中
,若函数
恰有4个零点,则
的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
解:
由
得
,
所以
,
即
所以
恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解,即函数
与函数
的图象的4个公共点,由图象可知
(2015天津文科第8题)已知函数
,函数
,则函数
的零点的个数为.
解:
当
时,
,此时方程
的小于0的零点为
当
时,
,方程
无零点
当
时,
,
方程
有一个大于2的根
故共有2个零点.
好题速递159
(2015上海理科第13题)已知函数
,若存在
满足
,且(
),则
的最小值为.
解:
因为对任意
和任意
都有
由
知
但当
时,必须使
则
依次取
,不合题意
当
时,
依次取
可满足题意,所以
的最小值为8
好题速递160
(2015江苏第13题)已知函数
,
,则方程
的实根个数为.
解:
作出函数
与
的图象,观察共有4个交点。
好题速递161
(2015湖北理科第8题)将离心率为
的双曲线
的实半轴长
和虚半轴长
同时增加
个单位长度,得到离心率为
的双曲线
,则
A.对任意的
,
B.当
时,
;当
时,
C.对任意的
,
D.当
时,
;当
时,
解:
不妨设双曲线
的焦点在
轴上,即其方程为
,
双曲线
,
当
时,
,
所以
,即
当
时,
,
所以
,即
故选D
评注:
这是糖水不等式的应用。
好题速递162
(2015上海理科第14题)在锐角
中,
,
为
边上的点,
与
的面积分别为2和4,过
分别作
于
,
于
,则
.
解:
如图,由
得
①
由
得
②
由
得
而
,
得
③
由①②③可得
,
所以
好题速递163
(2015上海文科第13题)已知平面向量
满足
,且
,则
的最大值是.
解:
,当且仅当
同向时取等号。
由
得
当
分别为1,2,3时,
分别为
故
好题速递164
函数模块1.设二次函数
,已知对于任意
,恒有
和
成立,则
.
解:
在
中令
,可产生
因为
且
恒成立,所以
因为
且
恒成立,所以
从而
,所以
,即
,得
好题速递165
函数模块2.已知定义在
上的函数
满足
,且
,
,则方程
在区间
上的所有实根之和为.
解:
由题意知,
函数
的周期为2,则
与
在区间
上的图象如右图所示
由上图可知,函数
与
在区间
上的交点为
,易知点
的横坐标为
,若设
的横坐标为
,则点
的横坐标为
,所以
在区间
上的所有实数根之和为
好题速递166
函数模块3.设
的定义域为
,若
满足条件:
存在
,使得
在
上的值域是
,则称
为“半缩函数”.若函数
为“半缩函数”,则
的取值范围是.
解:
为单调递增函数
由已知由
,即
变形得
,令
,进一步转化为
与
两个函数图象的交点,结合图象,可得
【点评】本题是函数两域一致问题的应用.
好题速递167
函数模块4.已知
为正实数,函数
,且对任意
,都有
成立.若对每一个正实数
,记
的最大值为
,则函数
的值域是.
解:
作出
的图象,由图象可知
当
,即
时,
,即
当
,即
时,
,且
解得
(舍去)或
,即
所以
,故
的值域是
【点评】这里“对任意
,都有
恒成立”与“当
时,
的值域为
”是不一样的.一个是恒成立问题,一个是值域问题,注意区分.
好题速递168
函数模块
5.已知
,若关于
的方程
有4个不同的实数根,且所有实数根之和为2,则
的取值范围是.
解:
构造
,显然
可知
的图象关于
对称,
与
的图象四个横坐标之和应为
,故
由此可知,当
时满足条件.
好题速递169
函数模块6.当且仅当
(其中
)时,函数
的图象在函数
的图象下方,则
的取值范围是.
解:
令
,
画出图象如图
当直线
分别与
,
相切时,
直线
分别与
相切时,
结合图象可知,
直线
,符合题意
又
是方程
的两个根;
是方程
的两个根
所以
,
所以
【点评】这个题目难度很大,不过其中带给我们的启示是将方程的根问题转变为两个能方便画图的函数看交点的问题。
两个函数图象一般是一个定,一个动。
好题速递170
三角模块1.设函数
,存在
使得
和
成立,则
的取值范围是.
解:
由
可知
,即
,且
所以
,所以
所以
,所以
当
时,
,所以
当
时,
,所以
综上,
三角模块2.设
中的内角
所对边为
,且
,则
的最大值是.
解:
由
所以
好题速递171
三角模块3.
两点在
的边
上,
,若
,且
,则
的最大值为.
解:
取
中点为
,则
,
又
,所以
所以
所以
【点评】本题是“平行四边形四边平方和等于对角线平方和”性质的应用,它是极化恒等式的对偶式.
已知a,b是两个向量,则(a+b)2=a2+2ab+b2①
(a-b)2=a2-2ab+b2②
①-②得“极化恒等式”:
4a·b=(a+b)2-(a-b)2.
①+②得“平行四边形对角线性质”:
2(|a|2+|b|2)=(a+b)2+(a-b)2.
平行四边形对角线性质公式揭示的是平行四边形对角线的平方和等于其四边和的平方.
好题速递172
三角模块4.在
中,若
,则
的最大值为.
解法一:
胆子大!
,故
当
解法二:
所以
,所以
因为若
,则
,
均为钝角,不可能,故
所以
好题速递173
三角模块5.在
中,
,
,
是角平分线,且
,则当
取最小值时
.
解:
设
,
,
由角平分线定理得
所以
,即
故
又
,所以
再由余弦定理得
当且仅当
时,
,所以
好题速递174
三角模块6.如图,已知正
边长为
,点
为
外接圆的劣弧
上一点,记
与
的面积分别为
,则
的最大值为.
解法一:
设
,则
在
中,由余弦定理得
即
①
在
中,由余弦定理得
即
②
①—②得
即
故
所以
解法二:
设
,则
在
中,
,
,
由正弦定理得
于是
故
后续同解法一.
解法三:
如图建系,有
,
,
,于是圆方程为
直线
的方程为
,直线
的方程为
,
设
记
,
故
故当
时,
好题速递175
不等式模块1.已知
为正实数,则
的最大值为.
解:
当且仅当
时取得等号.
评注:
齐次化的应用
好题速递176
不等式模块2.设实数
满足
,则
的取值范围是.
解:
当
同号时,
当
异号时,
评注:
齐次化的应用,因为齐次的启发,才有
这一步。
好题速递177
不等式模块3.已知
为正实数,且
,则
的最小值为.
解法一:
解法二:
令
,
,则题目变为
若
,则
评注:
换元法有助于简化问题,看穿本质。
好题速递178
不等式模块4.设正实数
满足
,
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