精选江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I29函数模型及其应用教师用书理苏教版.docx
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第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用教师用书理苏教版
1.几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数且a≠0)
反比例函数模型
f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)=blogax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax 【知识拓展】 1.解函数应用题的步骤 2.“对勾”函数 形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增, 在[-,0)和(0,]上单调递减. (2)当x>0时,x=时取最小值2, 当x<0时,x=-时取最大值-2. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( √ ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x0,使 < (4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.( √ ) (5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × ) 1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚270元,那么每台彩电原价是________元. 答案 2250 解析 设每台原价是a元,则a(1+40%)·80% =a+270,解得a=2250. 2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克,油从管道中匀速流出,200分钟流尽,油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________. 答案 y=22-x(0≤x≤200) 解析 流速为=,x分钟可流x, 则y=22-x(0≤x≤200). 3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________. 答案 -1 解析 设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q), ∴x=-1. 4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________. 答案 3 解析 设隔墙的长度为x(0 ∴当x=3时,y最大. 5.(教材改编)有两个相同的桶,由甲桶向乙桶输水,开始时,甲桶有aL水,tmin后,剩余水yL满足函数关系y=ae-nt,那么乙桶的水就是y=a-ae-nt,假设经过5min,甲桶和乙桶的水相等,则再过________min,甲桶中的水只有L. 答案 10 解析 由题意可得,5min时,ae-5n=a,n=ln2, 那么 =a,∴t=15,即再过10min,甲桶中的水只有L. 题型一 用函数图象刻画变化过程 例1 某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①所示;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②所示(单位: 万元). 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式. 解 设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元. 由题意设f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2(x≥0). 由图①知f (1)=,∴k1=. 由图②知g(4)=,∴k2=. ∴f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0). 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法: 当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法: 当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 解 (1)设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(300,35),C(300,15)分别代入得k1=,k2=. ∴y1=x+29,y2=x. (2)令y1=y2,即x+29=x,得x=966. 当x=966时,两种卡收费一致; 当x<966时,y1>y2,即“如意卡”便宜; 当x>966时,y1<y2,即“便民卡”便宜. 题型二 已知函数模型的实际问题 例2 我们知道: 人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L1表示,它们满足以下公式: L1=10lg(单位为分贝,L1≥0,其中I0=1×10-12,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答下列问题: (1)树叶沙沙声的强度是1×10-12W/m2,耳语的强度是1×10-10W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8W/m2,试分别求出它们的强度水平; (2)某一新建的安静小区规定: 小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求声音强度I的范围为多少? 解 (1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为 L2=10lg=10lg1=0(分贝); 耳语的强度水平为 L3=10lg=10lg102=20(分贝); 恬静的无线电广播的强度水平为 L4=10lg=10lg104=40(分贝). (2)由题意知0≤L1<50,即0≤10lg<50, 所以1≤<105,即1×10-12≤I<1×10-7. 所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10-12W/m2,同时小于1×10-7W/m2. 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. (1)某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg. (2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%),则每年销售量将减少10x万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为________. 答案 (1)19 (2)2 解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30x-570=0,解得x=19. (2)由分析可知,每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100-10x)·70·,令104·(100-10x)·70·≥112×104,解得2≤x≤8.故x的最小值为2. 题型三 构造函数模型的实际问题 命题点1 构造二次函数模型 例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了赚得最大利润,每个售价应定________元. 答案 95 解析 设每个售价定为x元,则利润y=(x-80)·[400-(x-90)·20]=-20[(x-95)2-225]. ∴当x=95时,y最大. 命题点2 构造指数函数、对数函数模型 例4 光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)至少通过多少块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下? (参考数据: lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) 解 (1)光线通过1块玻璃后,强度y=(1-10%)k=0.9k; 光线通过2块玻璃后,强度y=(1-10%)·0.9k=0.92k; 光线通过3块玻璃后,强度y=(1-10%)·0.92k=0.93k; …… 光线通过x块玻璃后,强度y=0.9xk. 故y关于x的函数解析式为y=0.9xk(x∈N*). (2)由题意,得0.9xk<, 即0.9x<,两边取对数,得xlg0.9 因为lg0.9<0,所以x>. 又===≈13.14, 且x∈N*,所以xmin=14. 故至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下. 命题点3 构造分段函数模型 例5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位: 千米/小时)是车流密度x(单位: 辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明: 当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时) 解 (1)由题意可知当0≤x<20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,显然v(x)=ax+b在[20,200]上是减函数,由已知得解得 故函数v(x)的表达式为 v(x)= (2)依题意并由 (1)可得 f(x)= 当0≤x<20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20≤x≤200时,f(x)=x(200-x)≤[]2=,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立,所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约3333辆/小时. 思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制. (1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时) (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为20000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)=则总利润最大时,该门面经营的天数是________. 答案 (1)5 (2)300 解析 (1)设经过x小时才能开车. 由题意得0.3(1-25%)x≤0.09, ∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5. (2)由题意,总利润 y= 当0≤x≤400时,y=-(x-300)2+25000, 所以x=300时,ymax=25000, 当x>400时,y=60000-100x<20000, 综上,当该门面经营的天数为300时,总利润最大为25000元. 2.函数应用问题 典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万美元,且R(x)= (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润. 思维点拨 根据题意,要利用分段函数求最大利润.列出解析式后,比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论. 规范解答 解 (1)当0 =-6x2+384x-40,[3分] 当x>40时,W=xR(x)-(16x+40) =--16x+7360. 所以W=[5分] (2)①当0 所以Wmax=W(32)=6104;[8分] ②当x>40时,W=--16x+7360, 由于+16x≥2=1600, 当且仅当=16x,即x=50∈(40,+∞)时,取等号, 所以W取最大值为5760.[12分] 综合①②知,当x=32时,W取得最大值6104万美元.[14分] 解函数应用题的一般程序 第一步: (审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步: (建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步: (解模)求解数学模型,得到数学结论; 第四步: (还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义; 第五步: (反思)对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 1.某商品定价为每件60元,不加收附加税时年销售量约80万件,若征收附加税,税率为p,且年销售量将减少p万件.则每年征收的税金y关于税率p的函数关系为________. 答案 y=60(80-p)p 解析 征收附加税后年销售为(80-p)万件,故每年征收的税金y=60(80-p)p. 2.某工厂6年来生产某种产品的情况是: 前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________. 答案 ① 解析 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有①,③图象符合要求,而后3年年产量保持不变. 3.(教材改编)某市出租车收费标准如下: 起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km. 答案 9 解析 出租车行驶不超过3km,付费9元;出租车行驶8km,付费9+2.15×(8-3)=19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,故出租车行驶里程超过8km,且22.6-19.75=2.85,所以此次出租车行驶了8+1=9km. 4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定: 每位职工每月用水不超过10m3的,按每立方米m元收费;用水超过10m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为________m3. 答案 13 解析 设该职工用水xm3时,缴纳的水费为y元,由题意得y= 则10m+(x-10)·2m=16m, 解得x=13. 5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0 答案 16 解析 由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元), 分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t, 则由 解得0 因为x∈N*,所以x的最大值为16. 6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位: 万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位: 万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位: 辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是________万元. 答案 43 解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-)2+0.1×+32. 因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元. 7.(2016·四川改编)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) 答案 2019 解析 设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12=≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2019年. 8.(2016·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位: 小时,y表示病毒个数),则k=__________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln2 1024 解析 当t=0.5时,y=2,∴2= , ∴k=2ln2,∴y=e2tln2, 当t=5时,y=e10ln2=210=1024. 9.(2016·淮安模拟) 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m. 答案 20 解析 设内接矩形另一边长为y, 则由相似三角形性质可得=, 解得y=40-x, 所以面积S=x(40-x)=-x2+40x =-(x-20)2+400(0 当x=20时,Smax=400. *10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0 答案 解析 依题意得x=,(c-a)2=(b-c)(b-a), ∵b-c=(b-a)-(c-a), ∴(c-a)2=(b-a)2-(b-a)(c-a), 两边同除以(b-a)2,得x2+x-1=0, 解得x=. ∵0 11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位: m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a、b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s. (1)求出a、b的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0, 即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s,故a+blog3=1,整理得a+2b=1. 解方程组得 (2)由 (1)知,v=-1+log3.所以要使飞行速度不低于2m/s,则有v≥2,即-1+log3≥2,即log3≥3,解得Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 12.经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)=-2t+200(1≤t≤50,t∈N).前30天价格为g(t)=t+30(1≤t≤30,t∈N),后20天价格为g(t)=45(31≤t≤50,t∈N). (1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系; (2)求日销售额S的最大值. 解 (1)依题意得 S= 即S= (2)①当1≤t≤30,t∈N时,S=-(t-20)2+6400, ∴当t=20时,S取得最大值为6400. ②当31≤t≤50,t∈N时, S=-90t+9000为递减函数, ∴当t=31时,S取得最大值为6210. 综上知,当t=20时,日销售额S有最大值6400. *13.(2016·常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位: 万人)与x的关系近似地满足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位: 元)与x的近似关系是q(x)= (1)写出2016年第x个月的旅游人数f(x)(单位: 人)与x的函数关系式; (2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大? 最大月旅游消费总额为多少万元? 解 (1)当x=1时,f (1)=p (1)=37, 当2≤x≤12,且x∈N*时, f(x)=p(x)-p(x-1) =x(x+1)(39-2x)-(x-1)x(41-2x) =-3x2+40x, 验证x=1也满足此式, 所以f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12). (2)第x个月旅游消费总额为 g(x)= 即g(x)= ①当1≤x≤6,且x∈N*时, g′(x)=18x2-370x+1400,令g′(x)=0, 解得x=5或x=(舍去). 当1≤x<5时,g′(x)>0, 当5 ∴当x=5时,g(x)max=g(5)=3125(万元). ②当7≤x≤12,且x∈N*时,g(x)=-480x+6400是减函数, ∴当x=7时,g(x)max=g(7)=3040(万元). 综上,2016年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为3125万元. 14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30km(忽略内、外环线长度差异). (1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10min,求内环线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25km/h,外环线列车平均速度为30km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行,问: 要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短,则内、外环线应各投入几列
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