8小升初分班奥数工程问题之牛吃草问题解析.docx
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8小升初分班奥数工程问题之牛吃草问题解析
精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号:
学员编号:
年级:
小六课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
奥数学科教师:
课题
牛吃草问题
授课时间:
备课时间:
教学目标
掌握牛吃草问题的基本运算公式,会解决牛吃草问注意草在不断地增长的问题,将动态问题转化成固定的状态。
重点、难点
1.牛吃草关键是要求两个量:
(1)草的生长速度
(2)原有草量
2.牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率
教学内容
【专题知识点概述】
牛吃草问题的概念:
英国伟大的科学家牛顿,曾经写过一本数学书。
书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目,后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”,也就是我们今天要学的牛吃草问题。
牛吃草问题实际上是在教我们一种分析题的思想,这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点
“牛顿问题”是这样的:
“有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。
如果养牛21头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢?
并且牧场上的草是不断生长的。
”分析本题就给了牛的头数,和吃草的时间。
设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了,所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式:
(1草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较
少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数
(2原有草量=(牛头数-草的生长速度×吃的天数
(3吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度
(4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
【授课批注】
关于牛吃草这样的题有很多的变例,像抽水问题,超市开口人等待问题,扶梯行走,行程中的追及问题等等,所以不提倡大家生搬这个公来做题,要理解解题的思路和解题的目的,用画图或列表法来解题。
才能做到举一反三。
本讲主要解决纯牛吃草问题,关于牛吃草变型题我们留下以后解决。
解决“牛吃草”问题的步骤可以概括为三步:
1、 设定1头牛1天吃草量为“1”;
2、 列出表格,分别表示牛的数量、时间总量、草的总量(原有总量+一定时间内变化的量),根据表格求出草的生长速度和草的总量;也可以画图来解题。
3、 根据每头牛单位时间吃草数量和草的生长速度不变这一关系根据题目要求解题。
【习题精讲】
【例1】(难度等级※)
牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长。
这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。
供25头牛可吃几天?
【分析与解】
(方法一)设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件将它们转化为如下形式方便分析(这种方法叫列表分析)
10头牛20天10×20=200:
原有草量+20天生长的草量
15头牛10天15×10=150:
原有草量+10天生长的草量
从上易发现:
20-10=10天生长的草量=200-150=50,即1天生长的草量=50÷10=5;
那么原有草量:
200-5×20=100或150-5×10=100。
25头牛里,若有5头牛去吃每天生长的草,剩下20头牛需要100÷20=5(天)可将原有草吃完,即它可供25头牛吃5天。
(方法二)画图法:
从右面的图可以看出:
10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多,多出部分相当于10天新生长
(份),则这块牧场每天新长
(份)牧草。
在第一种情况中,20天一共新长了
(份)牧草,而牛一共吃了
(份),说明原来有牧草
(份)。
25头牛每天消耗25份牧草,不仅将新长的5份吃完,还将从原有的牧草中消耗出的草量。
设1头牛1天吃1份草,则10头牛20天比15头牛10天多吃掉
(份),那么原有牧草可维持
(天),即可供25头牛吃5天。
【举一反三】(难度等级※)
1、一牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周。
那么可供21头牛吃几周?
【分析与解】
根据题意得
草的生长速度=(23×9-27×6÷(9-6=15
原有草量=(27-15×6=72
所以21头吃的天数=72÷(21-15=12(天
2、有一块匀速生长的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天.那么它可供几头牛吃20天?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件将它们转化为如下形式方便分析
12头牛25天12×25=300:
原有草量+25天生长的草量
24头牛10天24×10=240:
原有草量+10天生长的草量
从上易发现:
25-10=15天生长的草量=300-240=60,即1天生长的草量=60÷15=4;
那么原有草量:
240-4×10=200;
20天里,共草场共提供草200+4×20=280,可以让280÷20=14(头)牛吃20天。
【例2】(难度等级※※)
由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。
那么,可供11头牛吃几天?
【分析与解】
根据题意得
草减少的速度=(20×5-16×6÷(6-5=4
原有草量=(20+4×5=120
所以11头吃的天数=120÷(11+4=8(天
【举一反三】(难度等级※※)
由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可以供多少头牛吃10天?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
20头牛5天20×5=100:
原有草量-5天自然减少的草量
15头牛6天15×6=90:
原有草量-6天自然减少的草量
从上容易发现:
1天自然减少的草量=10;
那么原有草量:
100+5×10=150;10天吃完需要牛的头数是:
150÷10-10=5(头)。
说明:
本题草每天在减少,通过两组条件的比较,求出每天牧草的减少量,然后把牛看作两部分,一部分是看得见的牛,一部分是看不见的牛“寒冷的化身”,分别计算,最后求差。
【例3】(难度等级※※)
一片草地,可供5头牛吃30天,或者可供4头牛吃40天,如果4头牛吃30天,又增加了2头牛一起吃,还可以再吃几天?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
5头牛30天5×30=150=原有草量+30天生长草量
4头牛40天4×40=160=原有草量+40天生长草量
从上易发现:
1天生长的草量=1;那么原有草量:
150-30=120;
如果4头牛吃30天,那么将会吃去120=30新生长草量+90原有草量;
而后变成6头牛,原有还有120-90=30未吃掉,现在就相当于:
“原有草量30,每天生长草量1,那么6头牛吃几天可将它吃完?
”易得答案是:
30÷(6-1)=6(天)。
【举一反三】(难度等级※※)
有一牧场,17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下牛再吃两天便将草吃完.问:
原来有多少头牛吃草(草均匀生长?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
17头牛30天17×30=510=原有草量+30天生长草量
19头牛24天19×24=456=原有草量+24天生长草量
从上易发现:
1天生长草量=9,原有草量为:
240 ;
设原来有x头牛吃草,根据题意可得:
240+(6+2)×9=6x+(x-4)×2;
解得:
x=40(头)。
所以原来有40头牛吃草。
【例4】(难度等级※※※)
一块匀速生长的草地,可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,那么这块草地可供lO头牛和75只羊一起吃多少天?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
16头牛20天16×20=320:
原有草量+20天生长的草量
100只羊(20头牛)12天20×12=240:
原有草量+12天生长的草量
从上易发现:
8(=20-12)天生长的草量=320-240=80,即1天生长的草量=10;
那么原有草量:
320-20×10=120;
lO头牛和75只羊1天一起吃的草量,相当于25头牛一天吃的草量;
25头牛中,若有10头牛去吃每天生长的草,那么剩下的15头牛需要120÷15=8天可以把原有草量吃完,即这块草地可供lO头牛和75只羊一起吃8天。
【举一反三】(难度等级※※※)
一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
16头牛15天16×15=240:
原有草量+15天生长的草量
100只羊(25头牛)6天25×6=150:
原有草量+6天生长的草量
从上易发现:
1天生长的草量=10;那么原有草量:
150-10×6=90;
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量,其中10头牛去吃新生草,那么剩下的10头牛吃原有草90只需9天,所以8头牛与48只羊一起吃,可以吃9天。
【例5】(难度等级※※※)
一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽;如果让马和羊去吃,20天将草吃尽;如果让牛和羊去吃,30天将草吃尽。
已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。
现在让马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽?
【分析与解】
设1头马1天吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
马和牛 15天 15天马和牛吃草量=原有草量+15天新长草量 (1)
马和羊 20天 20天马和羊吃草量=原有草量+20天新长草量 (2)
牛和羊(同马) 30天 30马(牛和羊)吃=原有草量+30天新长草量 (3)
由(1)×2-(3)可得:
30天牛吃草量=原有草量 牛每天吃草量=原有草量÷30;
由(3)分析知道:
30天羊吃草量=30天新长草量,羊每天吃草量=每天新长草量;
讲分析的结果带入
(2)得:
原有草量=20,带入(3)30天牛吃草量=20得牛每天吃草量=
这样如果马、牛和羊一起吃,可以让羊去吃新生草,马和牛吃原有草可以吃:
20÷(1+
)=12(天)
【举一反三】(难度等级※※※)
现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间?
【分析与解】
我们注意到:
牛、马45天吃了原有+45天新长的草①
牛、马90天吃了2原有+90天新长的草⑤
马、羊60天吃了原有+60天新长的草②
牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③
马90天吃了原有+90天新长的草④
所以,由④、⑤知,牛吃了90天,吃了原有的草;再结合③知,羊吃了90天,吃了90天新长的草,所以,可以将羊视为专门吃新长的草.
所以,②知马60天吃完原有的草,③知牛90天吃完原有的草.
现在将牛、马、羊放在一起吃;还是让羊吃新长的草,牛、马一起吃原有的草.
所需时间为l÷
=36天.
所以,牛、羊、马一起吃,需36天.
【例6】(难度等级※※※)
有一块1200平方米的牧场,每天都有一些草在匀速生长,这块牧场可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,另有一块3600平方米的牧场,每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同,问这片牧场可供75头牛吃多少天?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
10头牛20天10×20=200:
原有草量+20天生长的草量
15头牛10天15×10=150:
原有草量+10天生长的草量
从上易发现:
1200平方米牧场上20-10=10天生长草量=200-150=50,即1天生长草量=50÷10=5;
那么1200平方米牧场上原有草量:
200-5×20=100或150-5×10=100。
则3600平方米的牧场1天生长草量=5×(3600÷1200)=15;原有草量:
100×(3600÷1200)=300.
75头牛里,若有15头牛去吃每天生长的草,剩下60头牛需要300÷60=5(天)可将原有草吃完,即它可供75头牛吃5天。
【举一反三】(难度等级※※)
东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天。
在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,6天中可供多少头牛吃草?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
18头牛16天18×16=288:
原有草量+16天自然减少的草量
27头牛8天27×8=216:
原有草量+8天自然减少的草量
从上易发现:
2000平方米的牧场上16-8=8天生长草量=288-216=72,即1天生长草量=72÷8=9;
那么2000平方米的牧场上原有草量:
288-16×9=144或216-8×9=144。
则6000平方米的牧场1天生长草量=9×(6000÷2000)=27;原有草量:
144×(6000÷2000)=432.
6天里,共草场共提供草432+27×6=594,可以让594÷6=99(头)牛吃6天。
【例7】(难度等级※※※)
有甲,乙两块匀速生长的草地,甲草地的面积是乙草地面积的三倍。
30头牛12天能吃完甲草地上的草,20头牛拿4天能吃完乙草地的草。
问几头牛10天能同时吃完两快草地上的草?
【分析与解】
设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析,根据甲的面积是乙的3倍可以将关系(将乙看成1份,则甲就是3份)为:
30头牛12天30×12=360:
甲原有草量+12天甲地自然增加的草量
转化为:
10头牛12天10×12=120:
乙原有草量+12天乙地自然增加的草量
20头牛4天20×4=80:
乙原有草量+4天乙地自然增加的草量
从上表中可以看出(12-4)=8天运乙第长草量为(120-80)=40,即1天乙地长草量为为40÷8=5;乙第的原有草量为:
120-5×12=60;则甲乙两地1天的新生草为:
5×4=20,原有草量为:
60×4=240;10天甲乙两地共提供青草为:
240+20×10=440,需要:
440÷10=44(头)牛。
【举一反三】(难度等级※※※)
有三块草地,面积分别为5公顷、15公顷和24公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天.问:
第三块草地可供多少头牛吃80天?
【分析与解】
(方法一)设1头牛1天吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
10头牛30天吃掉10×30=300份,说明:
1公顷牧场30天提供300÷5=60份草:
1公顷原有草量+30天1公顷新生草量
28头牛45天吃掉28×45=1260份,说明
1公顷牧场45天提供1260÷15=84份草:
1公顷原有草量+45天1公顷新生草量
每公顷牧场45-30=15天多提供84-60=24份草,说明1公顷牧场1天的草生长量为24÷15=1.6份,1公顷原有草量=60-1.6×30=12。
1天24公顷新生草=1.6×24=38.4;24公顷原有草=12×24=288
那么80天24公顷可提供草:
288+38.4×80=3360;所以共需要牛的头数是:
3360÷80=42(头)牛。
(方法二)现在是3块面积不同的草地,解决这个问题,只需将3块草地的面积统一起来就可以了!
[5,15,24]=120,设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析,
原条件:
5公顷10头牛30天
15公顷28头牛45天
可转化为:
120公顷240头牛30天240×30=7200:
120公顷原有草量+30天120公顷新生草量120公顷224头牛45天224×45=10080:
120公顷原有草量+45天120公顷新生草量
从上易得:
1天120公顷新生草量=192;120公顷原有草量=7200-30×192=1440;
则1天24公顷新生草量=192÷5=38.4,24公顷原有草量=1440÷5=288;
那么80天24公顷可提供草:
288+38.4×80=3360;所以共需要牛的头数是:
3360÷80=42(头)牛。
【例8】(难度等级※※※)
一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场.三块牧场上的草长得一样密,而且长得一样快.农夫将8头牛赶到2公顷的牧场,牛5天吃完了草;如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场,牛15天可吃完草.问:
若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场,这块牧场够这些牛吃几天?
【分析与解】
(方法一)设1头牛1天吃草量为“1”,可以将不同的公顷数统计为单位量“1”公顷来解决。
原条件:
2公顷8头牛5天
4公顷8头牛15天
可转化为:
相当于把2公顷草地分割成2块每块一公顷有4头牛来吃,所以吃的时间不变,相当于把4公顷草地分割成4块每块一公顷有2头牛来吃,所以吃的时间不变
1公顷4头牛5天4×5=20:
1公顷原有草量+5天1公顷新生草量
1公顷2头牛15天2×15=30:
1公顷原有草量+15天1公顷新生草量从上易得:
1天1公顷新生草量=(30-20)÷(15-5)=1;1公顷原有草量=20-1×5=15;
1天6公顷新生草量=1×6=6;6公顷原有草量=15×6=90
8头牛里,若有6头牛去吃每天生长的草,剩下2头牛需要90÷2=45(天)可将原有草吃完,即它可供8头牛吃45天。
(方法二)设1头牛1天吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
8头牛5天吃掉8×5=40份,说明:
1公顷牧场5天提供40÷2=20份草:
1公顷原有草量+5天1公顷新生草量
8头牛15天吃掉8×15=120份,说明
1公顷牧场15天提供120÷4=30份草:
1公顷原有草量+15天1公顷新生草量
每公顷牧场15-5=10天多提供30-20=10份牧草,说明1公顷牧场1天的牧草生长量为10÷10=1份,1公顷原有草量=20-1×5=15。
1天6公顷新生草量=1×6=6;6公顷原有草量=15×6=90
8头牛里,若有6头牛去吃每天生长的草,剩下2头牛需要90÷2=45(天)可将原有草吃完,即它可供8头牛吃45天。
【举一反三】(难度等级※※※※)
有三块草地,面积分别是4公顷、8公顷和10公顷.草地上的草一样厚而且长得一样快.第一块草地可供24头牛吃6周,第二块草地可供36头牛吃12周.问:
第三块草地可供50头牛吃几周?
【分析与解】
设1头牛1周吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
24头牛6周吃掉24×6=144份,说明:
1公亩牧场6周提供144÷4=36份草:
1公顷原有草量+6周1公顷新生草量
36头牛12周吃掉36×12=432份,说明
1公亩牧场12周提供432÷8=54份草:
1公顷原有草量+12周1公顷新生草量
每公亩牧场12-6=6周多提供54-36=18份草,说明1公亩牧场1周的草生长量为18÷6=3份,1公顷原有草量=36-3×6=18。
1天10公顷新生草=3×10=30;10公顷原有草=18×10=180;
50头牛中,若有30头牛去吃每天生长的草,那么剩下的20头牛需要180÷20=9周可以把原有草量吃完,即这块草地可供50头牛吃9周。
【例9】(难度等级※※※※)
17头牛吃28公亩的草,84天可以吃完;22头牛同样牧场33公亩的草54天可吃完,几头牛吃同样牧场40公亩的草,24天可吃完?
(假设每公亩牧草原草量相等,且匀速生长
【分析与解】
设1头牛1天吃1份牧草。
22头牛54天吃掉
份,说明每公亩牧场54天提供
份牧草;
17头牛28天吃掉
份,说明每公亩牧场84天提供
份牧草。
每公亩牧场
天多提供
份牧草,说明每公亩牧场每天的牧草生长量为
份,原有草量为
份。
如果是40公亩的牧场,原有草量为
份,每天新长出
份,24天共计提供牧草
份,可供
头牛吃24天。
【作业】
1.有一块草地,若放养15头牛,60天刚好将草全部吃完,若放养35头牛,则20天刚好将草全部吃完。
那么若放养45头牛。
多少天刚好将草吃完?
(草地上每天生长的草量相同,每头牛每天吃草量相同)
【答案】15
2.一片青草,每天生长的速度相同,如果24头牛6天可把草吃完,或者20头牛10天可以把草吃光.那么多少头牛12天可以把草吃尽?
【答案】19
3.(三帆中学阶段测试)由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供40头牛吃5天,或可供30头牛吃6天.照此计算,可以供多少头牛吃10天?
【答案】10
4.东升牧场南面一块2公顷的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供27头牛吃6天,或者供23头牛吃9天。
在东升牧场的西侧有一块6公顷的牧场有63头牛,那么几天可以将草吃尽?
【答案】12
5.三块牧场,场上的草长得一样密,而且长得一样快,它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。
第一块牧场饲养12头牛,可以维持4周;第二块牧场饲养20头牛,可以维持8周。
问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周?
【答案】4
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