高考数学理科一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案.docx

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高考数学（理科）一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　学案29　等差数列及其前n项和

　　导学目标：

1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．

　　自主梳理

　　．等差数列的有关定义

　　一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________．

　　数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________．

　　2．等差数列的有关公式

　　通项公式：

an＝________，an＝am＋________．

　　前n项和公式：

Sn＝__________＝____________.

　　3．等差数列的前n项和公式与函数的关系

　　Sn＝d2n2＋a1－d2n.

　　数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝__________.

　　4．等差数列的性质

　　若m＋n＝p＋q，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________.

　　等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

　　等差数列的单调性：

若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________．

　　自我检测

　　．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为

　　A．130

　　B．260

　　c．156

　　D．168

　　2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于

　　A．1

　　B.53

　　c．2

　　D．3

　　3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于

　　A．1

　　B．－1

　　c．2

　　D.12

　　4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于

　　A．12

　　B．13

　　c．14

　　D．15

　　5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.

　　探究点一　等差数列的基本量运算

　　例1　等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，

　　求通项an；

　　若Sn＝242，求n.

　　变式迁移1　设等差数列{an}的公差为d，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.

　　探究点二　等差数列的判定

　　例2　已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1，数列{bn}满足bn＝1an－1．

　　求证：

数列{bn}是等差数列；

　　求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．

　　变式迁移2　已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1．

　　求a2，a3的值．

　　是否存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列？

若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

　　探究点三　等差数列性质的应用

　　例3　若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．

　　变式迁移3　已知数列{an}是等差数列．

　　前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；

　　若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；

　　若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

　　探究点四　等差数列的综合应用

　　例4　已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝12an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

　　变式迁移4　在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.

　　求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．

　　求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.

　　．等差数列的判断方法有：

　　定义法：

an＋1－an＝d⇔{an}是等差数列．

　　中项公式：

2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列．

　　通项公式：

an＝pn＋q⇔{an}是等差数列．

　　前n项和公式：

Sn＝An2＋Bn⇔{an}是等差数列．

　　2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．

　　3．要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋d，S2n－1＝an等．

　　4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定．

　　一、选择题

　　．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为

　　A．5

　　B．6

　　c．8

　　D．10

　　2．如果等差数列an中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝

　　A．14

　　B．21

　　c．28

　　D．35

　　3．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是

　　A．4

　　B．5

　　c．6

　　D．7

　　4．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为

　　A．14

　　B．15

　　c．16

　　D．17

　　5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是

　　A．S30是Sn中的最大值

　　B．S30是Sn中的最小值

　　c．S30＝0

　　D．S60＝0

　　题号

　　2

　　3

　　4

　　5

　　答案

　　二、填空题

　　6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.

　　7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.

　　8．在数列{an}中，若点在经过点的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________.

　　三、解答题

　　9．设{an}是一个公差为d的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a4.

　　证明：

a1＝d；

　　求公差d的值和数列{an}的通项公式．

　　0．已知等差数列{an}满足：

a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.

　　求an及Sn；

　　令bn＝1a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

　　1．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0．

　　证明数列{1an}是等差数列；

　　求数列{an}的通项；

　　若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

　　答案

　　自主梳理

　　．2　差　an＋1－an＝d　A＝a＋b2　等差中项

　　2．a1＋d　d　na1＋n2d　n2　3.An2＋Bn　4.am＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap　递增数列　递减数列　常数列

　　自我检测

　　．A　2.c　3.A　4.B　5.24

　　课堂活动区

　　例1　解题导引　等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．

　　解　由an＝a1＋d，a10＝30，a20＝50，

　　得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，　解得a1＝12，d＝2.

　　所以an＝2n＋10.

　　由Sn＝na1＋n2d，Sn＝242.

　　得12n＋n2×2＝242.

　　解得n＝11或n＝－22．

　　变式迁移1　解　由题意，知

　　S10＝10a1＋10×92d＝110，2＝a1•，即2a1＋9d＝22，a1d＝d2.

　　∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.

　　例2　解题导引　1.等差数列的判定通常有两种方法：

　　第一种是利用定义，即an－an－1＝d，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1．

　　2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．

　　通项法：

若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．

　　前n项和法：

若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式，则{an}为等差数列．

　　3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．

　　证明　∵an＝2－1an－1，bn＝1an－1，

　　∴当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1

　　＝12－1an－1－1－1an－1－1

　　＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.

　　又b1＝1a1－1＝－52.

　　∴数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．

　　解　由知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn

　　＝1＋22n－7，设函数f＝1＋22x－7，

　　易知f在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数．

　　∴当n＝3时，an取得最小值－1；

　　当n＝4时，an取得最大值3.

　　变式迁移2　解　∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，

　　a3＝2a2＋23－1＝33.

　　假设存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列．

　　设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.

　　∴2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23.

　　∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，

　　解得λ＝－1.

　　事实上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n

　　＝12n＋1[＋1]＝12n＋1[＋1]＝1.

　　综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{an＋λ2n}为首项为2、公差为1的等差数列．

　　例3　解题导引　本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：

若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想．

　　解　方法一　设此等差数列为{an}共n项，

　　依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①

　　an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.

　　②

　　根据等差数列性质，得

　　a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.

　　将①②两式相加，得＋＋＋＋＝5＝180，

　　∴a1＋an＝36.

　　由Sn＝n2＝36n2＝360，得n＝20.

　　所以该等差数列有20项．

　　方法二　设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，

　　则S5＝5a1＋5×42d＝34，①

　　Sn－Sn－5＝[nd2＋na1]－[a1＋2d]

　　＝5a1＋d＝146.②

　　①②两式相加可得10a1＋5d＝180，

　　∴a1＋n－12d＝18，

　　代入Sn＝na1＋n2d

　　＝na1＋n－12d＝360，

　　得18n＝360，∴n＝20.

　　所以该数列的项数为20项．

　　变式迁移3　解　依题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，

　　an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，

　　∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.

　　∴a1＋an＝884＝22.

　　∵Sn＝n2＝286，∴n＝26.

　　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，

　　∴S3n＝3＝54.

　　设项数为2n－1，则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则

　　S奇＝•n2＝n•an＝44，

　　S偶＝•2＝•an＝33，

　　∴nn－1＝43.

　　∴n＝4，an＝11.

　　∴数列的中间项为11，项数为7.

　　例4　解题导引　若{an}是等差数列，

　　求前n项和的最值时，

　　若a1>0，d<0，且满足an≥0an＋1≤0，前n项和Sn最大；

　　若a1<0，d>0，且满足an≤0an＋1≥0，前n项和Sn最小；

　　除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.

　　解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．

　　设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72，

　　得a1＋2d＝106a1＋15d＝72，∴a1＝2d＝4.

　　∴an＝4n－2.则bn＝12an－30＝2n－31.

　　解2n－31≤0，2－31≥0，得292≤n≤312.

　　∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值.∴S15最小．

　　可知b1＝－29，d＝2，

　　∴S15＝15×2＝－225.

　　方法二　同方法一求出bn＝2n－31.

　　∵Sn＝n2＝n2－30n＝2－225，

　　∴当n＝15时，Sn有最小值，且最小值为－225.

　　变式迁移4　解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

　　∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，

　　∴a17＝－12，∴d＝a17－a917－9＝3，

　　∴an＝a9＋•d＝3n－63，

　　an＋1＝3n－60，

　　令an＝3n－63≤0an＋1＝3n－60≥0，得20≤n≤21，

　　∴S20＝S21＝－630，

　　∴n＝20或21时，Sn最小且最小值为－630.

　　由知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．

　　当n≤21时，Tn＝－Sn＝－32n2＋1232n.

　　当n>21时，Tn＝Sn－2S21＝32n2－1232n＋1260.

　　综上，Tn＝－32n2＋1232n　　　32n2－1232n＋1260

　　.

　　课后练习区

　　．A　2.c　3.B　4.c　5.D

　　6．15　7.10　8.27

　　9．证明　∵{an}是等差数列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a22＝a1a4，于是2＝a1，即a21＋2a1d＋d2＝a21＋3a1d．化简得a1＝d.…………………………

　　解　由条件S10＝110和S10＝10a1＋10×92d，得到10a1＋45d＝110.

　　由知，a1＝d，代入上式得55d＝110，

　　故d＝2，an＝a1＋d＝2n.

　　因此，数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.…………………………………………

　　0．解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，

　　所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，

　　解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………

　　由于an＝a1＋d，Sn＝n2，

　　所以an＝2n＋1，Sn＝n．…………………………………………………………

　　因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n，

　　因此bn＝14n＝141n－1n＋1.………………………………………………………

　　故Tn＝b1＋b2＋…＋bn

　　＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1

　　＝141－1n＋1＝n4.

　　所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4.…………………………………………………

　　1．证明　将3anan－1＋an－an－1＝0整理得1an－1an－1＝3．

　　所以数列{1an}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………

　　解　由可得1an＝1＋3＝3n－2，

　　所以an＝13n－2.……………………………………………………………………………

　　解　若λan＋1an＋1≥λ对n≥2的整数恒成立，

　　即λ3n－2＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．

　　整理得λ≤3………………………………………………………………

　　令cn＝3

　　cn＋1－cn＝3n－3＝3n.………………………

　　因为n≥2，所以cn＋1－cn>0，

　　即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝283.

　　所以λ的取值范围为