《矩形正方形》习题精选及参考答案.docx
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《矩形正方形》习题精选及参考答案
《矩形、正方形》习题精选及参考答案3
习题一
选择题:
1.下列四边形不一定是矩形的是( )
A.四个角都相等的四边形
B.对角线互相平分且相等的四边形
C.一个角是直角的平行四边形
D.有两个角是直角的四边形
2.如图,矩形纸片ABCD中,AD=10cm,AB=8cm,把纸片沿AE折叠,使点D落在BC边的点F处,则折痕AE的长为( )
A.5
cm B.5cm C.10cm D.5
cm
3.如图,将矩形分成15个大小相等的正方形,E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上,且是某小正方形的顶点,则黄色部分与矩形的面积之比为( )
A.1:
2 B.2:
3 C.3:
4 D.3:
5
4.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AB上不与A、D重合的一动点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF的值为( )
A.2 B.
C.
D.3
5.如图,矩形ABCD被分成7个全等的小矩形,已知矩形ABCD的周长为68,则矩形ABCD的面积为( )
A.136 B.240 C.280 D.204
填空题:
1.矩形一个角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为________cm2.
2.如图,矩形ABCD中,AC、BD交于点O,AE⊥BD于E,DE=EO,OF⊥AB于F,OF=3cm,则BD=________cm.
3.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在F处,BF交AD于点E,若∠EBD=25º,则∠FDE=________.
解答题:
1.如图,矩形ABCD中,点E、F是BC上两点,且BE=CF,AF、DE交于点M;求证:
AM=DM.
2.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,EA=ED,∠AEB=75º,∠DEC=45º;求证:
AB=BC.
3.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30º;求ΔECD的面积.
参考答案:
选择题:
1.D
说明:
选项A,因为四边形的内角和为360º,所以四个角都相等的四边形应该是每个角都为90º,因此,是矩形;选项B,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,即对角线互相平分且相等的四边形是矩形;选项C,一个角是直角的平行四边形是矩形;选项D,有两个角是直角的四边形,另外两个角不能保证也是直角,所以这样的四边形不一定是矩形,答案为D.
2.A
说明:
根据折叠原则得ΔADE≌ΔAFE,则AD=AF,DE=FE,在RtΔABF中求出BF=6,则CF=4;设EF=x,则EC=8−x;在RtΔECF中,(8−x)2+42=x2,解得x=5,则DE=5;在RtΔADE中,AE=
=5
,所以答案为A.
3.D
说明:
设正方形的边长为1个单位长度,则S矩形ABCD=5×3=15;由图可知S黄色=S矩形ABCD−SΔAEF−SΔEDH−SΔGCH−SΔFBG=15−
×2×1−
×4×1−
×2×1−
×4×1=9,所以S黄:
S矩=3:
5,答案为D.
4.C
说明:
连结PO,利用面积公式进行解题;SΔAPO=
AO·PE,SΔPOD=
OD·PF;在RtΔABD中,BD=
=5,则AO=DO=
;因此,SΔAPO+SΔPOD=
(PE+PF),即SΔAOD=
(PE+PF);因为SΔAOD=
S矩形ABCD,所以SΔAOD=
×3×4=3;则有
(PE+PF)=3,所以PE+PF=
,答案为C.
5.C
说明:
设小矩形的长为x,宽为y;由图形得:
5x=2y①,2(5x+x+y)=68②,解这个方程组可得:
x=4,y=10;因此,S矩形ABCD=2y·(x+y)=280,答案为C.
填空题:
1.4或12
说明:
有两种可能的情况:
第一种情况,如图①,BE=1,EC=3,由于∠BAE=∠DAE,∠DAE=∠AEB,得出∠BAE=∠AEB,则AB=BE=1,S矩形=AB·BC=4
第二种情况,如图②,BE=3,EC=1,同理可得AB=BE=3,则S矩形=AB·BC=12.
2.12
说明:
因为DE=DO且AE⊥OD,知ΔADO为等腰三角形,AD=AO,又ABCD为矩形,则由矩形的性质,对角线互相平分且相等,知AO=OD,所以ΔADO为等边三角形,∠DAO=60º,从而∠OAF=30º,在RtΔAOF中,AO=2OF=6,所以BD=2AO=12.
3.40º
说明:
由ΔFBD≌ΔCBD得,∠CBD=25º,则∠BDC=65º,因此∠FDB=65º;而∠EDB=∠CBD=25º,所以∠FDE=65º−25º=40º.
解答题:
1.证明:
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF
∴BF=CE
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,∠B=∠C,∠BAD=∠CDA=90º
∴ΔABF≌ΔDCE
∴∠BAF=∠CDE
∴∠MAD=∠MDA
∴AM=DM
2.分析:
过点D作DF⊥AB于点F,构造矩形DCBF,得到BC=DF,即证DF=AB,只需证明ΔDAF≌ΔAEB即可
证明:
连结AD,过点D作DF⊥AB于点F,如图
∵AB⊥BC,DC⊥BC,DF⊥AB
∴四边形DCBF是矩形,∴DF=BC
∵∠AEB=75º,∠DEC=45º
∴∠AED=180º−75º−45º=60º
∵EA=ED,∴ΔAED为等边三角形
∴∠DAE=60º,AD=EA
∵AB⊥BE,∠AEB=75º,∴∠EAB=15º
∴∠DAF=60º+15º=75º,∴∠DAF=∠AEB
∵∠DFA=∠ABE=90º,∴ΔDAF≌ΔAEB,∴DF=AB
∴AB=BC
3.分析:
由题意,设EB=x,则AB=CD=2x;在RtΔDAB中,可得DB=4x,因此,在RtΔDCB中,有(2x)2+22=(4x)2,解得x=
;从而DE=3x=
;然后,过点C作CF⊥DE于点F,由ΔAEB≌ΔCFD可得CF=AE;在RtΔAEB中求得AE=1,所以CF=1,因此,SΔECD=
DE·CF=
解:
∵AE⊥BD,∠BAE=30º,∴AB=2BE,∠DBA=60º
设BE=x,则AB=2x
∵四边形ABCD是长方形,∴CD=AB=2x,∠DAB=90º,CD//AB
∴∠BDA=30º,∠CDB=∠ABE,∴DB=2AB=4x
∵BC=2,∴在RtΔDCB中,(2x)2+22=(4x)2
∴x=
,∴DE=4x−x=
过点C作CF⊥BD于点F,∴∠CFD=∠AEB
∴ΔCFD≌ΔAEB(角角边),∴CF=AE
在RtΔAEB中,AE=
=
=1,∴CF=1
∴SΔECD=
DE·CF=
×
×1=
习题二
一、填空
1.正方形既是 相等的矩形,又是有一个角是 的菱形.
2.正方形和菱形比较,除具有 的性质外,它们具有的共同性质还有:
四条边都 ,对角线 .
3.对角线 的四边形是正方形.
4.正方形和矩形比较,除具有 的性质外,它们还具有的共同性质还有:
四个角都 ,对角线 .
5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长,那么这两个正方形周长和为 ,面积的和为 .
6.如图4.6-12,正方形ABCD中,E、F分别是CD、DA上的点,并且EF=AF+CE,∠BEF=∠BEC,那么∠EBF= 度.
7.如图4.6-13,正方形ABCD中,E是CF上的点,四边形BEFD是菱形,那么∠BEF= 度.
8.如图4.6-14,E是正方形ABCD边BC延长线上的一点,若EC=AC,AE交CD于F,那么∠AFC= 度.
9.如图4.6-15,将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E,若DE为5,则折痕PQ的长为 .
10.P是正方形ABCD内一点,△PAB为正三角形,若正方形的面积为1,则△PAB的面积为 .
二、选择题
1.下列命题是真命题的是( )
A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直
3.下列命题中,错误的是( )
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B.两组对边分别相等的四边是平行四边形
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.四个角相等的菱形是正方形
4.如图,正方形ABCD中,CE=MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
5.下列命题正确的是( )
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形
C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形
6.下列命题中,假命题是( )
A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.梯形的对角线互相平分
7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使AE=AB,作EF⊥AC交BC于F,则下列关系式成立的是( )
A.BF=EC B.BF≠EC C.BF<EC D.BF>EC
8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE,BD、CE交于F,则∠AFD的度数为( )
A.50° B.60° C.67.5° D.75°
9.在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点,则四边形EFGH是( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
10.给出下列结论:
(1)正方形具有平行四边形的一切性质,
(2)正方形具有矩形的一切性质,(3)正方形具有菱形的一切性质,(4)正方形共有两条对称轴,(5)正方形共有四条对称轴,其中正确的结论有( )
A.2 B.3个 C.4个 D.5个
三、解答题
1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,连结AE交CD于F,求∠AFD的度数?
2.如图所示,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M、D在AK的同旁,连结BK和DM,求证:
BK=DM.
3.如图,已知正方形ABCD,在BC上取一点E,延长AB至F,使BF=BE,AE的延长线交CF于G,求证AG⊥CF.
4.如图,E为正方形ABCD的边AB延长线上一点,DE交AC于F,交BC于G,H为GE的中点.求证:
BF⊥BH.
5.如图,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°,求证:
EF=BE+DF.
参考答案
一、1.邻边相等 直角 2.平行四边形 相等 互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分 相等 互相垂直 4.平行四边形 是直角 互相垂直 5.4(
+1)m 3m2 6.45°7.150° 8.112.5° 9.13 10.
二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C
三、1.67.5°
2.提示:
证△MAD≌△KAB(SAS)
3.提示:
证△ABE≌△CBF,再证∠AGC=∠ABE=90°
4.先证△BCF≌△DCF,得:
∠CDF=∠CBF,进而证∠GBF=∠HBG,得:
∠FBG+∠GBH=∠GBH+∠HBE=90°,得BF⊥BH
5.提示:
延长CB到G,使BG=FD,证△ABG≌△ADF,得:
∠BAG=∠DAF,再证△AEF≌△AEG,得EF=EG=EB+BG=EB+DF
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