学年数学人教A版选修11优化练习综合检测.docx
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学年数学人教A版选修11优化练习综合检测
综合检测
时间:
120分钟 满分:
150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是( )
A.若a+1≤b,则a>bB.若a+1b
C.若a+1≤b,则a≤bD.若a+1
解析:
“若a>b,则a+1>b”的逆否命题为“若a+1≤b,则a≤b”,故选C.
答案:
C
2.函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为( )
A.abB.-a(a-b)C.0D.a-b
解析:
∵y=x2-(a+b)x+ab,∴y′=2x-(a+b),
∴y′
=2a-(a+b)=a-b.
答案:
D
3.过点P(1,-3)的抛物线的标准方程为( )
A.x2=
y或x2=-
y
B.x2=
y
C.y2=-9x或x2=
y
D.x2=-
y或y2=9x
解析:
P(1,-3)在第四象限,所以抛物线只能开口向右或向下,设方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0)代入P(1,-3)得y2=9x或x2=-
y.
答案:
D
4.已知函数f(x)=x3-3x2-9x,则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(3,9)B.(-∞,-1),(3,+∞)
C.(-1,3)D.(-∞,3),(9,+∞)
解析:
∵f(x)=x3-3x2-9x,
∴f ′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3).
令f ′(x)>0知x>3或x<-1.
答案:
B
5.已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=
x,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
由题意得
=
,
e2=
=1+
=1+
=
.
答案:
A
6.设a,b,c均为正实数,则“a>b”是“ac>bc”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
根据充分性和必要性的概念判断.因为a,b,c是正实数,所以a>b等价于ac>bc,即“a>b”是“ac>bc”的充要条件,故选C.
答案:
C
7.已知命题p:
∃x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:
∀x∈R,f(x)=x3-x2+6的极大值为6,则下面选项中真命题是( )
A.(綈p)∧(綈q)B.(綈p)∨(綈q)
C.p∨(綈q)D.p∧q
解析:
由2x<3x得(
)x<1,当x<0时,(
)x>1,所以命题p为假命题.綈p为真,选B.
答案:
B
8.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=( )
A.9B.6C.-9D.-6
解析:
y′=4x3+2ax,由导数的几何意义知在点(-1,a+2)处的切线斜率k=y′
=-4-2a=8,解得a=-6.
答案:
D
9.双曲线
-
=1与椭圆
+
=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形一定是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.等腰三角形
解析:
双曲线的离心率e
=
,椭圆的离心率e
=
,由已知e
e
=1,即
×
=1,化简,得a2+b2=m2.
答案:
C
10.已知f(x)的导函数f ′(x)图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
解析:
∵x∈(-∞,-2)时,f ′(x)<0,∴f(x)为减函数;同理f(x)在(-2,0)上为增函数,(0,+∞)上为减函数.
答案:
A
11.已知函数y=f(x),数列{an}的通项公式是an=f(n)(n∈N*),那么“函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
当函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,“数列{an}是递增数列”一定成立.当函数y=f(x)在[1,2]上先减后增,且f
(1) (2)时,数列{an}也可以单调递增,因此“函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件,故选A. 答案: A 12.双曲线 - =1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,3)B.(1,3] C.(3,+∞)D.[3,+∞) 解析: 由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|=4a, ∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, ∴6a≥2c, ≤3, 故双曲线离心率的取值范围是(1,3],选B. 答案: B 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上) 13.函数f(x)=x3-3a2x+2a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是________. 解析: ∵f ′(x)=3x2-3a2 =3(x-a)(x+a)(a>0), ∴f ′(x)>0时,得: x>a或x<-a, f ′(x)<0时,得-a ∴当x=a时,f(x)有极小值,x=-a时,f(x)有极大值. 由题意得: 解得a>1. 答案: (1,+∞) 14.若命题“∃x∈R,使得x2+(1-a)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析: 由题意可知,Δ=(1-a)2-4>0, 解得a<-1或a>3. 答案: (-∞,-1)∪(3,+∞) 15.过抛物线C: y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线准线的距离为4,则|AB|=________. 解析: 设A(xA,yA),B(xB,yB),∵y2=4x,∴抛物线准线为x=-1,F(1,0),又A到抛物线准线的距离为4, ∴xA+1=4,∴xA=3,∵xAxB= =1,∴xB= , ∴|AB|=xA+xB+p=3+ +2= . 答案: 16.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. 解析: 由双曲线的方程可知a=1,c= , ∴||PF1|-|PF2||=2a=2, ∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4, ∵PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=8, ∴2|PF1||PF2|=4, ∴(|PF1|+|PF2|)2=8+4=12, ∴|PF1|+|PF2|=2 . 答案: 2 三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)已知c>0,设命题p: 函数y=cx为减函数.命题q: 当x∈ 时,函数f(x)=x+ > 恒成立.如果p或q为真命题,p且q为假命题,求c的取值范围. 解析: 由命题p为真知,0 由命题q为真知,2≤x+ ≤ , 要使此式恒成立,需 <2,即c> , 若p或q为真命题,p且q为假命题, 则p、q中必有一真一假, 当p真q假时, c的取值范围是0 ; 当p假q真时,c的取值范围是c≥1. 综上可知,c的取值范围是 . 18.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=- 处都取得极值. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 解析: (1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f′(x)=3x2+2ax+b.由题易知, 解得 (2)由 (1)知,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), ∵当x∈ 时,f′(x)>0; 当x∈ 时,f′(x)<0; 当x∈(1,2]时,f′(x)>0. ∴f(x)的单调递增区间为 和(1,2]. 19.(12分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离. 解析: (1)因为直线l的倾斜角为60°,如图.所以其斜率k=tan60°= ,又F( ,0). 所以直线l的方程为y= (x- ). 联立 消去y得 x2-5x+ =0. 若设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=5, 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p. ∴|AB|=5+3=8. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=- ,所以M到准线的距离等于3+ = . 20.(12分)已知函数f(x)= ·ex-f(0)·x+ x2(e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)的解析式和单调区间; (2)若函数g(x)= x2+a与函数f(x)的图象在区间[-1,2]上恰有两个不同的交点,求实数a的取值范围. 解析: (1)由已知得f ′(x)= ex-f(0)+x, 令x=1,得f ′ (1)=f ′ (1)-f(0)+1, 即f(0)=1. 又f(0)= ,所以f ′ (1)=e. 从而f(x)=ex-x+ x2. 显然f ′(x)=ex-1+x在R上单调递增且f ′(0)=0, 故当x∈(-∞,0)时,f ′(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0. ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,0), 单调递增区间是(0,+∞). (2)由f(x)=g(x)得a=ex-x. 令h(x)=ex-x,则h ′(x)=ex-1. 由h ′(x)=0得x=0. 所以当x∈(-1,0)时,h ′(x)<0; 当x∈(0,2)时,h ′(x)>0. ∴h(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增. 又h(0)=1,h(-1)=1+ ,h (2)=e2-2且h(-1) (2). ∴两个图象恰有两个不同的交点时,实数a的取值范围是 . 21.(13分)如图,已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点E(3,0),设点P,Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求 · 的取值范围. 解析: (1)由离心率e= = , 得 = = .∴a=2b.① ∵原点O到直线AB的距离为 , 直线AB的方程为bx-ay+ab=0,∴ = .② 将①代入②,得b2=9,∴a2=36. 则椭圆C的标准方程为 + =1. (2)∵EP⊥EQ,∴ · =0, ∴ · = ·( - )= 2 设P(x,y),则y2=9- , ∴ · = 2=(x-3)2+y2 =x2-6x+9+9- . = (x-4)2+6. ∵-6≤x≤6.∴6≤ (x-4)2+6≤81, 则 · 的取值范围为[6,81]. 22.(13分)在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数,如果放置4个网箱,则每个网箱的产量为16吨;如果放置7个网箱,则每个网箱的产量为10
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