第八章采样系统理论习题及答案.docx
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第八章采样系统理论习题及答案
题解8-2图
第八章采样系统理论习题及答案
采样器的输入信号为r(0=o试选择合理的采样周期7(假设:
©>皿取法为
1盹%)1=0.11/?
(0)1)。
解:
由厲=5严'得:
盹)=島弘加)=壽帀
又:
|ROQQ|=o.i|R(o)|
则「・'■……=0.1X0.5解得:
%次=99・5
J血+100
根据香农立理,取6>v>2^niax=199
T=—=0.03s
8-2图8-50所示系统为釆样保持器的一种实现方案。
图中采样开关每隔时间厂周期性地闭合一次,闭合持续时间为如果满足RC«t«T时,该电路可将连续信号变换为阶梯状信号。
试解释之,如设f=0.05s,为了使该电路的输出信号与理想零阶保持器输出信号的相对误差不超过2%,试确泄电阻R值的范围。
解:
依题意,在采样开关闭合的厂时间内,当输入一个阶跃信号时,输出端信号代会指数
上升•采样结朿时,输出信号保持在最终状态,直到下次采样时.
采样时系统的传递函数为:
/?
+——1
G(s)=—=
RRCs+\
_t
h(t)=l-EKC
r
依题应有:
1一/忘》0・98
^<1-0.98=0.02/?
C<—^=^^=0.0128
In0.02-4
23根据怎义
确泄下列函数的E\s)的
⑴巩/)=/
(2)^(/)=cos曲
(3)£(5)=
G+")($+/?
)
⑷£(5)=
解:
由泄义:
£()=工心7>皿e(z)=f(s)厶=工貞皿)厂d)e(t)=t
E(z)=£e(M)z・"=XnTz'"=T(z~l+2Z-2+3Z-3+…)
“■0
=Tz(z~2+2z~5+3z~i+-)
z-l
由:
z'+z~+z'+・・・=
可得:
4-(厂+尹+?
・'+••・)=一(厂+2严+3厂+…)=2(丄)dzdz?
—1
dzz-l(Z-1)2
因此:
E(^)=-TzA(J_)=—[L_
(2)e(t)=coscot
e(t)=coscot=
l_e问e"+\
⑶EG)=(£+“)($+"厂贡
11
s+bs+a
e(t)=—(e~hl-严)
a-h
=丄「(1+严g+严寸2+...)_(]++严f+...)]
«-Z?
L」
1
1
i
1
1
u_b
h-宀“
1-aT
1一0Z」
u_b
r-bT
LZ-e
rc-aT
Z-fJ
则:
e{t)=te^
X
E⑵=工心7)尹=Te'arz^+27y如广2+37>亠7牙3+…
“■(>
=Tz[e^z1+2严7才+却叫-+…]
“及冬「1+严々"+尸刃厂+…]
衣L」
=-Tz—-.
dz.\_l-e-arz-l_
Tze~ar
~(Z-e~aT)2
8-4已知小沪市応石试求z变换3)
2z7
查表可得:
X(z)=—一一—
8-5
已知下列Z变换,试求Z反变换X(/)。
(i)XG:
)=
⑵細*
解:
(1)采用部分分式展开法:
x(z)_i_q、5|-
z(z—l)・(z—2)(z—1)"z,—1z—2
1
(z-1)2(z-2)
『悝(心)•打市
=1
一乙z
则:
2—I"
查表可得:
址。
=一£一1+2〒x(nT)=-n-\+2n
XX
故:
x\t)=x(nT)3(t-nT)=工(2"-川-l)d(f-孙7)
“■0“■()
1一严
x(z)==JL_
Z(z_l)(z-不巧z-l
则:
00X
F⑴=工x(nT)^t一nT)=工(1一e^^t-nT)
/r-4)n-0
8-6根据下列G(5),求取相应的脉冲传递函数G(z)o
K
(l)G(s)=
s(s+a)
(2)G(s)=i"尺
s(s+a)
解:
(1)GG)=—^
s(s+a)a
查表得:
G(z)=—
az-lz-e
z
-at
K(l—z®)z
7(z_l)(zW)
⑵0(5)=—
Ks(s+a)
7z
(Z—l),
zz
d(z-l)G(z-严)
(*"+«T-1)2+(1-严丁_7>・刃)⑶GG)=r^查表可得:
GQ)=
Zsinq)T
z2-2zcos(D^r+18-7试求图8-51所示系统的脉冲传递函数。
解:
(a)3=Z-
8・8如图8-52所示系统,其输入为单位阶跃函数,采样周期T=ls.试用z变换法求岀各
采样瞬时的输出,并画出采样瞬时输出曲线":
⑴(i^/?
=lkQ,c=1000pF)以及采样间隔中
的实际输出曲线。
解:
RC网络传递函数
%)=牆=帝=需
Cs
G(z)=Z[G(s)]=Z
匕⑵
S⑵=G(z)•匕⑵p•―—
RCz-e^
lRC=l
z
z-l
留数法:
"<(n)=》Re$[q(Z)・z"“]
2
=lim—-_-
z乙-『
]口+】
宀卵士
~\-e~T~T-e
^T=\
_1
一0.632
UyT=iC*Uc
rId
匕(0)=1厂
wr(l)=1.368
心
(2)=1.504
1.5
曾⑶=1.553
10
“(.(4)=1.572
%.(5)=1.578
0.5
wc(6)=1.581
■
■
■
0
8-9已知脉冲传递函数
0.53+O.lz"1
R⑵
1一0・37畀
其中R⑵一
Z,试求c(nT).
Z
-1
解:
由G(z)=
C⑵0.53+0”'
1
O・53z+O.l
乙—1.37+0.37厂
由长除法:
C(z)=0.53+0.826r!
+0・936尸+…则:
C(nT)=0.53+0・826d(f—T)+0.936刃一2T)+…
8-10判别下列系统的稳定性
(1)已知闭环采样系统的特征方程为
D(z)=(z+l)(z+0・5)(z+2)
(2)已知采样单位反馈系统如图8-53所示,图中
2257
G")=,采样周期T=\s
匸($+1)
(3)已知图8-53所示系统,图中
G(s)=人,采样周期T=\s.
5(5+1)
试求系统稳怎时K值范国。
解:
(1)系统特征根模值
有特征根落在单位圆之外,系统不稳定。
D⑵=(Z-1)2(z-/)+22.57z『乙+(1-2e~l)]=z3+5.9z2+7.9z-0.368
用朱利稳定判据5=3)
Z。
1
-0.368
7.9
5.9
1
2
1
5.9
7.9
-0.368
3
-0.865
8.81
10.07
£)
(1)=14.432>0,»(-1)=-3.368<0
他)|=0.368v”J=1
Kz(l-尸)
(乙-l)(z-E)
\b0\=0.865<\b2\=10.07(系统不稳定)
(3)系统开环脉冲传递函数G(z)=Z—
s(s+l)
闭环特征方程为:
Q⑵=(z-l)(z-尸)+Kz(l-小)
=Z2+(0.632K-1.368)2+0.368=0
z1
1芒0.632K—1.3681
210.632K—1.3680.368
由朱利判据:
01)=1+0.632K-1.368+0.368>0
D(-l)=1-0.632K+1.368+0.368>00.368<0
整理可得系统稳定时:
0vKv4.32
试求系统稳
8-11已知图8-54所示系统,图中ZOH为零阶保持器,采样周期7=0.15龙时K值范用。
111111
=K(1一厂)Z
■―•,■■■•■,
2s24s4s+2
1
7z1z1z
—•——•+—•
2(z-1)24z-l4z-产_K2T(zW(z_1)(z_严)+(z_l)
"7(―戶)
D⑵=(Z-l)(z-e~21')+—[2T(z-e~2T)-(z-l)(z-e~2l)+(z-\)=(Z-l)(Z-0.82)+^[2T(z-0.82)—(z-1))(Z一0.82)+(乙-1)]=(1-—)r+(0.755K-1・82)z+(0.82一0.29IK)
4
£)(-1)=3.64-"EK>()二k<2.8
4
|0.82-0.291K|vl—£n—1.95vKv4.32
:
.0 8-12已知采样系统连续部分的传递函数 采样周期T=\s.试绘制开环脉冲传递函数 G1G2(z)=Z[G1(5)G2(5)] 的虚拟对数频率特性曲线,并求出相角裕量等于45。 时的K值。 =K(1一厂)Z s2(s+l) 解: GO: )=G,G2⑵胡弘心川眾 K1-严 s(s+l)s K(z-l)z1_] Zs2s(s+l) K(zi)及 (1)z ~2(2-1厂(2-1)(2-不7) K3.368z+0.264_3.368z+0.264 (z-l)(z-0.368)"Z2-1.368Z+0.368 作0变换,取乙=上< \-CD 1+w 0.368(——+0.264) 1—w 0.368(vv-l)(——+1) —K-—— 是系统稳立的K值范围为0 G(jv)=K 0.368 (1)(1+)占万) /=180+(—arctan匕.)+ arctan——_90_ 1.717 arctan———=45 0.462 解得冬=0.8 求得K=3.76 做虚拟频率特性如图解8-12所示 8-13试在⑵平而上绘制下列采样系统的根轨迹。 开环脉冲传递函数为 (l)G(z)= ⑵心〒 W: (1)G(Z)= (0 (2)G(z)=r= +(Z+〃)(Z-加) 8-14已知图8—55所示系统,T为采样周期,ZOH为零阶保持 器,试在下列数据下,确左满足最少抱性能指标的£>(z)o —⑵TzohHg⑸ c(t) T+0.25,"=l(f) 图8-55习题8-14图 (°G(S)_5(0.15+1)(0.055+1) ⑵心Es’z 解: r(r)=l(r) 717_l 陀戶口Th'/)"已小8心「巧丽 「1一产10 =(i-rl)z '2000' S5(0.15+1)(0.055+1) s2(s+10)(s+20)^ (l)Gg=Z 1031211 =(l—z")Z ‘“——・—+——• s22s5+1025+20 Z T- 二 OT7 2z1 \JZ H - (z—1)22 Z—lZ-0.1352z—0.0183 一,+6.1533z2一3・6290295z-0.1641885 2(z—l)(z—0・135)(z—0.0183) (5+1)25+15 zL(z—0.368)2 -(z—1.503) (Z-0.368)2 (Z-0.368)2 G。 ⑵=(1_L)GO⑵(z-l)U-l.503) (3)G(s)=±上;s(s+2) 「1-严4(5+1)' =4(l-z~l)Z 5+1 ss(s+2) s2(s+2) G°⑵二Z =4(1—z") 1/211 ? "+才匚_ Tz (z—1尸 2.865(z-0.443) 一G-l)(Z-0・135) GE=(1_zT)G°⑵ 0.35(2-0.135) ~Z—0.443 1+叭2.“c1+W
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