数学四川省成都龙泉中学届高考模拟一数学理试题 含答案.docx
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数学四川省成都龙泉中学届高考模拟一数学理试题含答案
成都龙泉中学2018届高考模拟考试试题
(一)
数学(理工类)
(考试用时:
120分全卷满分:
150分)
注意事项:
1.答题时,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:
用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答:
先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交;
第Ι卷(选择题部分,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集
,则集合
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
为纯虚数,那么实数
的值为
A.-1B.0C.1D.2
3.已知
,把数列
的各项排成如图所示的三角形数阵,记
表示该数阵中第
行中从左到右的第
个数,则
A.67B.69
C.73D.75
4.函数
是
A.周期为
的偶函数B.周期为
的偶函数
C.周期为
的奇函数D.周期为
奇函数
5.已知函数
是定义在
上的单调函数,且对任意的
都有
,若动点
满足等式
,则
的最大值为
A.5B.-5C.
D.
6.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.意思是:
夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:
图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为
A.①②B.①③C.②④D.①④
7.下列说法正确的是
A.“若
,则
”的否命题是“若
,则
”
B.在
中,“
”是“
”必要不充分条件
C.“若
,则
”是真命题
D.
使得
成立
8.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前300年前,上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”,执行该程序框图(图中“
”表示
除以
的余数),若输入的
分别为675,125,则输出的
A.0
B.25
C.50
D.75
9.已知实数
,
满足不等式组
,若直线
把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分,则
A.
B.
C.
D.
10.如图,在平面直角坐标系
中,质点
,
间隔3分钟先后从点
出发,绕原点按逆时针方向作角速度为
弧度/分钟的匀速圆周运动,则
与
的纵坐标之差第4次达到最大值时,
运动的时间为
A.37.5分钟B.40.5分钟C.49.5分钟D.52.5分钟
11.已知
是双曲线
:
的右焦点,
是
轴正半轴上一点,以
为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点
.若点
,
,
三点共线,且
的面积是
面积的5倍,则双曲线
的离心率为
A.
B.
C.
D.
12.设函数f(x)=(x-a)2+(lnx2-2a)2,其中x>0,a∈R,存在x0使得f(x0)≤b成立,则实数b的最小值为
A.
B.
C.
D.1
第Ⅱ卷(非选择题部分,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选做题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本题共4题,每小题5分,共20分
13.已知
,
,
,则
的最小值是.
14.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为.
15.已知
是奇函数,当
时,
则曲线
在点
处的切线方程是.
16.已知菱形
的边长为
,
.沿对角线
将该菱形折成锐二面角
,连结
.若三棱锥
的体积为
,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.
三、解答题:
(本题包括6小题,共70分。
要求写出证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知等差数列
满足:
且
成等比数列.
(Ⅰ)求数列
的通项公式.
(Ⅱ)记
为数列
的前项
和,是否存在正整数
,使得
若存在,求
的最小值;若不存在,说明理由.
18.(本题满分12分)
如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明:
AB⊥A1C;
(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=
,求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值.
19.(本题满分12分)
某学校举行元旦晚会,组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:
cm),身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有一人是“高个子”的概率;
(2)若从身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中选出男、女各一人,求这2人身高相差5cm以上的概率.
20.(本题满分12分)
已知离心率为
的椭圆
焦点在
轴上,且椭圆
个顶点构成的四边形面积为
,过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
、
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
为椭圆上一点,且
(
为坐标原点).求当
时,实数
的取值范围.
21.(本题满分12分)
(1)当x>0时,求证:
2﹣
;
(2)当函数y=ax(a>1)与函数y=x有且仅有一个交点,求a的值;
(3)讨论函数y=a|x|﹣|x|(a>0且a≠1)y=a的零点个数.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号,本小题满分10分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
平面直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若射线
:
平分曲线
,且与曲线
交于点
,曲线
上的点
满足
,求
.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数
(
).
(I)若不等式
的解集为
或
,求
的值.
(II)若对
,
,求实数
的取值范围.
成都龙泉中学2018届高考模拟考试试题
(一)
数学(理工类)参考答案
1—5ABACD6—10DCBBA11—12CB
13.414.
15.
16.
17.解:
(1)设数列
公差为d,由
解得d=0或d=4
故
=2或
=4n-2
(2)当
=2时,
.不存在正整数n,使得
当
=4n-2时,
由
解得n>30或n<-10(舍去)
此时存在正整数n使得
且n的最小值为31.
综上,当
=2时,不存在正整数n,使得
当
=4n-2时,存在正整数n使得
且n的最小值为31.
18.解:
(Ⅰ)证明:
取AB中点O,连CO,OA1,A1B,
∵AB=AA1,∠BAA1=60°,
∴△A1AB为正三角形,
∴A1O⊥AB,
∵CA=CB,∴CO⊥AB,
∵CO∩A1O=O,
∴AB⊥平面COA1,
∵A1C⊂平面COA1,
∴AB⊥A1C.
(Ⅱ)解:
∵AB=CB=2,AB=AA1,CA=CB,∠BAA1=60°,
∴CO=A1O=
=
,
∵A1C=
,
∴
=
,
∴OC⊥A1O,
∵OC∩AB=O,∴A1O⊥平面ABC,------------------5分
建立如图空间直角坐标系O﹣xyz,
O(0,0,0),A(1,0,0),
,C(0,0,
),
设平面AA1C的法向量为
,
则
,
,
∴
,
∴
=(
,1,1),
平面向量ACB的法向量
=(0,1,0),
cos<
>=
=
.
∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为
.12分
19.解
(1)根据茎叶图知,“高个子”有12人,“非高个子”有18人,
用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是
=
,
所以抽取的5人中,“高个子”有12×
=2人,“非高个子”有18×
=3人.
“高个子”用A,B表示,“非高个子”用a,b,c表示,则从这5人中选2人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,
至少有一名“高个子”被选中的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共7种.
因此,至少有一人是“高个子”的概率是P=
.
(2)由茎叶图知,有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm),身高分别为181cm,182cm,184cm,187cm,191cm;有2名女志愿者身高为180cm以上(包括180cm),身高分别为180cm,181cm.抽出的2人用身高表示,则有(181,180),(181,181),(182,180),(182,181),(184,180),(184,181),(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共10种情况,
身高相差5cm以上的有(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共4种情况,故这2人身高相差5cm以上的概率为
=
.
20.解析:
(1)设椭圆的方程为
,由题意可知
,得
,
;
又顶点构成四边形的是菱形,面积
,所以
,
,椭圆方程为
.
(2)设直线
的方程为
或
,
,
,
,
当
的方程为
时,
,与题意不符.
当
的方程为
时,由题设可得
、
的坐标是方程组
的解.
消去
得
,所以
,即
,
则
,
,
,
因为
,所以
,
解得
,所以
.
因为
,即
,
所以当
时,由
,得
,
,
上述方程无解,所以此时符合条件的直线
不存在:
当
时,
,
,
因为点
在椭圆上,所以
,
化简得
,因为
,所以
,则
.
综上,实数
的取值范围为
.
21.证明:
(1)令f(x)=lnx+
﹣2,g(x)=lnx﹣
,x>0,f′(x)=
=
,
所以y=f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
∴f(x)min=f(e)=0,同理可证g(x)max=g(e)=0,故得证…
(2)令h(x)=ax﹣x,x∈R,h′(x)=axlna﹣1,令h′(x)=0,则x=loga(logae),y=h(x)在(﹣∞,loga(logae))上单调递减,在(loga(logae),+∞)上单调递增,
∃t>0,使a
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