初二数学培训讲义第9讲 矩形菱形.docx
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初二数学培训讲义第9讲矩形菱形
第九讲矩形、菱形
一、主要知识点回顾
1.矩形是特殊的四边形,它的特殊性有:
(1)矩形的四个角都=°。
(2)矩形的对角线。
2._______________的平行四边形是矩形;____________________的平行四边形是矩形。
3.菱形是特殊的____四边形,它的特殊性有:
(1)菱形的四条边都______。
(2)菱形的对角线_________,且每一条对角线平分__________。
4.____________的平行四边形是菱形;________________的平行四边形是菱形。
二、感悟与实践
例题1:
如图1所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=4cm,求矩形的对角线的长。
变式练习1:
如图2所示,在矩形ABCD中,点E,F在BC边上,且BE=CF,AF,DE相交于点M,求证:
AM=DM。
例题2:
如图3所示,BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线。
AE⊥BE,AD⊥BD,E,D为垂足,求证:
四边形AEBD是矩形。
变式练习2:
如图4所示,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线CE于点E,交∠BCA的外角平分线CF于点F。
(1)求证:
OE=OF。
(2)当O点运动到何处时,四边形AECF为矩形?
并证明你的结论。
例题3:
如图5所示,在菱形ABCD中,点E,F分别在CD,BC上,且CE=CF,求证:
AE=AF。
变式练习3:
如图6所示,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O,连接AF、EC,则四边形AFCE是菱形吗?
为什么?
例题4:
如图7所示,△ABC中,E、F、D分别是AB、AC、BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB,要使四边形AEDF是菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个
条件是试证明:
这个多边形是菱形。
变式练习4-1:
如图8所示,已知AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,求证:
AD⊥EF。
变式练习4-2:
如图9所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且AC:
BD=1:
,若AB=2。
求菱形ABCD的面积。
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.下列说法中:
(1)四个角都相等的四边形是矩形。
(2)两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形。
(3)对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形。
(4)一组对边平行,另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形。
正确的个数是()。
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.菱形具有而矩形不一定具有的特征是()。
A.对角相等且互补B.对角线互相平分
C.一组对边平行,另一组对边相等D.对角线互相垂直
3.下列命题不正确的是()。
A.对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B.两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C.两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
4.如图10所示,能说明四边形ABCD是菱形的有()。
①BD⊥AC②OA=OC,OB=OD,AB=BC
③AC=BD④AB∥CD,AB=BC
A.①B.①②
C.②D.③④
5.能判定一个四边形是菱形的条件是()。
A.对角线互相平分且相等;
B.对角线互相垂直且相等;
C.对角线互相垂直且对角相等;
D.对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角;
6.菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,则菱形的面积为_____cm2。
7.如图11所示,点E,F是菱形ABCD的边BC,CD上的点,请你添加一个条件(不得
另外添加辅助线和字母),使AE=AF,你添加的条件是________。
8.如图12所示,根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架,若墙
上钉子间的距离AB=BC=15cm,则∠1=_______。
9.如图13所示,已知任意直线l把平行四边形ABCD分成两部分,要使分的两部分面
积相等,则直线l所在位置需满足的条件是_________。
(只需填上一个你认为合适的条件)
10.如图14所示,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与
PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1______S2(填“>”,“<”或“=”)
(B)能力提高
11.如图15,矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与
点D重合,折痕为EF,则DE=_______cm。
12.如图16,矩形ABCD的对角线相交于点O,OF⊥BC,CE⊥BD,OE:
BE=1:
3,OF=4,求∠ADB的度数和BD的长。
13.如图17,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E。
又点F在DE的延长线上,且AF=CE。
求证:
四边形ACEF是菱形。
14.如图18所示,在菱形ABCD中,AB=4,E为BC中点,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,CG∥AE,CG交AF于点H,交AD于G点。
(1)求菱形ABCD的面积;
(2)求∠CHA的度数。
15.如图19,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。
求证:
四边形AFCE是菱形。
(C)趣味数学
Euler在1736年访问Konigsberg,Prussia(now Kaliningrad Russia)时,他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中,在河上建有七座桥如图所示:
这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步,每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
你能做到吗?
四、考考你
1.下列说法错误的是()。
A.对角线互相垂直的四边形是菱形;
B.一组邻边相等的矩形是正方形;
C.对角线互相垂直的矩形是正方形;
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
2.□ABCD中,AC,BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是()。
A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
3.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,如图20所示。
红丝带重叠部分形成的图形是()。
A.正方形B.等腰梯形
C.菱形D.矩形
4.如图21,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为()。
A.
B.
C.
D.
5.如图22所示,l是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论:
①AB∥CD,②AB=BC,③AB⊥BC,④AO=OC,
其中正确的结论是________。
(把你认为正确的结论的序号填上)
五、家庭作业
1.若矩形的两对角线的一个夹角为60°,且对角线长为10cm,则矩形的周长为_____cm。
2.一个矩形,两边长分别为xcm和10cm,如果它的周长小于80cm,面积大于100cm2,求x的取值范围。
补充习题矩形、菱形
【能力拓展】
1.如图1,在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形。
李颖同学按照取两
组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),张丰同学按照沿矩形的对角线AC折
出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计
算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?
2.如图2,E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F、G。
求证:
PF+PG=AB。
3.如图3-1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=
,AB
与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H。
(1)求证:
CF=CH;
(2)如图3-2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=
时,试判断四边形
ACDM是什么四边形?
并证明你的结论。
【课堂小测】每题20分,共5小题,满分100分
1.如图4,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点G,E为AD的中点,连结BE
交AC于F,连结FD,若∠BFA=90°,则下列四对三角形:
①△BEA与△ACD;②△FED
与△DEB;③△CFD与△ABG;④△ADF与△CFB。
其中相似的为()。
A.①④B.①②C.②③④D.①②③
2.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF等于()。
A.120°B.45°C.60°D.150°
3.矩形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,OA=3,则AC=,
AB=。
4.菱形的一个内角是120°,一条较长的对角线的长为
,则菱形的周长是。
5.如图5,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线BD折叠,那么图中
阴影部分的面积是。
初二数学讲义第九讲参考答案(58期)
一、主要知识点回顾
1.平行
(1)90
(2)相等。
2.对角线相等,一个角为直角。
3.平行
(1)相等
(2)互相垂直,一组对角。
4.邻边相等,对角线互相垂直。
二、感悟与实践
例题1:
分析:
本题关键是会利用矩形的性质
解:
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD。
又∵OA=OC=
AC,OB=OD=
BD,
∴OA=OD。
∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=30°。
又∵∠DAB=90°,∴BD=2AB=2×4=8(cm)。
变式练习1:
分析:
本题关键是会利用矩形的性质
证明:
∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=90°,AD∥BC,AB=DC。
∵BE=CF,∴BF=CE。
∴△ABF≌△DCE(SAS)。
∴∠AFB=∠DEC。
∵AD∥BC,∴∠AFB=∠DAF,∠DEC=∠ADE。
∴∠FAD=∠EDA。
∴AM=DM。
例题2:
分析:
本题考查的是矩形的判定。
证明:
∵BD,BE分别是∠ABC,∠ABP的平分线,
∴∠ABD+∠ABE=
(∠ABC+∠ABP)=90°。
即∠EBD=90°。
又∵AE⊥BE,AD⊥BD,∴∠AEB=∠ADB=90°。
∴四边形AEBD是矩形。
变式练习2:
分析:
本题考查的是矩形的判定。
证明:
(1)∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE。
又∵∠OCE=∠BCE∴∠OEC=∠OCE,∴EO=CO。
同理,FO=CO,∴OE=OF。
(2)∵CE,CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线,
∴∠OCE+∠OCF=
(∠ACB+∠ACD)=
×180°=90°,
即∠ECF=90°。
而EO=OF,
∴当O点运动到AC中点时,AO=CO,
四边形AECF为平行四边形,
∴O是AC中点时,四边形AECF为矩形。
例题3:
分析:
本题的关键是会利用菱形的性质
证明:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=AB=CD=CB,∠B=∠D。
又∵CE=CF,
∴CD-CE=CB-CF,即DE=BF。
∴△ADE≌△ABF。
∴AE=AF。
变式练习3:
分析:
本题考查的是菱形的性质和判定。
解:
四边形AFCE是菱形。
∵点E在AC的垂直平分线上,
∴AE=EC。
同理,AF=FC。
∴∠1=∠3。
又∵AE∥FC,∴∠1=∠2。
∴∠2=∠3。
又∵CO⊥EF,∴∠COF=∠COE=90°,
∴△COF≌△COE。
∴CF=CE。
∴AE=EC=CF=FA。
∴四边形AFCE是菱形。
例题4:
分析:
本题考查的是菱形的判定。
条件AE=AF(或AD平分角BAC,等)证明:
∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形
又AE=AF∴四边形AEDF是菱形。
变式练习4-1:
分析:
本题考查的是菱形的判定。
证明:
∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF为平行四边形。
又∵∠1=∠2,而∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AE=DE。
∴平行四边形AEDF为菱形。
∴AD⊥EF。
变式练习4-2:
解:
菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形。
设AO=x,因为四边形ABCD为菱形,所以AO=CO,
BO=DO,AC⊥BD。
又因为AC:
BD=1:
,
所以AO:
BO=1:
,BO=
。
在Rt△ABO中,因为AB2=BO2+AO2,
所以
。
所以x=1。
所以AO=1,BO=
。
所以AC=2,BD=
。
所以菱形的面积为
×2×
=
。
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.C2.D3.D4.C5.C
6.24
7.答案不唯一,如BE=DF若CE=CF或∠BAE=∠DAF或∠AEB=∠AFD。
8.120°
9.直线过AC与BD交点或经过AD与BC的中点等。
10.=
(B)能力提高
11.5.8
12.解:
由矩形的性质可知OD=OC。
又由OE:
BE=1:
3可知E是OD的中点。
又因为CE⊥OD,根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD,
即△OCD是等边三角形,故∠CDB=60°。
所以∠ADB=30°,
又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8,
即BD=2OD=2CD=16。
13.证明:
∵∠ACB=90°,DE是BC的中垂线,
∴E为AB边的中点.
∴CE=AE=BE。
∵∠BAC=60°,
∴△ACE为正三角形。
在△AEF中,∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°,而AF=CE,
又CE=AE,
∴AE=AF。
∴△AEF也为正三角形。
∴∠CAE=∠AEF=60°。
∴AC
EF。
∴四边形ACEF为平行四边形。
又CE=AC,∴平行四边形ACEF为菱形。
14.解:
(1)连接AC,BD,设AC和BD相交于点O。
∵AE⊥BC,且AE平分BC,
∴△ABC和△ADC都是正三角形。
∴AB=AC=4。
∵△ABO为直角三角形,∴BD=4
。
∴菱形ABCD的面积为8
。
(2)∵△ADC为正三角形,AF⊥CD。
∴∠DAF=30°。
又∵CG∥AE,AE⊥BC,
∴四边形AECG是矩形,∴∠AGH=90°。
∴∠CHA=∠DAF+∠AGH=120°。
15.证明:
∵EF垂直平分AC,
∴EF⊥AC,AO=CO。
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC。
∴∠AEO=∠CFO。
∴△AOE≌△COF。
∴OE=OF。
∴四边形AECF是平行四边形。
又∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形。
(C)趣味数学
Euler把每一块陆地考虑成一个点,连接两块陆地的桥以线表示,
便得如下的图形:
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这
样的,除了起点以外,每一次当一个人由一座桥进入一块陆地(或点)
时,他(或她)同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时,
计算两座桥(或线),从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两
座桥,因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之
图形中,没有一点含有偶数条数,因此上述的任务是不可能实现的。
四、考考你
1.A2.B3.C4.B5.①②④
五、家庭作业
1.10+10
2.解:
∵矩形的周长是2(x+10)cm,面积是10xcm2。
根据题意,
得解这个不等式组,得
∴x的取值范围是10<x<30。
初二数学补充讲义第九讲参考答案(58期)
【能力拓展】
1.解:
(方案一)S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4×
×6×
=30(cm2)。
(方案二)设BE=x,则CE=12-x,
∴AE=
。
因为四边形AECF是菱形,则AE2=CE2,
∴
。
∴x=
。
∴S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2×
×5×
≈35.21(cm2)。
经比较可知,(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大。
2.解:
∵BE=DE,
∴∠EBD=∠EDB。
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB,
∴∠EBD=∠CBD。
延长GP交BC于H点。
∵PG⊥AD,
∴PH⊥BC。
∵PF⊥BE,P是∠EBC的平分线上。
∴PF=PH。
∵四边形ABHG中,
∠A=∠ABH=∠BHG=∠HGA=90°。
∴四边形ABHG为矩形,
∴AB=GH=GP+PH=GP+PF
故PF+PG=AB。
∴NE=
AB=AM。
3.解:
(1)证明:
在△ACB和△ECD中
∵∠ACB=∠ECD=
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,
∴∠1=∠2
又∵AC=CE=CB=CD,
∴∠A=∠D=
∴△ACB≌△ECD,
∴CF=CH
(2)答:
四边形ACDM是菱形
证明:
∵∠ACB=∠ECD=
,∠BCE=
∴∠1=
,∠2=
又∵∠E=∠B=
,
∴∠1=∠E,∠2=∠B
∴AC∥MD,CD∥AM,
∴ACDM是平行四边形
又∵AC=CD
∴ACDM是菱形
【课堂小测】
1.D2.C3.634.85.
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