版高中数学 第四章 导数应用 22 最大值最小值问题一学案 北师大版选修1.docx
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2.2 最大值、最小值问题
(一)
学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.
知识点 函数的最大(小)值与导数
如图为y=f(x),x∈[a,b]的图像.
思考1 观察[a,b]上函数y=f(x)的图像,试找出它的极大值、极小值.
思考2 结合图像判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值,最小值?
若存在,分别为多少?
思考3 函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是某极值吗?
梳理
(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条____________的曲线,那么它必有最大值与最小值.
(2)求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的________;
②将函数y=f(x)的________与________处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是________,最小的一个是________.
类型一 求函数的最值
命题角度1 不含参数的函数求最值
例1 求下列函数的最值:
(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3];
(2)f(x)=x+sinx,x∈[0,2π].
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值大小,确定最值.
跟踪训练1 求函数f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5]的最值.
命题角度2 含参数的函数求最值
例2 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′
(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.
跟踪训练2 已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
类型二 由函数的最值求参数
例3 设函数f(x)=lnx+,m>0,求f(x)的最小值为2时m的值.
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练3 设f(x)=-x3+x2+2ax.当0 类型三 与最值有关的恒成立问题 例4 已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. 若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立,求a的取值范围. 反思与感悟 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可. 一般地,可采用分离参数法.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min. 跟踪训练4 已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围. 1.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A.f (2),f(3)B.f(3),f(5) C.f (2),f(5)D.f(5),f(3) 2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 3.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( ) A.[0,1)B.(0,1) C.(-1,1)D. 4.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则m的取值范围是( ) A.m≥B.m> C.m≤D.m< 5.设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c,若对任意的x∈[0,3],都有f(x) 1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;若函数在一个开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时,可先确定参数的值,用参数表示最值时,应分类讨论. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题. 答案精析 问题导学 知识点 思考1 极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4). 思考2 存在,f(x)min=f(a), f(x)max=f(x3). 思考3 不一定,也可能是区间端点的函数值. 梳理 (1)连续不断 (2)①极值 ②各极值 端点 最大值 最小值 题型探究 例1 解 (1)因为f(x)=2x3-12x, 所以f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-), 令f′(x)=0,解得x=-或x=. 因为f(-2)=8,f(3)=18, f()=-8, f(-)=8; 所以当x=时,f(x)取得最小值-8; 当x=3时,f(x)取得最大值18. (2)f′(x)=+cosx,令f′(x)=0, 又x∈[0,2π], 解得x=或x=. 因为f(0)=0,f(2π)=π, f()=+, f()=-. 所以当x=0时,f(x)有最小值0; 当x=2π时,f(x)有最大值π. 跟踪训练1 解 ∵f(x)=3ex-exx2, ∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx) =-ex(x2+2x-3) =-ex(x+3)(x-1). ∵在区间[2,5]上, f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0, ∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的, ∴当x=2时,函数f(x)取得最大值 f (2)=-e2; 当x=5时,函数f(x)取得最小值 f(5)=-22e5. 例2 解 (1)f′(x)=3x2-2ax. 因为f′ (1)=3-2a=3, 所以a=0.又当a=0时,f (1)=1, f′ (1)=3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为3x-y-2=0. (2)令f′(x)=0, 解得x1=0,x2=. 当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上是增加的, 从而f(x)max=f (2)=8-4a. 当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上是减少的, 从而f(x)max=f(0)=0. 当0<<2,即0 f(x)在上是减少的, 在上是增加的, 从而f(x)max= 综上所述, f(x)max= 跟踪训练2 解 f′(x)=-3x2+3a =-3(x2-a). 若a≤0,则f′(x)≤0,函数f(x)在[0,1]上是减少的, 所以当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0; 若a>0,则令f′(x)=0,解得x=±. 由x∈[0,1],则只考虑x=的情况. ①当0<<1,即0 当x变化时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表: x (0,) (,1) f′(x) + 0 - f(x) 2a 故f(x)max=f()=2a; ②当≥1,即a≥1时,f′(x)≥0,函数 f(x)在[0,1]上是增加的,当x=1时, f(x)有最大值f (1)=3a-1. 综上,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0;
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