初二数学培训讲义第12讲 四边形的综合应用.docx
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初二数学培训讲义第12讲四边形的综合应用
第十二讲四边形的综合应用
一、主要知识点回顾
我们学习了四边形和一些特殊的四边形,下图表示了在某种条件下它们之间的关系。
如果①,②两个条件分别是:
①两组对边分别平行;②有且只有一组对边平行。
那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。
③_______________,④_______________
⑤_______________,⑥_______________
⑦_______________,⑧_______________
二、感悟与实践
例题1:
如图1,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交DC于E,若∠DAE=25°,
求∠C、∠B的度数。
变式练习1:
如图2,在正方形ABCD中,E为CD边上的一点,F为BC的延长线上一点,CE=CF,
(1)△BCE与△DCF全等吗?
说明理由;
(2)若∠BEC=60°,求∠EFD。
例题2:
如图3所示,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F;
求证:
∠BAE=∠DCF;
变式练习2:
如图4所示,有A(0,1),B(
,0),C(1,0)三点坐标。
(1)若点D与A,B,C三点构成平行四边形,请写出所有符合条件的点D的坐标;
(2)选择
(1)中符合条件的一点D,求直线BD的解析式。
例题3:
如图5所示,在平行四边形ABCD中,BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点。
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积。
变式练习3:
已知,如图6所示,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F。
(1)求证:
△BCG≌△DCE;
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE',判断四边形E'BGD是什么特殊四边形?
并说明理由。
例题4:
如图7所示,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E,求证:
四边形AECD是等腰梯形。
变式练习4:
已知:
如图8,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动,动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动,P、Q分别从A、C同时出发,当其一点到端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒,t分别为何值时:
(1)四边形PQCD是平行四边形?
(2)四边形PQCD等腰梯形?
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.一组对边平行,并且对角线互相垂直相等的四边形是()。
A.菱形或矩形B.正方形或等腰梯形
C.矩形或等腰梯形D.菱形或直角梯形
2.如图9,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,则∠E+∠F等于()。
A.110°B.30°C.50°D.70°
3.如图10所示,在菱形ABCD中,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为
()。
A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm
4.若四边形的两条对角线相等,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是()。
A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形
5.如图11所示,已知等腰梯形ABCD的中位线EF=6,腰AD的长为5,则该等腰梯形的周长为()。
A.11B.16
C.17D.22
6.将一正方形纸片按图中
(1),
(2)的方式依次对折后,再沿(3)中的虚线裁剪,最后将(4)中的纸片打开铺平,所得图案应该是下图中的()。
7.下列说法中,正确的是()。
A.等腰梯形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等
C.矩形的对角线互相垂直D.正方形的对角线互相垂直且相等
8.如图12所示,阴影部分的面积是矩形面积的()。
A.
B.
C.
D.
9.平行四边形ABCD中两邻角∠A:
∠B=1:
2,则∠C=_______度。
10.如图13所示,平行四边形ABCD中,若再增加一个条件______,就可推得BE=DF。
(B)能力提高
11.如图14,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=5,BC=4,D点的坐标为(10,0),则C点的坐标为()。
A.(6,3)B.(7,3)
C.(6,4)D.(7,4)
12.等腰梯形的两底之差等于腰长,则腰与下底的夹角为()。
A.120°B.60°C.45°D.135°
13.如图15,在等边三角形ABC外作正方形ACDE,AD与BE交于点F,则∠FCD=()。
A.60°B.45°
C.75°D.54°
14.一个平行四边形的周长为70cm,两边的差是10cm,则平行四边形各边长为cm。
15.已知:
如图16,在正方形ABCD中,AC,BD交于点O,延长CB到点E,使BE=BC,连结DE交AB于点F,求证:
OF=
BE。
(C)趣味数学
有四只蚂蚁位于边长为3米的正四边形四个角上,它们遵循一个共同规则:
1号蚁总朝2号蚁爬去,2号蚁总朝3号蚁爬去,3号朝4号爬,4号朝1号爬。
现在4只蚂蚁均以1厘米/秒的速度同时匀速向目标爬行。
纵观爬行路线,犹如漩涡一样,请问经过多长时间它们在中心碰头?
若将正方形改为正三角形,三只蚂蚁如此爬行,情况怎样?
四、考考你
1.如图17所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD=120°,
AB=2.5,则AC的长为______。
2.如图18,每个小正方形的边长为1,把阴影部分剪下来,用剪下来的阴影拼成一个正方形,那么新正方形的边长是()。
A.
B.2C.
D.
3.如图19,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点D的坐标为____。
4.如图20所示,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,D为BC边上一点(不与B,C重合),AD与EF交于点O,连结DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要
添加条件______。
(只添加一个条件)
5.四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是()。
A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD
五、课外练习
1.如图21,点E,F,G,H分别是平行四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点。
求证:
△BEF≌△DGH。
2.如图22,平行四边形ABCD中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,∠DGE=100°
(1)试说明DF=BG;
(2)试求∠AFD的度数。
补充讲义四边形的综合应用
【能力拓展】
1.(2011北京市)在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。
(1)在图1-1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图1-2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图1-3),求∠BDG的度数。
2.如图2,四边形ABCD中,点E在边CD上,连结AE、BE。
给出下列五个关系式:
①AD∥BC;②DE=CE;③∠1=∠2;④∠3=∠4;⑤AD+BC=AB。
将其中的三个关系式作为题设,另外两个作为结论,构成一个命题。
(1)用序号写出一个真命题(书写形式如:
如果×××,那么××)。
并给出证明;
(2)用序号再写出三个真命题(不要求证明);
(3)加分题:
真命题不止以上四个,想一想,就能够多写出几个真命题。
3.如图3,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD。
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)保持图3-1中的△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图3-2中的位置(当垂线AD、BE在直线MN的同侧)。
试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?
并给予证明;
(3)保持图3-2中的△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3-3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧)。
试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?
并给予证明。
【课堂小测】每题20分,共5小题,满分100分
1.平行四边形ABCD的周长为20cm,对角线AC、BD相交于点O,若△BOC的周长比
△AOB的周长大2cm,则CD=cm。
2.若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为60°,则该矩形的面积为
cm2。
3.若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1:
2,则该菱形的面积为cm2。
4.梯形的上底长为2,下底长为5,一腰为4,则另一腰m的范围是。
5.(2011浙江金华)如图4,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中
点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是。
A
D
F
E
B
C
H
图4
初二数学讲义第十二讲参考答案(58期)
一、主要知识点回顾
③相邻两边垂直;④相邻两边相等;
⑤相邻两边相等;⑥相邻两边垂直;
⑦两腰相等;⑧一条腰垂直于底边。
二、感悟与实践
例题1:
解:
∠BAD=2∠DAE=2×25°=50°
又∵平行四边形ABCD∴∠C=∠BAD=50°
∴AD∥BC∴∠B=180°-∠BAD=180°-50°=130°
变式练习1:
(1)△BCE≌△DCF
理由:
因为四边形ABCD是正方形
∴BC=CD,∠BCD=90°∴∠BCE=∠DCF
又CE=CF ∴△BCE≌△DCF
(2)∵CE=CF∴∠CEF=∠CFE∵∠FCE=90°
∴∠CFE=
又∵△BCE≌△DCF ∴∠CFD=∠BEC=60°
∴∠EFD=∠CFD-∠CFE=60°-45°=15°
例题2:
分析:
本题考查的知识点是平行四边形性质的运用。
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,且AB=CD
∴∠ABE=∠CDF。
又∵AE⊥BD,CF⊥BD。
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF。
∴∠BAE=∠DCF。
变式练习2:
分析:
本题考查的知识点是平行四边形和一次函数的综合运用。
(1)符合条件的点D的坐标分别是:
D1(2,1),D2(
,1),D3(0,
)。
(2)①选择点D1(2,1)时,设直线BD1的解析式为
。
由题意得
,解得
∴直线BD1的解析式为y=
x+
②选择点D2时,
。
③选择点D3时,
。
例题3:
分析:
本题考查的知识点是菱形的综合运用。
(1)∵四边形ABCD为平行四边形。
∴∠B=∠D,AD=BC,AB=CD。
又∵点E,F分别是BC,AD的中点。
∴DF=BE,∴△ABE≌△CDF。
(2)当四边形AECF为菱形时,△ABE为等边三角形,AB=2,菱形的边长也为2,
四边形ABCD的高为
,∴菱形AECF的面积为2
。
变式练习3:
分析:
本题考查的知识点是正方形的综合运用。
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°。
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠BCD=∠DCE=90°。
又∵CG=CE,∴△BCG≌△DCE。
(2)四边形E'BGD是平行四边形,理由如下:
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE',∴CE=AE'。
∵CE=CG,∴CG=AE'。
∵四边形ABCD是正方形,
∴BE'∥DG,AB=CD。
∴AB-AE'=CD-CG,即BE'=DG。
∴四边形E'BGD是平行四边形。
例题4:
分析:
本题考查的知识点是等腰梯形的综合运用。
∵ABCD是菱形,∠DAB=60°。
∴∠CAE=
∠DAB=30°。
又∵CE⊥AC,∴∠E=60°=∠DAB,∴CE=BC=AD。
又∵CD∥AE。
AE=AB+BE=DC+BE≠DC,∴四边形AECD是等腰梯形。
变式练习4:
分析:
本题考查的知识点是平行四边形和等腰梯形形的综合运用。
(1)PD=24-t,CQ=3t,当四边形PQCD是平行四边形时PD=CQ
∴24-t=3t,∴t=6,即t=6时四边形PQCD是平行四边形
(2)∵PD=24-t,CQ=3t,26-24=2,
当四边形PQCD是等腰梯形时PD+2+2=CQ,
∴24-t+2+2=3t,∴t=7而7×3=21<26,7×1=7<24,
∴当t=7时四边形PQCD是等腰梯形。
三、巩固与提高
(A)巩固练习
1.B2.D3.C4.C5.D6.B7.D8.B9.60
10.答案不唯一,如:
AE=CF,∠AEB=∠CFD,∠ABE=∠CDF。
(B)能力提高
11.D12.B13.C14.22.512.522.512.5
15.分析:
本题考查的知识点是正方形的综合运用
∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AD。
又BE=BC,∴BE=AD。
∵AD∥BE,
∴∠E=∠ADF,∠AFD=∠EFB。
∴△ADF≌△BEF。
∴DF=FE。
又∵DO=OB。
∴OF为△BDE的中位线。
∴OF=
BE。
(C)趣味数学
因为在每一时刻,2号蚁总是沿着与跟踪它的1号蚁成直角的方向移动。
可见四只蚂蚁始终位于不同正方形的四个角上。
由于2号蚁的移动并不影响它与1号蚁之间的距离。
因此,它们的螺旋运动轨迹可以不予考虑。
所以问题简化为2号蚁停留在原处,1号蚁沿正方形一边向它爬去所用
时间
秒=5分钟。
故经过5分钟,四蚁在中心碰头。
若将正方形改为正三角形,情况就有所不同了,
因为2号蚁的移动相对于1号蚁并不垂直,而成60°夹角。
所以还有一个向1号蚁靠拢的分速度0.5厘米/秒,
因此问题可简化为2号蚁以0.5厘米/秒,1号蚁以1厘米/秒的速度相向爬行,
走完3米远的路程所用时间
=200秒=3分20秒。
故经过3分20秒三蚁在中心碰头。
四、考考你
1.52.C3.(
,
)4.如BD=CD,OE=OF,DE∥AC等。
5.D
五、课外练习
1.∵四边形ABCD为平行四边形。
∴∠B=∠D,AB=CD,BC=AD。
又∵E,F,G,H分别是ABCD的四边中点。
∴BE=DG,BF=DH。
∴△BEF≌△DGH。
2.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,又AF=CG,
∴AB-AF=DC-CG,即GD=BF,
又DG∥BF,
∴四边形DFBG是平行四边形,
∴DF=BG;
(2)∵四边形DFBG是平行四边形,
∴DF∥GB,
∴∠GBF=∠AFD,
同理可得∠GBF=∠DGE,
∴∠AFD=∠DGE=100°。
初二数学补充讲义第十二讲参考答案(58期)
【能力拓展】
1.分析:
本题考查的知识点是平行四边形的综合运用。
(1)证明:
如图1。
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD。
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F。
∴∠CEF=∠F。
∴CE=CF
(2)∠BDG=45°
(3)解:
分别连结GB、GE、GC(如图3)
∵AB∥DC,∠ABC=120°
∴∠ECF=∠ABC=120°
∵FG∥CE且FG=CE。
∴四边形CEGF是平行四边形。
由
(1)得CE=CF,
平行四边形CEGF是菱形。
∴EG=EC,∠GCF=∠GCE=
∠ECF=60°
∴△ECG是等边三角形
∴EG=CG,①
∠GEC=∠EGC=60°
∴∠GEC=∠GCF。
∴∠BEG=∠DCG。
②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB。
∴AB=BE。
在平行四边形ABCD中,AB=DC。
∴BE=DC。
③
由①②③得△BEG≌△DCG。
∴BG=DG。
∠1=∠2。
∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°
∴∠BDG=
=60°。
(x>0)。
2.解:
本题考查的知识点是梯形的综合运用
(1)如果①②③,那么④⑤
证明:
如图,延长AE交BC的延长线于F
∵AD∥BC,∴∠1=∠F
又∵∠AED=∠CEF,DE=EC
∴
∴AD=BF,AE=EF
∵∠1=∠F,∠1=∠2
∴∠2=∠F,∴AB=BF,∴∠3=∠4
∴AD+BC=CF+BC=BF=AB
(说明:
其它真命题的证明可参照上述过程相应给分)
(2)如果①②④,那么③⑤
如果①③④,那么②⑤
如果①③⑤,那么②④
(3)若
(1)
(2)中四个命题含假命题(“如果②③④,那么①⑤”),则不加分;若(3)
中含假命题,也不加分。
3.解:
(1)△ABC为等腰直角三角形。
如图2,在矩形ABED中,
∵点C是边DE的中点,
且AC=2AD,
∴AD=DC=CE=EB,
∠D=∠E=90°。
∴△ADC
△BEC。
∴AC=BC,∠1=∠2=45°
∴ACB=90°。
∴△ABC为等腰直角三角形。
(2)DE=AD+BE。
如图3,在Rt△ADC和Rt△CEB中,
∵∠1=∠CAD=90°,∠1=∠2=90°,
∴∠CAD=∠2。
又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB=90°,
∴Rt△ADC≌Rt△CEB。
∴DC=BE,CE=AD。
∴DC+CE=BE+AD,
即DE=AD+BE。
(3)DE=BE-AD。
如图4,在Rt△ADC和Rt△CEB中,
∵∠1+∠CAD=90°,∠1=∠2=90°,
∴∠CAD=∠2。
又∵∠ADC=∠CEB=90°,AC=CB,
∴Rt△ADC≌Rt△CEB。
∴DC=BE,CE=AD。
∴DC-CE=BE-AD,
即DE=BE-AD。
【课堂小测】
1.42.16
3.8
4.1<m<75.2
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