一元二次方程能力拔高题.docx
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一元二次方程能力拔高题
一元二次方程培优专题复习
考点一、概念
次方程。
⑴定义:
|①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是.2,这样的③整式方程就是一元二
(2)—般表达式:
ax2bxc0(a0)
⑶难点:
|如何理解“未知数的最高次数是2”:
①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定
系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论
典型例题「
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()
2112
A、3x12x1B>—20C、axbxc0D、
xx
x2xx1
变式:
当k时,关于x的方程kx22xx23是一元二次方程。
例2、方程m2x'm3mx10是关于x的一元二次方程,则m的值为
针对练习:
★1、方程8x27的一次项系数是,常数项是。
im1
★2、若方程m2x0是关于x的一元一次方程,
⑴求m的值:
;⑵写出关于x的一元一次方程:
。
一2/
★★3、若方程m1x.m?
x1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()
=n=2=2,n=1=2,m=1=n=1
考点二、方程的解
⑴概念:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
⑵应用:
|利用根的概念求代数式的值;
典型例题:
例1、已知2y2
y3的值为2,则4y22y
1的值为
。
例2、关于x的
•兀一次方程a2xxa
40的一个根为
0,则
a的值为
例3、已知关于
x的一兀一次方程axbxc
0a0的系数满足a
c
b,则此方程
必有一根为
。
2
例4、已知a,b是方程x4xm0的两个根,
2
b,c是方程y
8y
5m
0的两个根,
则m的值为
针对练习:
★1、已知方程x2kx100的一根是2,则k为,另一根是。
X1
★2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程3的解相同。
⑴求k的值;
x1
⑵方程的另一个解。
★
3、已知m是方程x2x10的一个根,则代数式m2m。
※※对于x
ax
2
bxn等形式均适用直接开方法
2
beD
例1、解方程:
12x2
0;
225
2
16x=0;
2
31x90;
典型例题:
例2、解关于x的方程:
ax2b0
典型例题:
例4、解方程:
x2
2.3
0得Xi
X2
D.x12,x2
例5、已知2x2
3xy2y2
0,则-
y的值为。
X
y
变式:
已知
2x2
3xy2y2
0,且x
0,y0,则-―y的值为
。
xy
针对练习:
★1、下列说法中:
①方程X2
pxq
2
0的二根为X1,X2,则xpx
q(xxj(xX2)
②x2
6x
8(x2)(
x4).
22
③a5ab6b(a2)(a
3)
④xy2(xy)(.、x...y)(.x..y)⑤方程(3x1)270可变形为
(3x1
..7)(3x1
7)0
正确的有()个
个
个
个
★2、以1,7与1
7为根的一
元二次方程是()
A.x2
2x60
2
B.x
2
2x60C.y
2y
60
Dy2
2y60
★★3、
⑴写出一个一
兀二次方程,
要求二次项系数不为
1,
且两根互为倒数:
⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为
且两根互为相反数:
1,
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:
针对练习:
2111
a0,且b24ac0
1、已知x2x40,贝yx
xxx
典型例题:
例、选择适当方法解下列方程:
⑴31x26.⑵x3x68.⑶x24x10
类型五、“降次思想”的应用
考点四、根的判别式b24ac
根的判别式的作用:
①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它。
典型例题:
2/-
例1、若关于x的方程x2.kx10有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根,则m的取值范围是()
A.m0且m1B.m0C.m1D.m1
例3、已知关于x的方程x2k2x2k0
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰
好是方程的两个根,求ABC的周长。
例5、m为何值时,方程组
x22y26,
mxy3.
例4、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式,试求m的值.
有两个不同的实数解?
有两个相同的实数解?
针对练习:
2
3x4x2k是一个完全平方式?
这个完全平方式是什么?
1当k时,关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。
3、已知方程mx2mx
20有两个不相等的实数根,贝Um的值是
4、k为何值时,方程组
ykx2,
2
(1)有两组相等的实数解,并求此解;
(2)
y4x2y10.
有两组不相等的实数解;
(3)没有实数解.
5、当k取何值时,方程
22
x4mx4x3m2m4k0的根与m均为有理数?
2、当k取何值时,多项式
2
(2012山东德州中考,15,4,)若关于x的方程ax2(a2)xa0有实数解,那么实数a
的取值范围是.
(2012湖北襄阳,12,3分)如果关于x的一元二次方程kx2—•2k—1x+1=0有两个不相
A.kv1B.kv1且k工0C.—1 等的实数根,那么k的取值范围是 例1、关于x的方程m1x22mx30⑴有两个实数根,则m为⑵只有 一个根,则m为。 例2、不解方程,判断关于x的方程x22xkk23根的情况。 例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根,问这两方程是 否有相同的根? 若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。 考点六、应用解答题 ⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题;⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题 典型例题: 1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席? 2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人? 3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放 1 市场,根据计划,第一年投入资金600万元,第二年比第一年减少―,第三年比第二年减少 3 1 1,该产品第一年收入资金约400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回, 2 1 还要盈利1,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少? (结 3 果精确到,,133.61) 4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答: (1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。 (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销 售单价应定为多少? 5、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 (1)要 使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少? (2)两个正方 形的面积之和可能等于12cn? 吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。 (3) 两个正方形的面积之和最小为多少? 6、AB两地间的路程为36千米.甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度. 考点七、根与系数的关系 ⑴前提: |对于ax2bxc0而言,当满足①a0、②0时,才能用韦 达定理。 ⑵主要内容: X1 X2 b 一,%X2 c 常用变形: a a 2 X1 2 X2 (X1 X2)2 2x1x2■— 丄 X-! X222 ,(X1X2)(X1X2)4X1X2, X2 ^X2 lx X2| J(X1 X2)2 4X1X2, 22 X1X2X1X2X1X2(X1X2), X2 xx x,x2 Xx1x,2x22(x1x2)24x1x2 ⑶应用: 整体代入求值。 典型例题: 角形的斜边是( )A. .3 D..6 X y10, 22 xy10, 例2、解方程组: (1) (2) xy 24; xy2. 例3、已知关于 X的方程 22 kx 2k1x10有两个不相等的实数根X1,X2, (1)求k 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根,则这个直角三 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数? 若存在,求出 k的值; 若不存在,请说明理由。 例4、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错 常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。 你知道原来的方程是什么吗? 其正确解应该是多少? 例5、已知ab,a22a10,b22b10,求ab 变式: 若a22a10,b22b10,则--的值为。 ba 例6、已知,是方程x2x10的两个根,那么43 22fbfa 针对练习1.已知a7a4,b7b4(ab),求J—J—的值。 2、已知x「X2 a■.b 32 是方程x2x90的两实数根,求x17x23x266的值。 3.(湖北中考题)设a22a10,b42b210,且1ab20,则 22 abb3a1 a 4.(四川中考题)如果方程x2+px+q=0的两个根是X1,X2,那么X1+X2=—p,x「X2=q.请根据以上结论,解决下列问题: (1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n丰0),求出一个一元二次方程,使它的两根别是 已知方程两根的倒数; (2)已知a、b满足a2—15a—5=0,b2—15b—5=0,求a+b的 ba 值;(3)已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值. 1•当k为何值时,关于x的方程k21x2k1x20有实数根 2.已知方程2xabxabab0是关于x的一元二次方程,求a,b的值 3设x3a3x100和x3b4bx80都是关于x的一元二次方程, ——2012——2013 求: .ab.,ab的值。 4解下列方程: 2 (1)2x2i2x50 (2)3-x6x-20 22 (3)3xx55x5 5已知方程2x24m1实根。 6已知三个关于x的一元1 恰有一个公共实数根,求 (4)x2x20 xm22m求证: 不论m为何值, 次方程ax2bxc0bx2cx 2a b2 2 c'…亠 的值。 bc ac ab 次方程均有两个不相等的 2 a0cxaxb0 7已知a22a10 8关于x的方程x2(k b4 2b2 试求 22 abb1 a 2012 的值。 求k的值及公共根。 1)x20和方程x22xk(k1) 0只有一个相同的实根, 9已知分别是三角形ABC的三边长。 当m>0时,关于x的一元二次方程 22 cxmbxm2max0有两个不相等的实根,试判断三角形ABC的形状。 10已知方程x25x60与方程2x22xm0的公共根和方程3x2x240与 121方程一xxn0的公共根相同,求mn的值。 22 11mn是方程x22x10的两个根,且7m214ma3n26n712求a的值。 5。 乙把常数项看错了得两根为 2.6和2..6,求原一元二次方程。 12甲,乙两同学分别同时解同一个一元二次方程,甲把以此项系数看错了解的两根为-3和 13已知关于x的方程x22(m2)x3m210 (1)求证无论m为何值,方程总有两个不相等的实根 (2)设方程的两根为x1,x2,x1x22&'3求m的值。 14要使关于x的一元二次方程x22(m2)x3m210的两根的平方和最小, 求m的值。 2 15已知函数y=和y=kx+1(x丰0) x (1)若这两个函数都经过(1,a)求a和k的值 (2)当k取何值时,这两个函数图像总有公共点 16某商店销售一批名牌衬衫,平均每天可以销售20件,每件盈利40元,为了扩大销售, 增加利润,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,调查发现如果每件降价1元则每天 可以多销售2件,若商场平均每天盈利1200元,则每件应该降价多少元? 17为实现国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。 从 2010年起,市政府开始投资,以后逐年增长,2011年投资了3亿元人民币。 预计2012 年底三年累计共投资亿元人民币建设廉租房,若在这两年内投资的增长率相同,求市政 府投资的年增长率? 18某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品,该商家可自行定价。 若每件商品售价 元,则可卖出(350-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%商店 计划要赚400元,需要卖出多少件商品? 每件商品售价多少? 一元二次方程培优训练 一部分 22 1.已知方程3ax-bx-仁0和ax+2bx-5=0,有共同的根-1,贝Ua=_=. —2 2.关于x的方程(m.3)xmx30是一元二次方程,则m; 3.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长,且(a2b2)(a2b21)12,则这个直角 三角形的斜边长为; 211 4•当x时,代数式x-x一的值为0 22 5.已知: m12,则关于x的二次方程(m1)x2(m5)x40的解 6.方程(23)x2x的解是; 7.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根为-1, 则b与a、c之间的关系为;若有一个根为零,则c=. 10、\3x4y26y9 0贝Hxy= 12、在一条线段上取n个点,这n个点连同线段的两个端点一共有(n+2)个点,若以这(n+2) 个点中任意两点为端点的线段共有45条,则n=13、方程2x23x0的 根是。 14、如果x22m1x4是一个完全平方公式,则m。 15、已知两个数的差等于4,积等于45,则这两个数为和。 16、当m时,关于x的方程m21x2m1x20为一元二次方程。 2 17、(x—3)=1的根是. 18、方程(x+1)(x—2)=0的解是. 19•写出一个一元二次方程,使它的一个根为2. 20.当x=时,代数式x24x的值与代数式2x3的值相等. 21.我市某企业为节约用水,自建污水净化站,7月份净化污水3000吨,9月份增加到3630 吨,则这两个月净化污水量的平均每月增加的百分率为. 22.一个立方体的表面积是384cm2,求这个立方体的棱长.设这个立方体的棱长为xcm,根据题意列方程得,解方程得x=. 23.在一幅长80cm,宽50cm的长方形风景画的四周镶一 条金色纸边(如图所示),制成一幅长方形挂图•如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,则由题意列方程得. 二部分 1、关于y的一元二次方程2yy34的一般形式是。 2 2、3xx7的二次项系数是,一次项系数是,常数项是。 3、方程2x2.3x0的根是。 22 4、用配方法解方程x4x60,则x4x6, 所以x-i,x2。 5、当>0时,一元二次方程ax2bxc0的求根公式为 6•—个三角形的两边长为 3、6, 第三条边长疋方程(x 2)(x4) 0的根,则这个三角形 的周长是 () A•11 B.13 C.11或13 D.无法角定 7、下列方程是一 元二次方程的是( ) A、x2y 1B 、2xx 12x23C、 3x1D4 、x220 x 8、关于x的一兀 二次方程 x2k 0有实数根,则( ) A、kV0 B、 k>0 C、k>0 D、 kw0 22 9、将方程x2x30化为xmn的形式,指出m,n分别是() A、1和3B1和3C、1和4D、1和4 10、方程x(x1)(x2)0的解是; 11、当y=时,y2-2y的值为3; 12、已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1,贝Uk=—另一根为; 13、写出以4,—5为根且二次项系数为1的一元二次方程是; 14、某校去年投资2万元购买实验器材,预期今明两年的投资总额为8万元,若该校这两年 15、设a,b是一个直角三角形两条直角边的长,且 (a2 b2)(a2b21)12,则这个直 购买实验器材的投资的年平均增长率为x,则可列方程 角三角形的斜边长为 三部分 1.方程不一定是一元二次方程的是 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 、、3x2 一x 57 2、 2 若关于x的一元二次方程a1x 10的一个根是0,贝ya的值是 ( )A 、1 B 、-1C、 1或-1 D、 1 2 3、 把方程x2 8x 3 2 0化成xm n的形式, 则m n的值是( ) A 4,13B、 -4, 19 C、-4,13D 、4,19 4、 已知直角三角形的两条边长分别是方程 x214x 48 0的两个根, 则此三角形的第三 边是() A6或8B、10或2.7C、10或8D、2.7 5.关于x的方程(a2a2)x2axb0是一元二次方程的条件是----() Aa1Ba2Ca1且a2Da1或a2 6等腰三角形的两边的长是方程x220x910的两个根,则此三角形周长为 A.27B.33C.27和33D.以上都不对 7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片, 如果全班有x名同学,根据题意,列岀方程为() A.x(x+1)=1035B.x(x—1)=1035X2C.x(x—1)=1035D.2x(x+1)=1035 8.一元二次方程2x(x—3)=5(x—3)的根为() 555 A.x=2B.x=3C.X1=3,X2=2D.x=—2 9.已知x25xy6y20,则y: x等于() 111 A.-或1B.6或1C.-或—D.2或3 632 x25x6 9.使分式x一5^-6的值等于零的x是() x1 或6C.-1 2 10方程x-4|x|+3=0的解是() =±1或x=±3=1和x=3=-1或x=-3D.无实数根 11.关于x的方程x2-k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根,k的值是() 或4C.-4 12、请判别下列哪个方程是一元二次方程() 23 A、x2y1B、x50c、2x—8D、3x86x2 x 13、请检验下列各数哪个为方程x26x80的解() A、5B、2C、8D、2 14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题,其中答对的是() A、若x24,则x2;B、若3x26x,Wx2; Cx2xk0的一个根是1,则k2; D若分式V2的值为零,则x2。 x23x2 15、如果x2bx16x42,则b的值为() A、4 B 、4C 、8 D 、8 16、将方程x2 2x3 2 0化为xm n的形式, 指出 m,n分别是( ) A、1和3 B1和3C 、1和4 D 、1和4 17、已知一元二 -次方程 mx2n0m 0,若方程有解, 则必须( ) A、n0B、mn同号C、n是m的整数倍D、mn异号 18、若a为方程x2x50的解,则a2a1的值为() A、12B、6C、9D、16 19、某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元,如果每月比上月 增长的百分数相同,则平均每月的增长率为() A10%B、15%C、20%D、25% 、解一元二次方程 (
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