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完整版离散数学题目及答案
数理逻辑习题
判断题
1.任何命题公式存在惟一的特异析取范式(√)
2.公式p(pq)是永真式(√)
3.命题公式(pq)p是永真式(√)
4.命题公式pqr的成真赋值为010(×)
5.xA(x)Bx(A(x)B)(√)
6.命题“如果1+2=3,则雪是黑的”是真命题(×)
7.p(pq)p(√)
8.x(F(x)G(x))是永真式(×)
9.“我正在撒谎”是命题(×)
10.xF(x)xG(x)是永真式(√)11.命题“如果1+2=0,则雪是黑的”是假命题(×)
12.p(pq)p(√)
13.x(F(x)G(x))是永假式(×)
14.每个命题公式都有唯一的特异(主)合取范式(√)
15.若p:
雪是黑色的,则公式pq是永真式(√)16.每个逻辑公式都有唯一的前束范式(×)
17.公式pq的特异(主)析取式为pq(×)
18.命题公式p(qr)的成假赋值是110(√)
19.一阶逻辑公式x(F(x)G(x,y))是闭式(×)
单项选择题
1.下述不是命题的是(A)
A.花儿真美啊!
B.
明天是阴天。
C.2是偶数。
D.
铅球是方的。
2.
谓词公式(y)(x)(P(x)
→R(x,y))
∧yQ(x,y)中变元y(B
A.是自由变元但不是约束变元
B
.是约束变元但不是自由变元
3.
C.既是自由变元又是约束变元
D
.既不是自由变元又不是约束变元
下列命题公式为重言式的是(
A)
A
.p→(p∨q)
B.
(p∨┐p)→q
C
.q∧┐q
D.
p→┐q
4.
下列语句中不是..命题的只有(
A)
A.花儿为什么这样红?
B.
2+2=0
)
C.飞碟来自地球外的星球。
D.凡石头都可练成金。
5.在公式(x)(y)(P(x,y)Q(z))
y)P(y,z)中变元y是(B)
A.自由变元
B.约束变元
C.既是自由变元,又是约束变元
D.既不是自由变元,又不是约束变元
6.下列命题公式为重言式的是(
A.p→(p∨q)
B.(p∨┐p)→q
C.q∧┐q
7.给定如下4个语句:
D.q→┐p
1)我不会唱歌。
2)
如果天不下雨,我就上街。
3)我每天都要上课。
4)
火星上有人吗?
其中不是复合命题的是(B
B.(3)(4)
A.
(1)(4)
C.
(1)(3)
D.
(1)(3)(4)
8.下列含有命题
p,q,r的公式中,
是特异(主)
析取范式的是
A.(pq
r)
pq)
B.
r)
pq)
C.(pq
r)
r)
D.
9.设个体域为整数集
则下列公式中值为真的是(
)。
A.(y)(x)
x·y=2)
B.
x)(y)(x·
y=2)
C.(x)(x-y=x)
D.
x)(y)(x+y=2y)
10.下述不是命题的是(D)
B.月亮上有水
D.x3
A.花儿是红色的
C.3是偶数
11.
用P表示:
天下大雨;Q表示:
他乘公共汽车上班。
将“如果天下大雨,他就乘公共
汽车上班。
”符号化正确的是(A
)
A
.PQB.QP
C.P
QD.PQ
12.谓词公式(y)(x)(P(x)
→
R(
x,y))∧
xQ(x,y)中变元y(C)
A.
是自由变元但不是约束变元
B.
是约束变元但不是自由变元
C.
既是自由变元又是约束变元
D.
既不是自由变元又不是约束变元
13.下
列命题公式为永假式的是(
C
)
A.
p→(p∨q)
B.
p∧q→q
C.
q∧┐q
D.
p→q
14.下
列语句中,不是命题的是(
C
)
A
.铅球不是球。
B
.要是他不上场,我们就不会输。
C
.刘翔跨110米栏用了不到13秒钟,
你说他是不是运动健将呢?
D
.刘翔跨110米栏用了不到13秒钟,
他是一个真正的运动健将。
13.关于命题变元P和Q的成假赋值为
01
对应的极大项是(C)
A
.┐P∧QB.┐P∨Q
C.P∨
┐QD.P∧┐Q
14.谓词公式(y)(x)(P(x)
→
R(
x,y))∧
yQ(x,y)中变元y(B)
A
.是自由变元但不是约束变元
B.
是约束变元但不是自由变元
C
.既是自由变元又是约束变元
D.
既不是自由变元又不是约束变元
15.
设p:
开关A开,q:
开关B开,则“开且只开
A、B中一个开关”的命题公式是(
A.
pq
B.
p
q
C.
(pq)(pq)
D.
(p
q)(pq)
16.下
列等价式正确的是(C)
A.
┐(x)A(x)┐A
B.
(x)(
y)A(x)(y)A
C.
┐(x)A(x)┐A
D
.(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)
17.在论域D={a,b}中与公式(x)
A
(x)
等价的不含存在量词的公式是(B)
A.
A(a)A(b)
B
.A(a)
A(b)
C.
A(a)A(b)
D.
A(b)
A(a)
18.下
列命题公式为重言式的是(
C
)
A.
p→(p∧q)
B.
(p∨┐
p)→q
C.
p∨┐p
D.
p→┐q
C)
19.下列命题中真值为1的是(B)
A.若2+2=4,则3+36
B.若
2+2=4,则3+3=6
C.2+2=4,当且仅当3+36
D.2+24,当且仅当3+3=6
20.设个体域为整数,下列公式中真值为
1的是(
B)
A.xy(x+y=1)
B.
xy(x+y=1)
C.xy(x+y=1)
D.
xy(x+y=1
21.下列命题中真值为0的是(C
)
A.若2+2=5,则3+36
B.若2+2=4,则3+3=6
C.2+2=5,当且仅当3+36
D.
2+24,当且仅当3+3=6
22.谓词公式x(M(x)y(E(y)
L(x,y))中变元x(C)
A.是自由变元但不是约束变元
B.
是约束变元但不是自由变元
C.既是自由变元又是约束变元
D.
既不是自由变元又不是约束变元
23.设个体域为整数,下列公式中真值为
1的是(
B)
A.xy(x+y=1)
B.
xy(x+y=1)
C.xy(x+y=1)
D.
xy(x+y=1
填空题
1.n个命题变元的极小项有2n
个。
2.设p:
220,q:
3是奇数,则pq的真值是1。
3.含n个命题变项的重言式的特异(主)合取范式为1
4.设个体域为整数集合Z,命题xy(xy3)的真值为1
5.公式xP(x)xQ(x)的前束范式为x(P(x)Q(x))
6.设p:
我很累,q:
我去学习,命题:
“我很累,但我还去学习”的符号化为pq
7.设P表示:
天下大雨;Q表示:
他乘公共汽车上班,则命题“如果天下大雨,他就乘公共汽车上班。
”的符号化是pq
8.设P:
2+2=4,Q:
3是奇数,则命题“2+=24,当且仅当3是奇数.”的符号化为PQ
9.含n个命题变项的矛盾式的特异(主)析取范式为0
10.命题公式pq成假的解释是01,1011.pq的成假解释为01,10
计算题
1.
求
xF(x)
xG(x)的前束范式。
解:
xFx
xGx
xFx
xGx3分
xFx
Gx3分
2.
求
(pq)
r的真值表,并写出它的特异(主)析取范式和特异(主)合取范式。
解:
真值表如下:
故主析取范式为
pqrpqrpqrpqrpqr
主合取范式为
pqr
p
qr
pqr
3.求命题公式的
((p
q)
r)p成真赋值。
解:
pq
r
p
=p
q
r
p
pq
=prqrp
成真赋值100,010,101,110,111
4.将公式(xP(x)yR(y))xF(x)化为前束范式。
解:
xPxyRyxFx
xyPxRyxF
xyPxRyzF
xyzPxRyF
5.求公式(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)
解:
pqr
pqr
p
q
r
pq
r
p
q
r
p
qr
p
q
p
r
pq
p
q
r
p
qr
成真赋值为:
000,001,010,111
6.用谓词公式表示“有人喜欢吃所有的食物”
解:
Mx:
x是人,Ny:
y是食物
Hx,y:
x喜欢吃y
符号化:
xMxyNyH
7.用作真值表方法确定下列命题公式的类型:
x
z
z
的特异(主)析取范式,并求成真赋值r
pqrpqr
。
x,y
((pq)(qp))(pq).解:
设原式=A,真值表如下:
p
q(pq)
(qp)
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
则原式为永真式。
pqA
11
11
01
11
8.用逻辑式表示
”。
某些计算机与某些外部设备之间不能相联
解:
Cx:
x是计算机,Dx:
x为外部设备,
Px,y:
x与y相联
10.给定一阶逻辑公式xP(x,y)
yQ(y),求该公式的前束范式。
符号化为xy(C(x)D(y)P(x,y))
解:
原式=(F(a)
yG(y))(F(b)
yG(y))
=(F(a)
(G(a)
G(b)))
(F(a)(G(a)G(b)))
=(F(a)
F(b))
(G(a)
G(b))
9.在个体域D{a,b},消去公式x(F(x)
yG(y))的量词。
解:
原式xPx,yzQz
xzPx,yQz
11.用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间能相联解:
Cx:
x是计算机,Dx:
x为外部设备,
Px,y:
x与y相联
符号化为xy(C(x)D(y)P(x,y))
12.用等值演算求命题公式┐(p∨q)∧(q→r)的特异(主)析取范式,并判断该公式的
类型。
解:
原式
pq
qr
p
q
qpqr
p
q
pqr
p
q
rpqr
公式类型为非永真的可满足式。
13.设一阶逻辑公式Gx(yP(x,y)(zQ(z)R(x))),试将G化成与其等价的前束范式。
解:
Gx(yP(x,y)(zQ(z)R(x)))
=xy(P(x,y)z(Q(z)R(x)))
=xyz(P(x,y)(Q(z)R(x)))
14.设公式G的真值表如下,试求出G的特异(主)析取范式和特异(主)合取范式。
p
q
r
G
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
解:
主析取范式(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
主析取范式(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
15.求公式xF(x)yG(x,y)的前束范式。
解:
原式=xF(x)yG(z,y)
=xy(F(x)G(z,y))
证明题
1.用等值演算证明等值式
(p
r)
(qr)(pq)r
证明:
左边(pvr)
(q
r)
(pq)r
(pq)r
(p
q)
r右边
2.设P,Q,R是三个命题,构造下列推理证明:
前提:
PQ,QR,P
结论:
R
证明:
1P前提引入
2PQ前提引入
3Q12析取三段论4分
4QR前提引入
5R34假言推理4分
前提:
p(q
s),q,r
p
结论:
rs
证明:
(1)r
附加前提引入
(2)
pr
前提引入
(3)
p
(1)
(2)拒取
3.证明下列推断
4)pq
s
前提引入
5)qs
6)q
7)s
(3)(4)假言推理
前提引入
(5)(6)假言推理
4.用构造证明法证明下列推理:
前提:
pq,(qr)r,(ps)
结论:
s
证明:
1s
2ps
3ps
4p
5prr
6pr
7r
8r
9rr
5.证明:
p(qr)证明:
左边pqprqprqprqprq
否定结论引入
前提引入
2置换
13析取三段论
前提引入
5简化
5简化
46析取三段论
78合取
(pr)q。
r
=右边
6.证明公式G=((P→Q)∧(Q→P)∧P)→P是永真式。
证明:
G
((PQ)
(Q
P)
P)P
=((P
Q)
P)
P
=((P
P)
(P
Q))P
=(P
Q)
P
=P
Q
P
=1Q
=1
G为永真式
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