第6章潘峰版自控原理.docx
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第6章潘峰版自控原理
第6章控制系统的校正
【教材习题选解】
6-1设单位反馈系统开环传递函数为
Gc(s)
200
s(0.1s1)
40°,截止频率不低于60s'1。
200
A()G0(
200
0.1
>10
令A(c)1,
可得
得c44.7s1<60s1,原系统的相位裕量为
180o(c)
oo
18090
oo
arctan0.144.712.6<40
因此,可用串联超前校正比较合适。
Ts1
(2)设Gc(s),并取
Ts1
c60s1
此时,近似有A0()2002
0.1(c)2
L(
c)20lg2002
0.1(c)2
10lg,得3.25
试设计一个无源串联超前校正网络,使校正后系统的相位裕量不小于解:
(1)由传递函数知,该系统为I型系统。
<10
或者由校正原理图6-14可知
4
c
40lg—10lg,得
c
3.25
则:
T
1
—=0.008,T0.032
mJ
故,校正装置传递函数为Gc(s)0.032s1。
0.008s1
(3)校正后系统开环传递函数为
G(s)G0(s)Gc(s)‘丁曙爲1)“
s(0.1s1)(0.008s1)
由此可求得校正后系统的相位裕量为
180°arctan0.0326090°arctan0.1
60arctanO.0086046.4o>40°满足要求。
6-2已知单位反馈系统的开环传递函数为
Go(s)
K
s(s/101)
若要求校正后系统的稳态速度误差系数Kv100,相位裕量
50,试确定串联超前校正装置。
解:
(1)由传递函数知,该系统为I型系统。
则由稳态指标要求有:
KvK100
故,
满足稳态性能的未校正系统开环传递函数为
G0(s)
100s(0.1s1)。
A(
)G0(
令A(c)1,
可得
180°(c)
100
<10
100
0.1
>10
单1,
0.1c
00
18090
得c31.6s1,原系统的相位裕量为
arctan0.1
00
31.617.6<50
因此,
选用串联超前校正比较合适。
(2)
Ts1
设Gc(s),并取
Ts1
根据
,则有:
37.4°,
1也』4.12,取a=5Sinm
按超前校正原理,应有c>
此时,近似有
A0(c)
带,即L(c)
20ig*
0.1(c)2
10lg,得cm47.36s1
或者根据超前校正原理图
6-15
有:
40lg
ioig,得
47.3s1
0.009,
mV
0.045
故,校正装置传递函数为Gc(s)
0.045s1
0.009s1°
(3)校正后系统开环传递函数为
G(s)G0(s)Gc(s)罟需5爲"“
s(0.1s1)(0.009s1)
由此可求得校正后系统的相位裕量为
180°arctan0.04547.390oarctan0.147.3arctan0.00947.352.7o>50o满足要求。
6-3已知原有系统开环传递函数为
1)
相位裕量>40°幅值裕量20lgh>10dB。
G0(s)s(s1)(0.5s
试设计一个串联滞后校正装置,使校正后开环增益K5,
s(s1)(0.5s1)°
解:
(1)满足K5的原系统开环传递函数为G0(s)
其对数幅频特性如图6-16中L0()所示。
由图可见,c>2,则
5
A(c)1,得
0.5c
则校正前系统相位裕量为
图6-16习题6-3解答图
c2.15s1
180(c)180
90
arctan2.15arctanO.52.15
22.2<0可见原系统不稳定,故选
用串联滞后校正。
Ts1
⑵设Gc(s)育1
并取
则校正后系统的相位裕量应为:
令(c)
180(c)180
90arctancarctan0.5c
45
解之得:
c0.4s1(即通过计算法求得)
原系统在
c0.4s
11
<1s处的幅值近似为:
Ao(
c)-
则其对数幅值近似为:
5
L0(c)20lg—
c
20lg
,得12.5
或者由图得:
20lg
1
20lg——20lg5,得
0.4
12.5
选择校正装置的转折频率
0.1s1,则T10s,
T125s。
则,校正装置的传递函数为
Gc(s)韶
绘制对应的对数频率特性图如
图6-16中Lc(
)所示。
(4)指标验算
校正后系统的传递函数为
G(s)
Go(s)Gc(s)
5(10sD
绘制对应的对数频率特性图如图6-16中L(
由此可求得校正后系统的相位裕量为
s(s1)(0.5s1)(125s1)
)所示。
180°arctan100.490°arctan0.4arctan0.50.4arctan1250.449.5o>40°由图可知,
20lghL(x)>120lg11dB,满足系统性能指标的要求。
6-4设原有系统开环传递函数为
G0(s)s(0.1s1)(0.2s1)
若要求校正后系统静态速度误差系数
Kv30,相位裕量
40,截止频率c2.3s-1,试设计串联
滞后校正装置。
解:
(1)KvK30,满足稳态要求的原系统开环传递函数为
Go(s)
30
s(0.1s1)(0.2s1)°
图6-17习题6-4解答图
其对数幅频特性
)
由图可见,c>10,则
c11.45s1
则校正前系统相位裕量为
180(c)18090arctan0.111.45
arctan0.211.4525.4<0可见原系统不稳
定,故选用串联滞后校正。
Ts1
(2)设Gc(s),取校正后系统截止频率
Ts1
2.3s-1
原系统在c2.3<5处的幅值近似为:
A(
c)30
则,其对数幅值近似为:
30
L0(c)20lg—
20lg
,得
13
或由图得:
20请
选取校正装置的转折频率
10“
40lg亏60lg
1
T
11.45
10
20lg
,得
13
0.46s1,
2.2s,T28.3s。
则,校正装置的传递函数为
Gc(s)2.2s1
28.3s1
绘制对应的对数频率特性图
如图6-17中Lc(
)所示。
(4)指标验算
校正后系统的传递函数为
G(s)
Go(s)Gc(s)
绘制对应的对数频率特性图
由此可求得校正后系统的相位裕量为
如图6-17中L(
s(0.1s
)所示。
30(2.2s1
1)(0.2s1)(28.3s1)
180°arctan2.22.390oarctan0.12.3
arctanO.22.3arctan28.32.3满足要求
置。
42°>40°
6-5设单位反馈系统的开环传递函数为
Go(s)
若要求校正后系统的开环增益不小于
s(0.05s1)(0.25s1)(0.1s1)
12,超调量小于30%,调节时间小于3s,试确定串联滞后校正装
33s1
参考答案:
Gc(s)20R(方法同6-4)
6-6设有一单位反馈系统,其开环传递函数为
G0(s)
s(s1)(s2)
Kv10,相位裕量50°增益裕量
采用串联滞后-超前校正方法,使系统校正后满足速度误差系数20lgh>10dB,试设计串联滞后-超前校正装置。
参考答案:
Gc(s)(1.43s1)(6.67sQ(采用期望频率特性法,方法同例6-5)
(0.143s1)(66.7s1)
6-7设单位反馈系统开环传递函数为
G0(s)s(0.1s1)(0.01s1)
试设计一串联滞后-超前校正装置,使得:
(1)静态速度误差系数Kv256;
(2)截止频率c30s1,相
256
位裕量>35°
解:
(1)系统为标准I型,KKv256,取K=256,则Go(s)
s(0.1s1)(0.01s1)
256
c50.6s1
用分段线性化法分析得,A(c)上芝1,得
0.1c
原系统相位裕量为
180o90oarctan0.150.6arctan0.0150.6-15.6o<0°
系统不稳定。
(2)用期望频率特性法设计校正装置
做原系统对数幅频特性曲线如
图6-18中的L0()所示。
根据题意取c30s1,过
c30s做-20dB/dec直线段作为L()的中频段,为使校正后系统保持
K=256,使预期开环对数幅频特性
L()与原系统L0()在低频段重合;为使校正装置及校正后系统简单,
可使此L()在
1
100s后的高频段与L0()平行或重合。
再由题意选取
1
=35°,则Mr1.74,期望特性中频段两端转折频率为
sin
Mr1
c可
M+1
佗8,取2=6;3c肓47.2,取3=60
则,
中频宽度H3/210满足一般设计要求。
2=6s1开始向左做-40dB/dec直线段与L0()相交于1=1.5s1;从3=60s1开始向右做-40dB/dec
直线段到
=100s1,从4=100s1处向右做-60dB/dec的直线。
从而得到预期开环对数幅频特性曲线如图6-18
中L()所示。
对应开环传递函数为
由L()可得对应开环传递函数为G(s)6
s(拧1)(6)s1)(荷D
由Lc()=L()L0()可得到,校正装置对数幅频特性曲线如图6-18中的Lc()所示。
则,校正装置传递函数为
11
G(s)(6s)10sP二(0.17s1(0.1s1)
C(丄s1)(丄s1)(0.67s怀皿1)1.560
(3)指标校验
由c30s1和G(s)表达式得,校正后系统相位裕量为
cco丄30ccoX30丄30丄30cccoclo
180arctan一90arctan一arctan一arctan——38.8>35
61.560100
满足设计要求。
6-8设控制系统如图6-19所示,其中Gc(s)是反馈校正装置,若要求校正后系统的静态速度误差系数
Kv=200,超调量%<25%,调节时间ts<0.5s,试确定反馈校正装置Gc(s)o
C(s)
s(0.1s1)(0.02s1)
图6-19习题6-8图
200
解:
(1)原系统开环传递函数为G0(s)
s(0.1s1)(0.02s1)
其开环对数幅频特性曲线如图6-20中L0()所示,由图得
Kv=K=200满足稳态要求。
c45s1o
(2)期望开环对数幅频特性的设计
把性能指标
%25%,ts<0.5s,代入公式
(T0.16
0.4(MY1)(1 ts—[2 c 1.5(Mr1)2.5(Mr1)2](35o<< o 90) 求校正后系统的动态指标,并取: c15.5s1,Mr 1.2。 20dB/dec穿过0dB线。 可认为期望频率特性的规律为: 为满足指标要求,必须使校正后系统中频段以 20dB/dec40dB/dec20dB/dec60dB/dec。 为使校正装置简单,过 c作20dB/dec直线,交"()于380s1,并取24s1,使校正后系统中 频宽度H—20。 相应的相位裕量为 2 arcsini^A? 1。 。 过24s1做40dB/dec的直线,交L0()于10.4s1。 为使校正后系统简单,且不影响原系统的稳态精度和抗干扰能力,使校正后系统的低、高频段均与原系统重合。 至此期望特性绘制完成,如图6-20中L()所示。 由图可得校正后系统的开环传递函数为 1 200(—S1)G(s)4— S(丄S 0.4 1)(80s1)2 200(0.25s1) s(2.5s1)(0.0125s 1)2 (3)确定校正环的开环对数频率特性 Lj() Lo()L()可得到此频段为了使校正装置尽可能 <80的频段内起作用,此时由Lj() <0.4和>80的频段内不起作用,因此, 保持穿越斜率不变。 由此可得到校正环的开环对数幅频特性曲 由图可见,反馈校正装置只在0.4< 内校正环的开环对数幅频特性如图;而在简单,一般要求Lj()曲线在这两个频段内,线,如图6-20中Lj()所示。 由Lj()可得到校正环的开环传递函数为 Gj(s)G2(s)Gc(s) 2.5s (0.25s1)(0.1s1)(0.02s1) (4)检验校正环的稳定性 检验校正环的稳定性主要就是检验 Gj⑸在3 80s1处的相位裕量。 j(3)180°90°arntan0.25 80arctan0.1 80arctan0.028052o>0o 可见校正环稳定。 在c15.5s1处的对数幅值Lj( c) Lj(c)20lg 25 .c——16.2dB0.25c0.1c 基本满足|Gj(s)|? 1的要求,说明误差在允许的范围之内。 (5)确定校正装置传递函数 由图6-19得G2(s) s(0.1s1)(0.02s1) Gj(s) 则,Gc(s)g2(s) 0.5s 0.25s1 (5)验算 有上述计算过程有Kv200,c15.5s1 180o-90o+arntan0.25 15.5arctan2.515.52arctan0.012515.555.1° Mr 1.2 sin [0.160.4(MY1)] 100=24%<25% ts —[21.5(Mr1) c 2.5(Mr1)2]0.4s<0.5s 全部满足系统性能指标要求。 ~⑨),试说明它们的名称。 6-9图6-21为一随动系统框图,框图中标出各种可能增添的环节(从① 图6-21习题6-9图 解: ①比例控制器,②比例-微分(PD)控制器,③比例-积分(PI)控制器,④比例-积分-微分(PID)控制器,⑤比例校正装置,⑥微分校正装置,⑦检测装置,⑧按扰动补偿的前馈装置,⑨按输入补偿的前馈装置。 6-10图6-22为某单位反馈的最小相位系统在校正前、后的对数幅频特性曲线,其中 Lo( )为校正前, L()为校正后。 试分析校正前后系统动、稳态性能 、ts、ess)的变化情况。 1 解: 比较Lo()和L()可知: L()比Lo( )向下平移了14dB。 (1) 校正后低频段斜率没变但高度下降,所以 K减小,稳态精度降低。 (2) 校正后中频段斜率在 C之前由原来的 -40dB/dec,变为-20dB/dec,所以 增大, 减小,稳 定性提高; 但C下降,使ts增大,快速性变差。 校正后高频段衰减值增大,抗干扰能力提高。 6-11 图6-23为某单位反馈的最小相位系统在校正前、后的对数幅频特性曲线,其中 Lo( )为校正前, L()为校正后。 要求: (1) (2) (3) (4) 1 图6-23习题6-11图 解: (1)由Lo()得20lgK20,即K10,Go(s) 10 (0.1s1)(0.02s1) 由L()得K 30 30G(s)s(0.02s1) (2)Gc(s) G(s)3(0.1s1),Lc()L() G0(s) L0( )如图所示。 (3)由图得 c70K, c30 180 arctan0.170 arctan0.027043.5 180 90arctan0.023059 (4)比较 L0()和L()可知: ①低频段斜率增大(系统由0型变为I型),且高度提高, K增大,使稳态精度提高。 ②中频段斜率由-40dB/dec变成-20dB/dec,所以稳定性提高 (相位裕量由 43.5°提高到59°),但c减 小使ts增大,快速性变差。 ③高频段衰减值增大,抗干扰能提高。 6-12图6-24中S()为某单位反馈的最小相位系统校正前的对数幅频特性, Lc()为校正装置的对数幅 频特性。 要求: 写出校正前系统的开环传递函数和校正装置的传递函数;求出系统校正后的开环传递函数; 计算校正前后系统的截止频率; 求出校正前、后系统的相位裕量; 分析校正装置的作用。 (1) (2) (3) (4) (5) 写出校正前、后系统的开环传递函数;求出串联校正装置的传递函数;求出校正前、后系统的相位裕量;分析校正对系统动、稳态性能的影响。 1 解: (1)由Lo()得20lg 40,K 100,Go(s) 100 s(0.5s1)(0.025s1) 由Lc()得20lgKc0, Kc 1Gc(s)詁 (2)G(s)G0(s)Gc(s) 100(s1) s(5s1)(0.025b)2 (3)由图得c15s1 1 0.2 (4)校正前后系统的相位裕量为 L(0.2)L0(O.2),即40lg 215 20lg寸20lg在40lg寸,得c22.5s1 180° 180° 90° 90° arctan0.515 arctan522.5 (5)比较 L0( arctan0.0251513 2arctan0.02522.5arctan22.558.6° )和L()可知,校正前后: ①低频段高度和斜率都不变,因此稳态精度不变。 ②中频段斜率由-40dB/dec变成-20dB/dec,所以稳定性提高(相位裕量由负变正),但c减小,使得ts增大,快速性变差。 ③高频段不变,抗干扰性不变。 6-13 求: (1) 已知一单位反馈系统,校正前和串联校正装置的Bode图L0()和Lc()如图6-25(a)和(b)所示。 要 写出校正后各系统的开环传递函数;分析各校正装置对系统的作用,并比较其优缺点。 山( )/dB 720 L0( ) 0.1 1 r、 20 1 -20 0.5 10 *■.1 Lc( ) -40-'- 0 (a) *;s1 iL()/dB 卜-20 '、+20 、-- /- 0.5 Lc() X1020 -40\ (b) 图6-25习题6-13图 解: (1)由(a)图L0()得K20, Go(s) 20,由Lc( s(0.1s1) )得Gc(s) 2s1 10s1 由(b)图Lo()得K20,Go(s) 缶),由Lc()得Gc(s) s1 0.1s1 (2)(a)图为滞后校正,可以改善系统的稳定性,同时可以提高系统的抗干扰性,但要以牺牲快速性为代价;(b)图为超前校正,可以改善系统的动态性能,包括快速性和稳定性,但会使系统抗扰性下降。 6-14图6-26是采用PD串联校正的控制系统。 试计算: (1)当Kp10,Kd1时,求相位裕量 (2)若要求该系统截止频率 c5s1,相位裕量 50,求Kp、Kd的值。 图6-26习题6-14图 解: (1)设PD控制器传递函数为GpD(s)KpKds 则, 系统的开环传递函数为 G(s) ,当Kp10,Kd1是时,有G(s)晋宁 10 <1 A( )G() 10 1< <10 100.1 >10 由A(c)1,得 10 —2 c 3.2s1 相位裕量为: 180 90arctan0.1carctanc35.1 (2)系统的开环传递函数为 G(s) KpKdS Kp(1Kps) s(s1) s(s1) 当c5s,可以得到: A(c) c 1,Kp25 相位裕量为: 180o (c)180o cIZ 90oarctaarctan550o,得Kd4Kp 6-15图6-27为三种串联校正装置的Bode图,它们均由最小相位环节组成。 若控制系统为单位反馈系统, 其开环传递函数为G(s)2400——。 试问: s(0.01s1) 应该采用哪一种校正装置? (1)这些校正装置中,哪一种可使已校正系统说的稳定程度最好? (2)为了将12Hz的正弦噪声削弱10倍左右, hL()/dB iLL()/dB 0.11.010100 0.11.0 10 -20■■ “0 100/s1 (a) (b) 1 图6-27习题6-15图 解: (1)有两种方法可以解答方法一用Bode图定性分析。 具体如下: 400 先根据G(s)右 s(0.01s1) 绘制校正前系统的对数幅频特性曲线L(),再根据串联校正原理 L()。 如图6-28所示。 L()=L()+Lc(),分别将将L()曲线与图6-27所示三种校正装置的对数幅频特性曲线Lc()在同一对 数坐标系中分段叠加,得到校正后系统的对数幅频特性曲线 1 图6-28习题6-15解答图 ) -40db/dec,而且c之前的频 由图2-28可知,(a)图校正后系统的对数幅频特性曲线L()中频段斜率为 段较短,所以系统不稳定;(b)(c)图校正后系统的对数幅频特性曲线L()中频段斜率都为-20db/dec,因此两 种校正都能使系统稳定。 但(C)图中频宽度为H=40/2=20倍,而(b)图中频宽度只有H=100/10=10倍,因此(C) 图的校正装置会使校正后系统的稳定程度最好。 方法二用计算相位裕量来定量分析。 具体如下: s1 对(a)图Gc(s) 10s1 校正后系统开环传递函数为 G(s)冷 —S1 1)10s1 由G(jc)1得c6.3s1 贝=arctancarctan0.01carctan10c 11.7° (b)图Gc(s)0.1s1 0.01s1 校正后系统开环传递函数为 G(s)-^400 0.1s1 S(0.01s1)0.01s1 同理可求得 c40s1,=arctan0.1c2arctan0.01c32o (0.5s1)2
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