中国石油大学至学年第二学期高等数学期末考试试题.docx
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中国石油大学至学年第二学期高等数学期末考试试题
中国石油大学2008至2009学年第二学期高等数学期末考试试题
中国石油大学2008—2009学年第二学期
《高等数学》期末考试试卷
专业班级
姓 名
学 号
开课系室 数学学院基础数学系
考试日期 2009年6月22日
页码
一
二
三
四
五
总分
得 分
阅卷人
说明:
1本试卷正文共5页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上,计算题解题过程写在题下空白处,写在草稿纸上无效。
一.选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内).
1. 设三向量满足关系式,则( ).
(A)必有; (B)必有;
(C)当时,必有; (D)必有为常数).
2. 直线与平面的关系是( ).
(A)平行,但直线不在平面上; (B)直线在平面上;
(C)垂直相交; (D)相交但不垂直.
3. 二元函数在点(0,0)处( )
(A) 不连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在
(C) 连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在
4. 已知为某二元函数的全微分,则( ).
(A); (B); (C); (D).
5. 设是连续函数,平面区域,则( ).
(A); (B);
(C); (D).
6. 设为常数,则级数( ).
(A)发散 ; (B)绝对收敛; (C)条件收敛; (D)收敛性与的值有关.
二.填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分).
1. 设函数,向量,点,
则_____________.
2. 若函数在点处取得极值,则常数____________.
3. 为圆的一周,则_____________.
4. 设,级数的收敛半径为 _____________.
5. 设,则_____________.
6. 设是以为周期的周期函数,它在区间上的定义为,
则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于_____________.
三.解答下列各题(本题共7小题,满分44分).
1.(本小题6分)设是可微函数,,求.
解题过程是:
2. (本小题6分)计算二重积分,其中.
解题过程是:
3. (本小题6分) 设曲面是由方程所确定,求该曲面在点处的切平面方程及全微分.
解题过程是:
4. (本小题6分) 计算三重积分,其中是由柱面及,,所围成的空间区域.
解题过程是:
5. (本小题6分)求,其中为曲面,方向取下侧.
解题过程是:
6. (本小题7分) 求幂级数的收敛域及和函数.
解题过程是:
7. (本小题7分)计算,为立体的边界。
解题过程是:
四.证明题(8分).
设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,其起点为,终点为,记,
(1)证明曲线积分与路径无关;
(2)当时,求的值.
一.选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内).
1. 设三向量满足关系式,则( D ).
(A)必有; (B)必有;
(C)当时,必有; (D)必有为常数).
2. 直线与平面的关系是( A ).
(A)平行,但直线不在平面上; (B)直线在平面上;
(C)垂直相交; (D)相交但不垂直.
3. 二元函数在点(0,0)处(A)
(A) 不连续,偏导数存在 (B))连续,偏导数不存在
(C) 连续,偏导数存在 (D))不连续,偏导数不存在
4. 已知为某二元函数的全微分,则( D ).
(A); (B); (C); (D).
5. 设是连续函数,平面区域,则( C ).
(A)、; (B);
(C); (D).
6. 设为常数,则级数( B ).
(A)发散 ; (B)绝对收敛; (C)条件收敛; (D)收敛性与的值有关.
二.填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分).
1. 设函数,向量,点,
则____________.
2. 若函数在点处取得极值,则常数_________.
3. 为圆一周,则_____0_____.
4. 设,级数的收敛半径为 __________.
5. 设,则______.
6. 设是以为周期的周期函数,它在区间上的定义为,
则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于__________.
三.解答下列各题(本题共7小题,1-5每小题6分,6-7每小题7分,满分44分).
1.设是可微函数,,求.
解题过程是:
令,则, ………………………………..2分
, ………………………………..2分
于是. ………………………………..2分
2. 计算二重积分,其中.
解题过程是:
关于轴对称,被积函数关于是奇函数,故
; …………………………………..2分
于是 …..4分
3. 设曲面是由方程所确定,求该曲面在点处的切平面方程及全微分.
解题过程是:
令,则,
. …………………………………..2分
切平面为. …………………………………..1分
…………………………………..2分
于是. …………………………………..1分
4. 计算三重积分,其中是由柱面及,,所围成的空间区域.
解题过程是:
…………………………………..3分
. …………………………………..3分
5. 求,其中为曲面,方向取下侧.
解题过程是:
取为,法线方向指向轴正向 ………………………..1分
由Guass公式
……………………..2分
……………………..1分
. ……………………..2分
6. 求幂级数的收敛域并求其和函数.
解题过程是:
因为,所以,故收敛区间为;
时,极限,级数均是发散的;于是收敛域为.…………..2分
…………………….…………...3分
. …………………….…………...2分
7. (本小题7分)例1 计算,为立体的边界。
解题过程是:
解 设,为锥面,
为上部分,
在面投影为
=,
∴+=
=
四.证明题(8分).
设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面内的有向分段光滑曲线,其起点为,终点为,记,
(1)证明曲线积分与路径无关;
(2)当时,求的值.
(1)记,
成立,积分与路径无关. ……………………………………..3分
(2)由于积分与路径无关,选取折线路径,由点起至点,再至终点,则
.
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