《人教版八年级上册全册数学教案》2.docx

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《人教版八年级上册全册数学教案》2

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第十四章一次函数

14.1.1变量

教学目标

1．知识与技能

了解变量的概念，会区别常量与变量．

2．过程与方法

经历探索变量的过程，感受常量与变量的意义．

3．情感、态度与价值观

培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想．

重、难点与关键

1．重点：

理解变化与对应的内涵．

2．难点：

理解变化与对应的内涵．

3．关键：

从实际问题出发，引入变量，由具体到抽象的认识事物．

教学方法

采用“情境教学法”进行教学，让学生在熟悉的背景中认知常量与变量．

教学过程

一、创设情境，揭示课题

【情境思考1】

汽车以60千米时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s．

t时

1

2

3

4

5

s千米

【教师活动】提出问题，引导学生思考问题，提问个别学生．

【学生活动】先独立思考后再与同伴交流，填出表格中问题：

s：

60千米，120千米，180千米，240千米，300千米．推出含t的等式为s=60t（t≥0）．

【情境思考2】

每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？

设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？

【教师活动】引导学生思索，然后从学生中推荐好的方法．

【学生活动】分四人小组合作交流，通过交流，部分学生上讲台演示：

早、中、晚三场电影的票房收入各为：

1500元、2050元、3100元；含x的式子表示y为：

y=10x．

【情境思考3】

在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：

kg）的式子表示受力后的弹簧长度L（单位：

cm）？

【教师活动】启发诱导，并让出讲台，请学生上台板演．

【学生活动】观察图形，先独立思考后再与同桌交流，得到关系式为L=10+0.5x（x表示悬挂重物的重量）．

【情境思考4】

要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？

圆面积为20cm2呢？

怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r？

【教师活动】巡视、观察学生的思考，并及时加以启发，请一位学生上讲台演示．

【学生活动】独立思考，把问题解决．根据圆的面积公式S=r2，得出面积为10cm2时，圆的半径为cm；面积为20cm2时，圆半径为cm；关系式r=．

【情境思考5】

如课本图14．1-1所示，用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化，记录不同的长方形长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示S？

【教师活动】引导学生做实验．

【学生活动】拿出准备好的线，按要求进行实践、记录、计算、寻找规律，得到S与x的关系式为S=x（5-x）．

二、操作观察，获取新知

【形成概念】在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量．

【拓展延伸】请同学们具体指出上面的各问题中，哪些是变量，哪些量是常量？

【学生活动】通过小组合作交流，得到常量为：

60、10、5、、0.5等，变量为：

x、y、r、S、t、L等．

【教学形式】生生互动，畅所欲言．

三、随堂练习，巩固深化

课本P95练习．

四、课堂总结，发展潜能

1．什么叫做变量？

什么叫做常量？

它们之间有何区别？

2．本节课中，通过实际事例，你对变量的概念以及实际意义有怎样的感受？

五、布置作业，专题突破

课本P106第1，6题．

板书设计

14.1.1变量

1、变量的概念例：

2、会区别常量与变量练习：

14.1.2函数（2课时）

教学目标

1．知识与技能

了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系．

2．过程与方法

经历探索函数概念的过程，感受函数的模型思想．

3．情感、态度与价值观

培养观察、交流、分析的思想意识，体会函数的实际应用价值．

重、难点与关键

1．重点：

认识函数的概念．

2．难点：

对函数中自变量取值范围的确定．

3．关键：

从实际出发，由具体到抽象，建立函数的模型．

教学方法

采用“情境──探究”的方法，让学生从具体的情境中提升函数的思想方法．

教学过程

一、回顾交流，聚焦问题

1．变量（P94）中5个思考题．

【教师提问】

同学们通过学习“变量”这一节内容，对常量和变量有了一定的认识，请同学们举出一些现实生活中变化的实例，指出其中的常量与变量．

【学生活动】思考问题，踊跃发言．（先归纳出5个思考题的关系式，再举例）

【教师活动】激发兴趣，鼓励学生联想，

2．在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以挖地用T=10-来表示（如图），请你根据这个关系式回答下列问题：

（1）指出这个关系式中的变量和常量．

（2）填写下表．

高度dm

0

200

400

600

800

1000

温度T℃

（3）观察两个变量之间的联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就______．

3．课本P7“观察”．

【学生活动】四人小组互动交流，踊跃发言

二、讨论交流，形成概念

【函数定义】

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

【教师活动】归纳出函数的定义．强调在上述活动中的关系式是函数关系式．提问学生，两个变量中哪个是自变量呢？

哪个是这个自变量的函数？

【学生活动】辨析理解，如：

T=10-这个函数关系式中，d是自变量，T是d的函数等．弄清函数定义中的问题。

三、继续探究，感知轻重

课本P8探究题．

【学生活动】使用计算器进行探索活动，回答问题，理解函数概念．

（1）y=2x+5，y是x的函数；

（2）y=2x+1，y是x的函数．

四、范例点击，提高认知

【例1】一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：

L）随行驶里程x（单位：

km）的增加而减少，平均耗油量为0.11Lkm．

（1）写出表示y与x的函数关系的式子．

（2）指出自变量x的取值范围．

（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

【教师活动】讲例，启发引导学生共同解决上述例1．

五、随堂练习，巩固深化

课本P99练习．

六、课堂总结，发展潜能

1．用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法），它只是函数表示法的一种．

2．求函数的自变量取值范围的方法．

（1）要使函数的表达式有意义；

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义．

3．把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．

七、布置作业，专题突破

课本P106习题14．1第1，2，3，4题．

板书设计

14.1.2函数

1、函数的概念例：

2、函数中自变量取值范围的确定练习：

3、从实际出发建立函数的模型

14.1.3函数的图象

（一）

教学目标

1．知识与技能

了解函数的三种表示方法，领会它们的联系和区别．

2．过程与方法

经过探索函数图象的过程，会应用数形结合的思想分析问题．

3．情感、态度与价值观

培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值．

重、难点与关键

1．重点：

函数的三种表示法．

2．难点：

函数图象的认识．

3．关键：

从情境中抽象出函数的概念，认清自变量与函数的关系，通过画函数图象直观地认识函数的内涵．

教学方法

采用“操作──感悟”的教学法，让学生在画图中认识函数，从而提高识图能力．

教学过程

一、回顾交流，情境导入

1、一种豆子每千克2元，写出买豆子的总金额y（元）与所买豆子的数量x（千克）之间的函数关系，回答下列问题：

（1）上面函数式中，哪个是自变量？

哪个是函数？

自变量取值范围是什么？

（2）由所求出的函数式填表：

x（千克）

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y（元）

【教师活动】观察学生的思维表现，提问学生．

【学生活动】独立思考，解答问题，上讲台演示．

【师生共识】y=2x，

（1）x是自变量，y是x的函数，x取值范围是x取大于等于0的数；

（2）0，1，2，3，4，5，6．

2、问题探究：

如图，正方形边长为x，面积为S，探究下列问题：

（1）写出S关于x的函数关系式，并求出x的取值范围．

（2）计算并填写下表：

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

S

（3）在直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点描出来，然后用光滑的曲线连接这些点．

【形成概念】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些组成的图形，就是这个函数的图象．

二、观察思考，实际应用

情境思索：

课本图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，你从图象中得到了哪些信息？

三、范例点击，提高认识

【例2】下面的图象（课本图）反映的过程是：

小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．

根据图象回答下列问题：

（1）菜地离小明家多远？

小明走到菜地用了多少时间？

（2）小明给菜地浇水用了多少时间？

（3）菜地离玉米地多远？

小明从菜地到玉米地用了多少时间？

（4）小明给玉米地锄草用了多少时间？

（5）玉米地离小明家多远？

小明从玉米地走回家的平均速度是多少？

【例3】在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：

（1）y=x+0.5；

（2）y=（x>0）．

【探索方法】描点法画函数图象的一般步骤如下：

第一步：

列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：

描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：

连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．

【情境思考】课本P103思考题

（1）、

（2）．

四、随堂练习，巩固深化

课本P104练习第1、2、3题．

【探研时空】

如图所示，分析右面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境．

五、课堂总结，发展潜能

1．我们可以由一个函数的表达式，列出这个函数的函数对应值表，并把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象．

2．如果已知一个变量与另一个变量之间存在函数关系，根据这两个变量的对应值，可以列表或画图表示这个函数．到此为止，我们共学习了函数的三种表示法：

（1）表达式法（解析式法）；

（2）列表法；（3）图象法．

六、布置作业，专题突破

课本P106习题14．1第5，6，7，8题．

板书设计

14.1.3函数的图象

（一）

1、函数的三种表示方法

例：

2、自变量与函数的关系

练习：

3、画函数图象

14.1.3函数的图象

（二）

教学目标

1．知识与技能

会运用描点法画出函数的图象，并认识自变量取值范围和函数值的内在联系．

2．过程与方法

经历探索画函数图象的过程，提高识图能力，感受现实世界的变化规律以及有关的数学符号．

3．情感、态度与价值观

培养良好的变化与对应意识，体会函数的内涵．

重、难点与关键

1．重点：

对函数图象的理解．

2．难点：

怎样用语言描述图象的变化过程．

3．关键：

抓住函数的性质，培养学生读图能力．

教具准备

直尺、圆规．

教学方法

采用“启发式──探究”教学法，让学生在图形的认识中感悟新知．

教学过程

一、回顾交流，巩固迁移

【复习提问】

1．函数有哪几种表示方法？

你认为三种表示函数的方法各有什么优点？

2．结合上一节内容，请你说说什么是函数的图象？

【例4】一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．

t时

0

1

2

3

4

5

…

y米

10

10.05

10.10

10.15

10.20

10.25

…

（1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：

米）随时间t（单位：

时）变化的函数解析式，并画出函数图象；

（2）据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米．

【思路点拨】记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系，我们现在需要从这些数值找出这两个变量之间的一般联系规律，由写它出函数解析式，画出函数图象，进而预测水位．

（1）y=0.05t+10（0≤t≤7），图见课本P17（课本图14．1-10）；

（2）y=0.05×7+10=10.35．

【学生活动】参与其中，认识函数的三种表达形式在实际中的应用．

【评析】由例4可以看出函数的不同表示法之间可以转化．

二、随堂练习，巩固深化

课本P106练习第1、2题．

三、课堂总结，发挥潜能

让学生归纳由函数解析式画函数图象的步骤．

四、布置作业，专题突破

课本P106习题14．1第9，10，11，12题．

板书设计

14.1.3函数的图象

（二）

1、画函数图象

例：

2、用语言描述图象的变化过程

练习：

3、函数的性质

14.2.1正比例函数

教学目标

1．知识与技能

领会正比例函数的定义，会从实际问题中提炼出正比例函数的解析式．

2．过程与方法

经历探索正比例函数的过程，发展学生的类比思维．

3．情感、态度与价值观

培养由此及彼地认识问题的能力，体会事物的抽象性以及正比例函数的实际应用价值．

重、难点与关键

1．重点：

正比例函数．

2．难点：

正比例函数性质的理解．

3．关键：

从实际问题出发，从中提炼出函数的模型．

教学方法

采用“情境导入──建立模型”的方法，让学生从实际生活中感知正比例函数概念．

教学过程

一、回顾交流，探索新知

【知识回顾】

在小学我们学过正比例关系，小学数学是这样陈述的：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它的关系叫做正比例关系，写成式子是=k（一定），在小学k是大于零的数．

问题探究1：

1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环：

4个月零1周后，人们在2.56万米外的澳大利亚发现了它．

（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？

（2）这只燕鸥的行程y（单位：

千米）与飞行时间x（单位：

天）之间有什么关系？

（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？

问题探究2：

下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？

这些函数有什么共同点？

（1）圆的周长L随半径r的大小变化而变化：

（L=2r）

（2）铁的密度为7.8gm3，铁块的质量m（单位：

g）随它的体积V（单位：

cm3）的大小变化而变化；（m=7.8V）

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：

cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（）

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：

℃）随冷冻时间t（单位：

分）的变化而变化；（T=-2t）

【特征归纳】正如y=200x一样，上述函数都是常数与自变量的乘积的形式．

【形成定义】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

二、范例点击，提高认知

【例1】画出下列正比例函数的图象．

（1）y=2x

（2）y=-2x

【教师活动】动手操作示范，并且引导学生进行比较（见课本图14．2-1，图14．2-2）．

【观察与比较】

教师口述：

请同学们比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．

填写你发现的规律：

两图象都是经过原点的直线．函数y=2x的图象从左向右（上升），经过第（一、三）象限；函数y=-2x的图象从左向右（下降），经过第（二、四）象限．

【学生活动】观察比较，寻求规律，总结方法．

三、随堂练习，巩固深化

课本P112练习．

【形成性质】一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx．当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大反而减小．

【教师提问】经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？

画正比例函数的图象时，怎样画最简单？

为什么？

【学生活动】回答教师提出的问题，并通过探讨，得到画正比例函数的最简单方法：

（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；

（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

（3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象．

四、随堂练习，消化理解

课本P113练习．

五、课堂总结，发挥潜能

1．正比例函数y=kx图象的画法：

过原点与点（1，k）的直线即所求图象．

2．正比例函数的性质．（由学生归纳）

六、布置作业，专题突破

课本P120习题14．2第1、2、3题．

板书设计

14.2.1正比例函数

1、正比例函数的定义例：

2、正比例函数的性质练习：

14.2.2一次函数

（1）

教学目标

1．知识与技能

领会一次函数的概念，会从实际问题中建立一次函数的模型．

2．过程与方法

经历探索一次函数的过程，感受一次函数的解析式的特征．

3．情感、态度与价值观

培养数形结合的数学思想，体会一次函数在实际生活中的应用价值．

重、难点与关键

1．重点：

一次函数的概念．

2．难点：

从实际生活中建立一次函数的模型．

3．关键：

把握好实际问题中的两个变量之间的相等关系，建立模型．

教学方法

采用“情境──探究”的方法，让学生在实际问题中感悟一次函数的概念．

教学过程

一、创设情境，揭示课题

问题思索1：

某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km，气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系．

【思路点拨】y随x变化的规律是，从大本营向上当海拔加xkm时，气温从5℃减少6x℃，因此y与x的函数关系为y=5-6x（或y=-6x+5），当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是x=0.5时函数y=-6x+5的值，即y=2（℃）．

【学生活动】合作探究，寻找解题途径，踊跃发言，发表各自看法．

问题思索2：

下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示？

这些函数有什么共同点？

（1）有人发现，在20～30℃时蟋蟀每分鸣叫次数C与温度t（单位：

℃）有关，即C的值约是t的7倍与35的差；（C=7t-35）

（2）一种计算成年人标准体重G（单位：

千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值；（G=

这样就探究出了同底数幂的乘法法则．

二、范例学习，应用所学

【例】计算：

（1）103×104；

（2）a·a3；（3）a·a3·a5；（4）x·x2+x2·x

【思路点拨】

（1）计算结果可以用幂的形式表示．如

（1）103×104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．

（2）注意a是a的一次方，提醒学生不要漏掉这个指数1，x3+x3得2x3，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则．

【教师活动】投影显示例题，指导学生学习．

【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题．

三、随堂练习，巩固深化

课本练习题．

【探研时空】

据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？

四、课堂总结，发展潜能

1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：

乘积中，幂的底数不变，指数相加．

2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．

3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．

五、布置作业，专题突破

1．课本P148习题15．1第1

（1），

（2），2

（1）题．

2．选用课时作业设计．

板书设计

15.1.1同底数幂的乘法

1、同底数幂的乘法法则例：

练习：

15.1.2幂的乘方

教学目标

1．知识与技能

理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．

2．过程与方法

经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．

3．情感、态度与价值观

培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．

重、难点与关键

1．重点：

幂的乘方法则．

2．难点：

幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．

3．关键：

要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，要求对性质深入地理解．

教学方法

采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．

教学过程

一、创设情境，导入新知

【情境导入】

大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？

我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？

（球的体积公式为V=r3）

【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．

解：

设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为

V木星=·（102）3=？

（引入课题）．

【教师引导】（102）3=？

利用幂的意义来推导．

【学生活动】有些同学这时无从下手．

【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？

（102）3呢？

【学生回答】a3=a×a×a，指3个a相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，因此（102）3=106．

【教师活动】下面有问题：

利用刚才的推导方