数学建模论文(列车餐饮问题).doc
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数学建模论文
论文题目:
列车餐饮价格问题
目录
摘要 2
一、问题重述 3
二、问题分析 3
三、问题假设 3
四、符号说明 4
五、模型建立与求解 5
六、模型评价 8
七、模型推广...............................................................................................................9
八、参考文献 9
摘要
由于列车的特殊性,列车上的食品常以常以高出市场价售出,但由于乘客数量的限制,此价格也会受到一个限制。
本文站在列车供者角度,通过分析列车上早餐、盒饭和方便面的销售情况,对列车上三餐的销售进行模拟,根据出售价格与销售量的函数关系,运用经济学中供求理论建立类似于Malthus人口的微分方程模型,通过对方程的求解和分析,理论上得出盒饭和方便面的出售价格与销售量的函数关系,利用效益=单价×销售量-成本,求出列车三餐销售最大效益。
关键词:
列车餐饮微分方程模型供求理论最大效益
一、问题重述
长途列车由于时间漫长,需要提供车上的一些服务。
提供一天三餐是主要的服务。
由于火车上各方面的成本高,因此车上食物的价格也略高。
以T238次哈尔滨到广州的列车为例,每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜,价格10元;中午及晚上为盒饭,价格一律15元。
由于价格偏贵,乘客一般自带食品如方便面、面包等。
列车上也卖方便面及面包等食品,但价格也偏贵。
如一般售价3元的方便面卖5元。
当然,由于列车容量有限,因此提供的用餐量及食品是有限的,适当提高价格是正常的。
但高出的价格应有一个限制,不能高得过头。
假如车上有乘客1000人,其中500人有在车上买饭的要求,但车上盒饭每餐只能供给200人;另外,车上还可提供每餐100人的方便面。
现要求根据实际情况设计一个价格方案,使列车在用餐销售上效益最大。
二、问题分析
由需求关系以及现实中,我们知道,当某商品的价格上涨时,其销售量也就降低,下降时,其销售量也就增加。
即销售价格与需求量呈反比例关系。
因此,我们可以找出一个最优价格,使其在需求量达到最大的情况下,获得最大利润。
此为最优化问题模型。
三、模型假设
1.列车上早餐可以供给500份;
2.列车除早餐外,午餐与晚餐只提供盒饭与方便面两种食物;
3.各餐饮市场上的价格作为列车食物的成本价;
4.每位乘客每餐只需要一份早餐或一盒盒饭或一袋方便面;
四、符号说明
一份早餐的销售价格
一盒盒饭的销售价格
一袋方便面的销售价格
早餐上涨价格时,销售量减少率
盒饭上涨价格时,销售量减少率
方便面价格上涨时,销售量减少率
早餐价格为时,早餐销售量
盒饭价格为时,每餐盒饭销售量
方便面价格为时,每餐方便面销售量
早餐成本价
盒饭成本价
方便面成本价
总收入
纯利润
五、模型建立与求解
列车上除早餐外,午餐和晚餐的销售情况不会发生太大变化,因此只需求午餐或晚餐其一的销售的收入,就可以通过数学公式求出一天餐饮的最大利润。
1.销售价格与销售量之间的函数关系:
当早餐的价格由上涨到时,销售量的减少量为:
-=-(1.1)
整理得:
(1.2)
又设=时的销售量为=,于是可以建立
则该初值问题的解为:
=(1.4)
同理,可以求得盒饭与方便面的销售价格与销售量之间的函数关系;
假设当=时,=;=时,=;于是有:
解得:
=(1.6)
解得:
(1.8)
又:
收入=销售价格×销售量
所以,对于早餐收入:
==(1.9)
对于盒饭收入:
==(1.10)
对于方便面收入:
=(1.11)
一天餐饮总收入为:
=+2(+);(1.12)
利润为:
(1.13)
模型求解:
为市场价格作为餐饮成本价,在此假设;此时餐饮均是需求大于供应,所以可得:
=500(1.14)
=200(1.15)
=100(1.16)
=500+2(200+100);
=(1.17)
现要求的最大值,既是求,,的最大值,分别对(1.14),(1.15)和·(1.16)求导:
时;时;时
当时,,则单调递增;当时,,则单调递减,所以时达到最大值。
同理时达到最大值,时达到最大值。
由此要确定最大收入,就要知道销售量减少率。
求列车餐饮的最大收入,可以运用调查问卷的形式来确定销售量减少率,,的值。
例如:
若早餐销售量减少率,则制定早餐价格为元,此时早餐收入元,盒饭减少率,则制定盒饭价格为元,此时盒饭收入为元,方便面减少率时,则制定方便面价格为元,此时方便面收入为元。
最大利润元。
模型的优缺点分析:
该模型是通过建立微分方程得到价格与销售量之间的关系,得到收入与销售量减少率及价格之间的函数关系。
其中在理论情况下,设定减少率为稳定值,可以通过市场调查得出。
模型一简单扼要,容易理解,但没有考虑到实际情况,即销售量减少率不可能会一成不变,会随着价格的变动而改变。
改进模型应收集信息:
我们在实际生活中知道销售量减少率会随着价格的变化而变动的,它与价格有着一定的函数关系。
价格低时,减少率也就较小,而价格上涨时,减少率也就增大,最后趋于稳定。
因此我们应该知道销售减少率随价格变化的函数关系。
改进模型的建立:
经过分析模型一可知,餐饮总收入与三餐的价格与减少率有关,现假设:
1.减少率在稳定前与价格呈线性函数关系,即
(2.1)
(2.2)
(2.3)
则可建立如下模型:
(2.4)
(2.5)
(2.6)
2.减少率与价格呈曲线函数关系,即:
则可建立如下模型:
;(2.7)
; (2.8)
;(2.9)
改进模型求解:
为了更深刻的研究列车餐饮问题,我们对减少率在达到稳定前与价格呈线性函数关系的求解。
分别对(2.4),(2.5),(2.6)求导得:
由此可知,我们可以在已知条件下,分别再对求导,令其二次导数为0,求出最优价格,进而求出最大利润。
六、模型评价
对于本题本文建立了两个模型,第一个模型是通过建立微分方程得到价格与销售量之间的关系,得到收入与销售量减少率及价格之间的函数关系。
其中在理论情况下,设定减少率为稳定值,可以通过市场调查得出。
模型一简单扼要,容易理解,但没有考虑到实际情况,即销售量减少率不可能会一成不变,会随着价格的变动而改变。
而第二个模型模型考虑了该因素,先分析了销售量减少率随着价格的变动,在达到其稳定之前而线性改变,然后再考虑其曲线变换。
模型二较复杂,难度有所增加。
七、模型推广
对于本题我们还没有考虑餐饮食物在没有卖出的情况下,会进行降价处理,还没有考虑类车中间停站时,乘客会购买食物,以及火车还提供其他食物。
因此,该问题还可以往这几处方面因素,进行研究和改进。
八、参考文献
[1]戴朝寿,孙世良编著.数学建模简明教程.北京:
高等教育出版社,2007
[2]李伯德编著.数学建模方法.甘肃教育出版社,2006
[3]高隆昌,杨元著.数学建模基础理论.科学出版社,2007
[4]吴翊,吴孟达,成礼智编著.数学建模的理论与实践.长沙:
国防科技大学出版社,1999
[5]沈继红等编著.数学建模.哈尔滨:
哈尔滨工程大学出版社,1998
[6]李志林编著.数学建模典型案例分析.北京:
化学工业出版社.2007
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