离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案.docx
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离散数学答案屈婉玲版
第二版高等教育出版社课后答案
第一章部分课后习题参考答案
16设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1)p∨(q∧r)0∨(0∧1)0
(2)(p↔r)∧(﹁q∨s)(0↔1)∧(1∨1)0∧10.
(3)(p∧q∧r)↔(p∧q∧﹁r)(1∧1∧1)↔(0∧0∧0)0
(4)(r∧s)→(p∧q)(0∧1)→(1∧0)0→01
17.判断下面一段论述是否为真:
“是无理数。
并且,如果3是无理数,则也是无理数。
另外6能被2整除,6才能被4整除。
”
答:
p:
是无理数1
q:
3是无理数0
r:
是无理数1
s:
6能被2整除1
t:
6能被4整除0
命题符号化为:
p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
19.用真值表判断下列公式的类型:
(4)(p→q)→(q→p)
(5)(p∧r)(p∧q)
(6)((p→q)∧(q→r))→(p→r)
答:
(4)
pqp→qqpq→p(p→q)→(q→p)
0011111
0110111
1001001
1110011
所以公式类型为永真式
(5)公式类型为可满足式(方法如上例)
(6)公式类型为永真式(方法如上例)
第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.
(1)(p∧q→q)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)
(3)(p∨q)→(p∧r)
答:
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式
(3)Pqrp∨qp∧r(p∨q)→(p∧r)
000001
001001
010100
011100
100100
101111
110100
111111
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式:
(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)
证明
(2)(p→q)∧(p→r)
(p∨q)∧(p∨r)
p∨(q∧r))
p→(q∧r)
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)
(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)
1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1
(p∨q)∧(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值
(1)(p→q)→(q∨p)
(2)(p→q)∧q∧r
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
解:
(1)主析取范式
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)
(pq)(pq)(pq)
∑(0,2,3)
主合取范式:
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(p(qp))(q(qp))
1(pq)
(pq)M1
∏
(1)
(2)主合取范式为:
(p→q)qr(pq)qr
(pq)qr0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为0
(3)主合取范式为:
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))(pqr)
(p(pqr))((qr))(pqr))
11
1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案
14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(2)前提:
pq,(qr),r
结论:
p
(4)前提:
qp,qs,st,tr
结论:
pq
证明:
(2)
①(qr)前提引入
②qr①置换
③qr②蕴含等值式
④r前提引入
⑤q③④拒取式
⑥pq前提引入
⑦¬p(3)⑤⑥拒取式
证明(4):
①tr前提引入
②t①化简律
③qs前提引入
④st前提引入
⑤qt③④等价三段论
⑥(qt)(tq) ⑤置换
⑦(qt)⑥化简
⑧q②⑥假言推理
⑨qp前提引入
⑩p⑧⑨假言推理
(11)pq⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:
(1)前提:
p(qr),sp,q
结论:
sr
证明
①s附加前提引入
②sp前提引入
③p①②假言推理
④p(qr)前提引入
⑤qr③④假言推理
⑥q前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:
(1)前提:
pq,rq,rs
结论:
p
证明:
①p结论的否定引入
②p﹁q前提引入
③﹁q①②假言推理
④¬rq前提引入
⑤¬r④化简律
⑥r¬s前提引入
⑦r⑥化简律
⑧r﹁r⑤⑦合取
由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1)对于任意x,均有2=(x+)(x).
(2)存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
解:
F(x):
2=(x+)(x).
G(x):
x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。
(2)在两个个体域中都解释为,在(a)(b)中均为真命题。
4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)没有不能表示成分数的有理数.
(2)在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
(1)F(x):
x能表示成分数
H(x):
x是有理数
命题符号化为:
(2)F(x):
x是北京卖菜的人
H(x):
x是外地人
命题符号化为:
5.在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1)火车都比轮船快.
(3)不存在比所有火车都快的汽车.
解:
(1)F(x):
x是火车;G(x):
x是轮船;H(x,y):
x比y快
命题符号化为:
(2)
(1)F(x):
x是火车;G(x):
x是汽车;H(x,y):
x比y快
命题符号化为:
9.给定解释I如下:
(a)个体域D为实数集合R.
(b)D中特定元素=0.
(c)特定函数(x,y)=xy,x,y.
(d)特定谓词(x,y):
x=y,(x,y):
x 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: (1) (2) 答: (1)对于任意两个实数x,y,如果x (2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x 10.给定解释I如下: (a)个体域D=N(N为自然数集合). (b)D中特定元素=2. (c)D上函数=x+y,(x,y)=xy. (d)D上谓词(x,y): x=y. 说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值. (1)xF(g(x,a),x) (2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答: (1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0. (2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0. 11.判断下列各式的类型: (1) (3)yF(x,y). 解: (1)因为为永真式; 所以为永真式; (3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y): x+y=5 所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真; 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,] 此时为假命题 再取解释I个体域为自然数N, F(x,y): : x+y=5 所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。 此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。 13.给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。 (1)(F(x) (2)x(F(x)G(x)H(x)) 解: (1)个体域: 本班同学 F(x): x会吃饭,G(x): x会睡觉.成真解释 F(x): x是泰安人,G(x): x是济南人. (2)成假解释 (2)个体域: 泰山学院的学生 F(x): x出生在山东,G(x): x出生在北京,H(x): x出生在江苏,成假解释. F(x): x会吃饭,G(x): x会睡觉,H(x): x会呼吸.成真解释. 第五章部分课后习题参考答案 5.给定解释I如下: (a)个体域D={3,4}; (b)为 (c). 试求下列公式在I下的真值. (1) (3) 解: (1) (2) 12.求下列各式的前束范式。 (1) (5)(本题课本上有错误) 解: (1) (5) 15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明: (1)前提: 结论: xR(x) (2)前提: x(F(x)→(G(a)∧R(x))),xF(x) 结论: x(F(x)∧R(x)) 证明 (1) ①前提引入 ②F(c)①EI ③前提引入 ④①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c))④UI ⑥F(c)∨G(c)②附加 ⑦R(c)⑤⑥假言推理 ⑧xR(x)⑦EG (2) ①xF(x)前提引入 ②F(c)①EI ③x(F(x)→(G(a)∧R(x)))前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c))③UI ⑤G(a)∧R(c)②④假言推理 ⑥R(c)⑤化简 ⑦F(c)∧R(c)②⑥合取引入 ⑧x(F(x)∧R(x))⑦EG 第六章部分课后习题参考答案 5.确定下列命题是否为真: (1)真 (2)假 (3)真 (4)真 (5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}真 (6){a,b}{a,b,c,{a,b}}真 (7){a,b}{a,b,{{a,b}}}真 (8){a,b}{a,b,{{a,b}}}假 6.设a,b,c各不相同,判断下述等式中哪个等式为真: (1){{a,b},c,}={{a,b},c}假 (2){a,b,a}={a,b}真 (3){{a},{b}}={{a,b}}假 (4){,{},a,b}={{,{}},a,b}假 8.求下列集合的幂集: (1){a,b,c}P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} (2){1,{2,3}}P(A)={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} (3){}P(A)={,{}} (4){,{}}P(A)={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 14.化简下列集合表达式: (1)(AB)B)-(AB) (2)((ABC)-(BC))A 解: (1)(AB)B)-(AB)=(AB)B)~(AB) =(AB)~(AB))B=B= (2)((ABC)-(BC))A=((ABC)~(BC))A =(A~(BC))((BC
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