研究生数学建模竞赛优秀论文选《110警车配置及巡逻方案》231页.docx

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研究生数学建模竞赛优秀论文选《110警车配置及巡逻方案》231页

全国第六届研究生数学建模竞赛

题目110警车配置及巡逻方案

摘要：

本文讨论的是某城区110警车配置与巡逻问题，针对不同的条件和要求，对城区道路网络建立模型、求解方案，并提出了相应的评价指标。

对于问题一，建立离散设施选址的k-中心模型，并利用K-均值聚类及Dijkstra算法进行求解，得到最少警车数为13，警车在接警后3分钟赶到现场的比例为91.76％；

对于问题二，分别从覆盖、辖区范围、巡逻效果三个方面提出了五个指标，为准确评价警车巡逻方案的优劣提供了科学的依据；

对于问题三，建立0-1规划模型，并运用图论的知识，结合具体问题，制定了警

车的巡逻方案：

布置16辆警车，巡逻路线由3个环路和4个定点组成，动静结合，平均道路覆盖率达93％以上；

对于问题四，以问题三的方案为基础，采用了中心城区随机选择变换巡逻街道、环线及重点部位随机转向的方案，在不影响方案评价指标的前提下，引入了随机性因素，大大提高了巡逻的隐蔽性；

对于问题五，建立离散设施选址的最大覆盖模型，并选定了警车在覆盖率最大的定点周围做小范围的直线或环线巡逻的方案，同时保证了覆盖率和巡逻效果；

对于问题六，沿用了问题三的0-1规划模型，根据新的条件，优化了巡逻方案：

布置12台警车，巡逻路线由4个环路和2个定点组成，在削减警车的同时，提高了巡逻的效果，平均道路覆盖率达95％以上；

对于问题七，针对目前建模的理想假设，提出了相应的改进方案，为将来模型的改善提供了思路。

参赛密码

（由组委会填写）

参赛队号

队员姓名

5.7.6小结30

5.8问题7的求解30

5.8.1问题分析30

5.8.2问题求解30

5.8.3小结31

参考文献31

110警车配置及巡逻方案

1问题重述

110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警（接受报警并赶往现场处理事件）时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。

但是在整个城区配置多少辆警车进行巡逻，才能使得警车发挥最大作用，又不浪费警车资源，这个问题值得考虑。

某城市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。

设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。

警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求：

D1.警车在接警后3分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在2分钟之内。

D2.使巡逻效果更显著；

D3.警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。

当考虑配置的警车停留在一个固定的地点或巡逻过程中任一时刻所有的警车固定在其路径上的某一位置，接到报案后迅速赶往现场时，警车的配置问题就跟应急设施的选址问题非常类似。

应急设施选址问题在很多地方都有讨论，一个应急设施覆盖它周围的一个区域，保证其服务对象及时得到服务。

在这个问题中，警车附近的街道上一旦发生犯罪事件，警车必须及时赶到处理。

因此，我们先选用选址问题的模型，考虑当警车静止时，需要多少辆警车才能有效地保证全城居民的安全，也就是90%的报警事件发生3分钟之内，能得到警车的现场处理。

在选址问题中，我们考虑将全城分成若干个区域：

认为每辆警车对它所在的辖区负责，90%可以理解为警车能在3分钟之内到达它所覆盖区域90%的点。

全市3个重点部位的救援限定在两分钟之内到达。

对于警车的配置和巡逻方案不同，则可能产生的巡逻效果也有所不同。

因此我们需要采取一系列统一的评价标准来定量地衡量巡逻效果。

考虑警车沿着街道巡逻，在发生报警事件时及时赶往现场。

在这种情况下，为了实现3分钟赶到报警现场的目标，全城要合理配置警车，并且制定详细的巡逻计划。

巡逻的路线确定后，即可评判警车巡逻时覆盖途经区域的范围。

根据该范围的大小，可以有效地制定警车的配置和巡逻方案，即需要警车的数量和警车巡逻的具体时间轨迹。

巡逻的最大作用是震慑犯罪分子。

为了不让犯罪分子掌握警车巡逻的规律，巡逻方案必须具有一定的隐蔽性。

为此，我们可以先制定优化的巡逻路线，再人为添加随机因素，即制定同一条路线的不同时间表，使警车每天在不同的时间经过同一个地点；或者制定若干条评价指标相当的巡逻路线，警车随机选择其中的一条巡逻。

目前由于资源的限制，我们要充分利用仅有的资源实现警察对市民的安全保护。

考虑仅有10辆警车的情况下，尽量做到接警后迅速赶往现场，巡逻时充分震慑犯罪分子。

考虑某一特定的时刻，这个问题是资源受限的覆盖问题，即在资源有限的条件下，如何实现最大范围的覆盖需求，可以套用最大覆盖的模型。

警车赶往事发现场的速度对于这个问题具有较大的影响。

如果警车在接到报警后赶往现场的速度提高，那么警察在巡逻时的覆盖率将增大，可以使巡逻的效果得到显著的提高。

例如题中将接警后的平均时速提高到50km/h（提高12.5%），增大了警车能覆盖的区域，这时根据我们的模型可知使用较少数量的警车依然可以满足覆盖率的需求。

2模型假设

1、区域中各点在各时段发生报警事件的概率相同，即认为报警事件是均匀分布在所有的时间段和所有结点上。

2、警车抵达靠近报警现场最近的路径，则报警点可看见警车或听到警笛，即警车抵达报警现场所在路径两端的某一道路交叉口时，则认为已抵达报警现场（考虑到区域中某些道路较长，在后续求解过程中将在较长的路段中插入若干结点，以保证该假设的合理性）。

3、一个区域内，每个时刻不会同时发生2起或2起以上犯罪事件，即在足够短的时间内（小于等于3分钟）只发生一起犯罪事件。

当报警发生时，报警点附近的警车处于空闲（即没有在处理其他报警事件），接警后，可立即前往报警现场。

4、3个重点部位做如下近似：

对重点部位一（5112，4806），警车抵达101、103、110、112任一交叉口，则认为抵达；

对重点部位二（9126，4266），警车抵达123或141交叉口，则认为抵达；对重点部位3（7434，1332），警车抵达277号交叉口，则认为抵达。

5、假设警车在所有道路上的行驶速度都是匀速的，都等于问题里给出的平均速度。

3符号说明

hi：

结点i的需求（发生报警事件的次数）；

Xi：

表示点i是否配置警车的0-1变量，等于1表示点i处配置一辆警车，等于0表示点i处不配置警车；

yi：

表示点i是否被警车覆盖的0-1变量

t：

表示时刻，以分钟为单位，0≤t≤1440；

Xi（t）：

考虑警车巡逻，则某个点是否有警车跟时间相关。

Xi（t）=1表示t时刻点i处

有警车，Xi（t）=0表示t时刻点i处没有警车；

yij（t）：

t时刻点j是否被点i位置的警车覆盖。

yij（t）=1，当j∈Ni（即警车从j点能在3分钟之内赶到i）时；否则为0；

yj（t）：

表示的是t时刻点j是否被某个位置的警车覆盖，不计重复覆盖次数。

yj（t）等

于对yij（t）（∀i）的逻辑或运算结果；

d（i,j）：

点i和j之间的最短路长；

Ni：

点i的邻域，满足d（i,j）≤v/20（单位：

km）的点的集合，v表示警车赶往事发地点的行车速度。

RC：

警车响应覆盖率。

CRT：

警车交叉响应覆盖率。

Ra：

警车响应平均行车时间。

LC：

警车资源平均利用水平。

RF：

警车流动覆盖率。

4模型的建立

首先，考虑警车的配置问题。

根据问题1的假设，只考虑警车在某个点静止不动，在案件发生的时候赶往事发现场，则警车配置问题是个离散设施选址问题。

离散设施选址问题中有两个比较类似的模型：

其一，覆盖问题；其二，中心问题[1]。

覆盖问题分为完全覆盖问题与最大覆盖问题。

完全覆盖问题的目标函数是在给定时间（距离）内满足所有需求的最小设施建设成本。

如果每个设施建设费用相同，那

么目标函数就是最小化设施的数量。

模型具体表示为：

min∑cjXjj

s.t.∑Xj≥1,∀i

j∈Ni

Xj∈{0,1},∀j

其中cj为设施建设成本，Xj是表示需求点j是否修建设施的参数，如果在j点修建设施，Xj为1，否则为0。

继续考虑这个模型，它没有考虑需求的规模，不论需求多大都可以被设施点满足。

另外，如果边缘的结点有非常小的需求量，那么建造此类设施的投入产出比非常低。

用在警车设置问题中，就是有些地方人烟稀少，跟周围区域没有紧密联系，为了保证

3分钟到达这些地方专门在附近设立警车的代价比较大，警车资源没有发挥最大作用。

有资源限制的情况下模型改进为最大覆盖问题：

max∑hiyi

i

s.t.yi≤∑Xj,∀i

j∈Ni

∑Xj≤P

j

yi∈{0,1},∀i

hi为需求点i的需求；当结点i被覆盖时，yi为1，否则为0。

目标函数是求有限

资源条件下所能覆盖的最大需求量。

约束条件1确定设施为哪个在特定距离内的需求点提供服务。

约束条件2限定设施数量小于等于P。

在警车巡逻实例中，我们先假设各个点的需求规模是一样的，这时的目标函数就是最大化需求点数量。

如果考虑模型更切合实际，则应讨论不同点的需求不同，这个条件我们放在问题7里讨论。

Daskin与Stern将覆盖模型扩展为支援覆盖模型（Backupcoverage）研究美国EMS系统车辆服务。

针对已经派出车辆不能对该设施服务区的需求再提供服务这一实际问题，支援模型允许其它在可接受距离内的设施对新增需求提供服务。

他们建立了一个多等级目标方程，首先最小化能满足需求的车辆数量，然后最大化这些车辆能多重覆盖的范围。

在警车配置问题中，如果一个区域内发生一起以上犯罪事件，则由该区域附近可在3分钟内赶到现场的警车提供支援，这是完全可能发生的。

这种情况较为复杂，我们在求解时并不考虑支援覆盖，在评价方案的好坏时引入交叉覆盖的指标，在问题2中提出。

完全覆盖问题的目标函数是在特定时间（距离）内满足所有需求应修建的最小设施数。

与此不同，k-中心问题虽然也满足所有需求，但设施数给定，目标是最小化任一需求点到与它最近设施的距离。

k-中心问题一种常用的解法是，解一系列的集合覆盖问题。

每一步选一个覆盖距离的阈值，检查是否所有的点都能在这个距离范围内被最多k个点覆盖；若能，则降低阈值，否则增加阈值。

这个问题是NP难的，目前用得比较多的是贪婪算法，也可以用聚类分析的办法去求解[2]。

5问题的分析与求解

5.1数据的预处理

对于本题，由于牵涉到大量的道路数据信息，因此为了方便后面问题的模型求解，我们先对题目所给出的数据进行了预处理。

首先，我们先对题目中给出地图数据和道路数据表格进行了扩充，主要添加了各条道路的长度信息。

在这里，选择欧式距离表达位于同一条道路上的结点的距离，计

算公式如下：

（xi-xj）+（y-y）

2

2

ij

D（i,j）=

其次，结合了道路信息和MATLAB生成图，通过对道路交叉口数目沿x坐标数目和道路长度分布的统计（分别见图5.1和表5.1），我们得出了该城市的地图布局结构有以下特点：

地图左半部分的道路密集而且每段的长度较小，而地图右半部分的道路分布稀疏并且道路较长。

道路长度（米）

道路数目

0～200

52

200～400

158

400～600

102

600～800

52

800～1000

34

1000～1200

34

1200～1400

8

1400～1600

4

1600～1800

3

1800～2000

4

2000～2200

4

2200～2400

0

2400～2600

0

2600～2800

1

2800～3000

1

3000～3200

0

3200～3400

0

3400～3600

1

图5.1道路交叉口数目沿X坐标数目统计图表5.1道路长度分布统计表

最后，根据前面模型假设2中，假设警车抵达靠近报警现场最近的路径，则报警点可看见警车或听到警笛，即警车抵达报警现场所在路径两端的某一道路交叉口时，则认为已抵达报警现场。

为了保证该假设的合理性。

考虑到区域中某些道路较长，我们在几条较长的道路中均匀地插入了6个结点，这6个结点的位置如图5.2所示，坐标信息见表5.2。

表5.3给出了插入6个结点后的道路信息变化。

图5.2新增道路交叉口位置示意图

表5.2新增道路交叉口信息表

编号

X坐标

Y坐标

308

1416

396

309

2616

378

310

9748

235

311

13197

3297

312

13128

4294

313

13018

8028

表5.3道路信息变化一览表

序号

原道路起点

原道路终点

原道路长度

新道路起点

新道路终点

道路长度

1

297

298

3582

297

308

1200

308

309

1200

309

298

1182

2

79

237

2869

79

312

1000

312

311

1000

311

237

869

3

1

2

2754

1

313

1400

313

2

1354

4

304

305

2124

304

310

1000

310

305

1124

5.2问题1的求解

5.2.1问题分析

问题1的要求是任何一个区域警车在接警后3分钟内赶到现场的比例不低于90％，而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内，该区最少需要配置警车的数量。

该问题的目标是在满足3个重点部位接警时间不超过2分钟的情况下，用尽量少的警车去保证全城90%的区域3分钟内可达。

取某个特定时刻，警车都可看做静止在某个点，并且覆盖该点的邻域（可在3分钟之内到达该点的邻域内的任意点）。

该问题相当于在全城配置若干辆警车，使得警车的总覆盖率达到90%，并且重点部位在2分钟之内可达。

因此，该问题可转化为一个离散设施选址问题。

5.2.2模型分析

根据模型假设2，在添加了6个结点后，我们认为警车到达报警点所在道路的端点就覆盖了该点。

考虑用最少的警车达到要求D1时，我们假设警车静止在它所覆盖的区域的中心位置，接警后出动，完成后返回该位置。

如果警车只配置在结点处，并且把要求D1简化为警车可在3分钟之内到达全部需求点的90%，则可以套用离散设

施选址的完全覆盖模型。

设结点i对应变量Xi，由于题目中不考虑在不同地点设置警车成本的差异，模型为

min∑Xjj

s.t.∑Xj≥1,∀i

j∈Ni

Xj∈{0,1},∀j

为了求解这个问题，先用直径为2km的圆形去覆盖整个区域，估计出需要的警车在10辆以上。

这个模型计算量比较大，改用k-中心问题的模型去描述这个问题：

minD

D≥∑d（i,j）yij,∀i

j

d（i,j）为需求点i与设施点j的距离。

目标函数是使警车与其辖区内最远需求点的距离D最大。

约束条件限定了任何需求点i与最近警车j的最大距离。

当点i需求被设施j满足，则yij为1，否则为0。

k-中心问题的解决思路是首先在需求点集合中任意选取k个点并把所有需求点聚合成k个簇，然后为每个簇计算中心。

再根据新的中心重新聚合所有需求点，重复以上过程直到没有更好的结果产生为止。

我们选用k-均值聚类方法，将这个问题转化成k-中心问题。

也就相当于把这个问题划分成k个区域，每个区域配置一辆警车。

5.2.3模型求解

在该问题求解中，首先我们需要能够计算每个结点到其余各个结点与道路的最短距离，套用图论中的最短路模型即可[3]。

在本题的求解中，我们使用了Dijkstra算法，该算法的效率不错。

Dijkstra算法的基本思想是：

如果vi,,vj,,vn是某图G从vi到vn的最短路径，则它的子路vi,,vj一定是从vi到vj的最短路径。

其算法步骤如下：

1）假设网络G有n个顶点，用带权的邻接矩阵W来表示，W（i,j）表示从顶点vi到

vj的弧或边上的权值，不存在弧或边的权值用∞（在MATLAB中为Inf）表示。

S为已求出的从已知始点vi出发的最短路径的终点的集合，它的初始状态为空集，则从vi

出发到图上其余各顶点vk可能达到的最短路径长度的初值为

k

D（k）=min{W（i,k）v∈V-{i}}

2）

jkji

选择v，使得D（j）=min{D（k）v∈V-S}，v就是当前求得的一条从始点v出发的最短路径的终点，令S=S{j}。

3）修改从vi出发到集合V-S上任一点vk可达的最短路径长度。

如果

D（j）+W（j,k）

D（k）=D（j）+W（j,k）

4）重复操作2）、3）共n-1次，并记录各最短路径经过的所有顶点。

由此得到从始点vi到图上其余各顶点的最短路径是依据路径长度递增的序列。

根据Dijkstra算法求得各结点间的最短距离后，我们使用了K-均值距离的算法对所有的结点进行聚类，计算所需要的最少警车数量和其辖区范围。

本问题中，为了使地图中的313个道路结点可以按区域划分，形成相对应警车的辖区，我们在随机生成结点中心的过程中利用了K-均值聚类的算法[4]。

聚类算法是将数据集划分为若干个类（cluster）的过程，完成一个聚类任务，主要取决于特征选择和近邻测度。

特征选择就是必须合适地选址特征，尽可能多地包含任务关心的信息。

在特征中，使信息冗余减少和最小化是主要目标。

因为在有监督分类中，使用之前特征的预处理是必要的。

近邻测度是用于定量测量两个特征向量如何“相似”或“不相似”，保证所有选中的特征具有相同的近邻性，并且没有占支配地位的特征。

也就是说聚类的目的是使同一个聚类中数据对象（样本点）具有较高的相似度，而不同聚类中的对象相似度较低（聚类相似度是利用各聚类中对象的均值所得到的一个“中心对象”（引力中心）来进行计算的）。

定义1设X是数据集，即X

={x

x2,,xN

}，定义X的m聚类R，将X分割成m

1,

个集合（聚类）C1,,Cm，使其满足下面3个条件：

Ci≠φ,i=1,,m

C

m

i=1i=X

CiCj

=φ,i≠j,

i,j=1,,m

而且，在聚类Ci中包含的向量彼此“更相似”，与其他类中的向量“不相似”。

聚类的方法主要有：

划分方法、分层类方法、基于密度方法、基于网格方法和基于模型方法[5]。

其中，基于划分方法的K-均值聚类（K-means）算法因其算法复杂度较

低O（tkn）（n为数据对象总数，k为聚类个数，t为循环次数），效率高、应用领域广、

具有一定的可扩展性等优点，在聚类算法中占重要地位。

本问题的求解过程中，在路径网络结点划分的过程中就利用到K-means算法的思想。

K-means算法过程如下：

首先从n个数据对象任意选择k个对象作为初始聚类中心，而对于所剩下的其它对象，则根据它们与这些聚类中心的相似度（距离），分别将它们配与其最相似的（聚类中心所代表的）聚类，然后再计算每个所获新聚类中心（该聚类中所在对象的均值），

不断重复这一过程，直到标准测度函数开始收敛为止。

相似度通过距离进行计算，常用的距离有相似度通过距离进行计算，常用的距离有Minkoski距离、Euclid距离、Chebyshev距离、Mahalanois距离等，在此以欧式距离作为距离计算公式如下：

t

E=∑∑

2

p-mi

i=1j=1

m

∑

r=1

X-X

2

irjr

D（xi,xj）=

式中，P为数据对象（样本点），mi为Ci类的均值，D（xi,xj）为点xi和xj的距离，为数据对象的维数。

K-means算法步骤如下：

输入：

聚类个数k，以及包含n个数据对象的数据库。

1）从n个数据对象任意选择k个对象作为初始聚类中心；

2）循环3）到4）直到每个聚类不再发生变化为止；

3）根据每个聚类对象的均值（中心对象），计算每个对象与这些中心对象的距离；并根据最小距离重新对相应对象进行划分；

4）重新计算每个（有变化）聚类的均值（中心对象）。

输出：

满足方差最小标准的k个聚类。

具体计算过程如图5.3所示。

开始

初始化

从313个结点中随机选取K个结点作为聚类中心，记作C1

C1=C2?

聚类结束，C1即为K个区域的中心

对每一类结点，确定到类中其它所有结点的最短距离的最大值最小的结点为该类的新的中心。

记所有类的新的中心集合为C2

利用Dijkstra算法，对每一类结点，计算每个结点到类中其它所有结点的最短距离

将每个结点和距离它最近的中心归为一类

利用Dijkstra算法，计算网络中每个结点到每个中心的最短距离

令C1=C2

算法结束

利用Dijkstra算法，计算每个结点到聚类中心的距离，统计结点覆盖率和道路覆盖率

图5.3程序流程简图

5.2.4计算结果

分析题意可知，警车接到报警时平均时速为40km/h时，3分钟走过的路程为

40⨯3/60=2km，而重点部位需要2分钟赶到，因此警车距重点部位不能超过

40⨯2/60≈1.33km。

设定k=10,12,13,14分别进行计算，结果如表5.4所示。

表5.4问题1计算结果

序号

中心数目K

道路覆盖率

（％）

中心点标号

1

10

69.02

308,59,211,192,304,243,183,5,312,88

2

12

81.66

298,30,160,169,310,252,56,5,312,85,157,258

3

13

91.76

209,27,169,303,291,130,253,13,87,275,78,46,39

4

13

91.36

27,169,303,276,131,253,23,107,275,85,36,39,160

5

14

76.43

298,30,189,152,304,252,96,5,312,117,111,234,255,198

6

14

87.09

178,312,62,5,298,149,290,54,113,310,210,24,255,249

7

14

90.74

276,208,27,169,303,270,130,253,18,118,275,84,46,21

当k=13时，满足D1中“警车在接警后